2020-2021学年1.1 一元二次方程学案设计

一元二次方程（二）：根的判别式及根与系数的关系

1. 若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（　　）

A．﹣1      B．0      C．1      D．2

2.（1）                  （2）

3.（1）                 （2）

知识点一：配方法的运用

1：用配方法解方程：

2：利用配方法比较代数式大小：若代数式，，则的值（　　）

Ａ、一定是负数   Ｂ、一定是正数  Ｃ、一定不是负数 Ｄ、一定不是正数

3：配方法在求最大值、最小值中的应用：若为任意实数，求的最小值

知识点二：一元二次方程的根的判别式

基础知识归纳：

一元二次方程的根的判别式

对于一元二次方程（a≠0）：

－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；

（3）－4ac＜0⇔方程没有实数根．

基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．

注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．

知识点三：根与系数的关系

基础知识归纳：

一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有＝，

＝．

1．已知P＝2m﹣3，Q＝m2﹣1（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（　　）

A．P＞Q B．P≤Q C．P＜Q D．不能确定

2．对于代数式：x2﹣2x+2，下列说法正确的是（　　）

A．有最大值1 B．有最小值1 

C．有最小值2 D．无法确定最大最小值

3．已知实数x、y满足等式：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，则x+y的值为（　　）

A．2 B． C．﹣2 D．

4．已知关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一根为0，另一根不为0，则m的值为（　　）

A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．以上均不对

5．已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）

A．x2﹣7x+12＝0 B．x2+7x+12＝0 C．x2+7x﹣12＝0 D．x2﹣7x﹣12＝0

6.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围　   　．

7.关于x的方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的最大整数值为　   　．

8.关于x的方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　   　．

9．已知关于x的一元二次方程：x2+（k﹣5）x+4﹣k＝0

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；

（2）若方程的一个根是2，求另一个根及k的值．

10．有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2﹣12x+k＝0的两根，求k的值．

1 ．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．

（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；

（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．

2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0

（1）求证：方程有两个实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

3．已知：平行四边形ABCD的两条边AB，AD的长是关于x的方程2x2﹣2mx+m﹣＝0的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；

（2）若AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．

基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．

注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．

1．如果ax2＝（3x﹣）2+m，那么a，m的值分别为（　　）

A．3，0 B．9， C．9， D．，9

2．若x为任意有理数，则多项式4x﹣4﹣x2的值（　　）

A．一定为正数 B．一定为负数 

C．不可能为正数 D．可能为任意有理数

3．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　）

A． B． C． D．

4．若M＝（x﹣1）（x﹣5），N＝（x﹣2）（x﹣4），则M与N的关系为（　　）

A．M＝N 

B．M＞N 

C．M＜N 

D．M与N的大小由x的取值而定

5.已知a2+b2+4a﹣8b+20＝0．则ba＝　   　．

6.已知P＝m2﹣m，Q＝m﹣2（m为任意实数），则P、Q的大小关系为　   　

7.无论x为何值，关于x的代数式x2+2ax﹣3b的值都是非负数，则代数式a+b的最大值为　   　．

8.已知x，y为实数，求代数式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值　   　．

9.已知2是方程2x2+mx﹣4＝0的一个根，则该方程的另一个根是　   　．

10.设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m+n+mn＝　   　．

11.已知二次方程x2+ax+b＝0有两个连续的整数根，二次方程x2+bx+a＝0有整数根，求a，b的值．

12.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0

（1）方程有实数根，求m的范围；

（2）求方程两根的倒数和．