苏科版（2024）九年级上册1.1 一元二次方程精品ppt课件

这是一份苏科版（2024）九年级上册1.1 一元二次方程精品ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了学习目标，一元二次方程，根与系数的关系，一般形式，根的判别式，知识框架，∴m2，去括号得，x2-10，x2－x－3＝0等内容，欢迎下载使用。

1.会解简单数字系数的一元二次方程，能根据具体方程的特征，灵活选择合适的方法解方程；2.理解一元二次方程根的判别式的意义，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况;3.理解一元二次方程根与系数的关系，会用一元二次方程的根与系数的关系求两根之和与两根之积.
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
a x 2 + b x + c = 0 (a、b、c为常数，a≠0) 称为一元二次方程的一般形式.
(x+h)2=k(k≥0)
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)化为(x-m) (x-n)=0
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个不相等的实数根；当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，没有实数根.
知识点一 一元二次方程的定义
1.下列是一元二次方程的是( 　)
2.如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为(　　)A．±3 B．3 C．－3 D．以上都不对
(1) 若方程是一元二次方程，求m的值.
解：(1)根据题意，得m2＋1＝2，且m－1≠0，解得m＝－1.
(2)若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解.
知识点二 一元二次方程的一般形式
例 把方程(1-2x)(x+4)+7x=2x2+3华为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.
x+4-2x2-8x+7x=2x2+3.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
二次项系数是4，一次项系数是0，常数项是-1.
注意：(1)把一个一元二次方程整理成一般形式时，通常将二次项系数化为正数；(2)一元二次方程的各项系数包括前面的符号.
2. 将方程（2x－1）（3x＋1）＝x2＋2化为一般形式（a＞0）为 　5x2－x－3＝0　⁠. 
1.将方程5x2＝6x－8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　C)
知识点三 一元二次方程的解法
例 用适当的方法解下列方程：
(1)9(x+2)2＝16
(2)x2+2x-3＝0
(3) (2x+1)2＝3(2x+1)
(4) (x-3)2＝(5-2x)2
(5) 3x2-10x+6＝0
(1)可用直接开平方法解；(2)可用配方法、公式法解；(3)(4)可用因式分解法解；(5)可用公式法解．
解一元二次方程时，要根据实际情况，灵活选用解方程的方法．若方程易化为(x＋h)2＝k(k≥0)的形式，则利用直接开平方法比较方便．对一元二次方程的一般形式而言，若ax2＋bx＋c易于因式分解，则利用因式分解法；若易于配成完全平方式，则利用配方法；否则就用公式法．
1.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为( ) A.(x-1)2=6 B. (x+2)2=9 C. (x+1)2=6 D. (x-2)2=9
2. 解方程(x-1)2-2(x-1)=0 ，最简便的方法是 ( ) A. 配方法 B. 公式法 C. 因式分解法 D. 直接开平方法
3. 方程(x－1)(x＋2)＝3(x＋2)的根为 　x1＝－2，4　⁠. 
x1＝－2，x2＝4　
6.用适当的方法解下列方程：
（1） (x－2)2＝16；
（2） x2+8x－9＝0 ；
（3） 5x2－5x＋1＝0；
（4） 9(x－2)2－(2x＋3)2＝0.
知识点四 一元二次方程根的判别式
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1) 5y2+1=8y.
解：化简得 5y2-8y+1=0.
b2－4ac=52-4×(-8)×1=57>0，
方程有两个不相等的实数根.
(2)2x2+4x－3=2x－4.
解：化简得 2x2+2x+1=0. b2-4ac=22-4×2×1=-4<0，
例2 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实根，则k的取值范围是____________.
1.下列所给方程中，没有实数根的是( )A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0 C. 3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0
2.已知关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
C. a≥－4且a≠0
D. a＞－4且a≠0
5. 对于实数a、b定义运算“☉”为a☉b＝b2－ab，例如3☉2＝22－3×2＝－2，则关于x的方程（k－3）☉x＝k－1的根的情况，下列说法正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
3. 若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )A. m＜1 B. m＜1且m≠0 C. m≤1 D. m≤1且m≠0
6.已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
解：(1)△ABC是等腰三角形　理由：把x＝－1代入方程，得2a－2b＝0，∴ a＝b.∴ △ABC是等腰三角形.
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
解：(2)△ABC是直角三角形　理由：∵ 方程有两个相等的实数根，∴ (2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0.∴ b2＋c2＝a2.∴ △ABC是直角三角形.
知识点五 一元二次方程根与系数的关系
例1 不解方程，求下列方程两根的和与两根的积：
（1） x2＋2x－5＝0;
（2）2x2＋x＝1.
例2 已知x1，x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,且(x1+1)(x2+1)=4. (1)求k的值； (2)求(x1-x2)2的值.
=72-4×(-4)=65.
例3 若关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4m－1＝0有两个实数根x1、x2，且(x1＋2)(x2＋2)－2x1x2＝17，求m的值.
已知一元二次方程的两根的关系求字母系数的值或取值范围：(1)确定一元二次方程根与系数的关系；(2)由已知关系式列出方程(组)或不等式(组)；(3)解方程(组)或不等式(组)；(4)根据根的判别式确定字母系数的值或取值范围．
1. 下列方程中，两个实数根的和等于2的方程是( )
A. 2x2－4x＋3＝0
B. 2x2－2x－3＝0
C. 2y2＋4y－3＝0
D. 2t2－4t－3＝0
4. 关于x的方程ax2-(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且有x1－x1x2＋x2＝1－a，则a的值是( )
8. 已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.
(1)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
解：(1) b2－4ac＝m2－4×1×(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4.∵ (m－2)2≥0，∴ (m－2)2＋4＞0.∴ 不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根
(2) 若该方程的一个根为x＝1，求该方程的另一个根.
9. 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1、x2.
(1) 求m的取值范围；
解：(1)由题意，得b2－4ac＝(－6)2－4(m＋4)＝20－4m≥0，解得m≤5. ∴ m的取值范围是m≤5
(2)若x1、x2满足3x1＝｜x2｜＋2，求m的值.
解：(2)根据题意，得x1＋x2＝6①，x1x2＝m＋4②.∵ 3x1＝｜x2｜＋2，∴ 当x2≥0时，有3x1＝x2＋2③.联立①③，解得x1＝2，x2＝4.代入②，得2×4＝m＋4，解得m＝4.当x2＜0时，有3x1＝－x2＋2④.联立①④，解得x1＝－2，x2＝8（不合题意，舍去）.综上所述，m的值为4
10. 已知关于x的方程x2－2x＋m－2＝0有两个实数根x1、x2.求：
(1) m的取值范围；
解：(1)根据题意，得b2－4ac＝(－2)2－4(m－2)≥0，解得m≤3
(2)3x1＋3x2－x1x2的最小值.
解：(2)根据题意，得x1＋x2＝2，x1x2＝m－2，∴ 3x1＋3x2－x1x2＝6－(m－2)＝－m＋8.∵ m≤3，∴ 当m＝3时，3x1＋3x2－x1x2的值最小，最小值为－3＋8＝5