高中数学4.4 对数函数学案及答案

4.4 对数函数

考点一  对数函数的概念辨析

【例1-1】（2019·全国高一）下列函数表达式中，是对数函数的有（    ）

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；

由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；

由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；

由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；

只有③④符合对数函数的定义.故选：B

【例1-2】（2020·宝鸡市渭滨中学高一期中）若函数的图像过点，则的值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【解析】由题, .故选：B

【一隅三反】

1．（2020·全国高一课时练习）下列函数为对数函数的是（    ）

A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)           B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)

C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)             D．y＝2logax(a＞0且a≠1)

【答案】C

【解析】根据对数函数的定义，可得判定，只有函数且复数对数函数的概念，所以函数且是对数函数，而选项A、B、D中的函数只能是对数型函数，不是对数函数.故选：C.

2．下列函数是对数函数的是(   )

A． B． 

C． D． 

【答案】C

【解析】由对数函数定义可以，本题选C．

3．下列函数，是对数函数的是

A．y=lg10x B．y=log3x2

C．y=lnx D．y=log（x–1）

【答案】C

【解析】由对数函数的定义，形如y=logax（a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x=x，

y==2、y=都不是对数函数，只有y=lnx是对数函数．故选C．

4．（2020·全国高一课时练习）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为(　　)

A．y＝log4x B．y＝ x

C．y＝ x D．y＝log2x

【答案】D

【解析】由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，

得a＝2所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.

考点二  单调性（区间）

【例2】（1）（2020·辽宁锦州·高二期末）函数的单调减区间是（    ）

A． B． C． D．

（2）（2019·四川省新津中学高一月考）已知在上是增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】（1）D（2）C

【解析】由题：，，解得：，

的减区间，即的减区间，对称轴为结合二次函数单调性，

所以的减区间.故选：D

（2）设， 在上是增函数，

，即，解得， 实数的取值范围是 ，故选：C．

【一隅三反】

1．（2019·小店·山西大附中高一期中）函数的单调递减区间为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，解得或

令，因为的图像开口向上，对称轴方程为 ，

所以内函数在上单调递增，外函数单调递减，

所以由复合函数单调性的性质可知函数的单调递减区间为故选A.

2．函数y=是

A．区间（–∞，0）上的增函数 B．区间（–∞，0）上的减函数

C．区间（0，+∞）上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数

【答案】A

【解析】如图所示，函数y=的图象与函数y=的图象关于y轴对称，

所以函数y=是区间（–∞，0）上的增函数．故选A．

3．（2020·全国）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得或所以的定义域为

因为在上单调递增所以在上单调递增

所以故选：D

考点三  定义域和值域

【例3】（1）（2020·永昌县第四中学高二期末（文））函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

（2）（2019·新疆兵团第二师华山中学高二月考（文））函数的值域是（   ）.

A．R B． C． D．

【答案】（1）C（2）B

【解析】（1）要使得函数有意义，只需：且，解得.故函数定义域为.

故选：.

（2）恒成立，函数的定义域为

设

由复合函数的单调性可知函数在定义域上先增后减，函数取到最大值即： 函数的值域为故选

【一隅三反】

1．（2020·沭阳县修远中学高二期末）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的定义域满足：，解得.故选：A.

2．（2020·湖南高新技术产业园区·衡阳市一中高三月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.

【答案】

【解析】由题意，函数的定义域是，即，

则函数有意义，则满足 ，解得，

解得，即函数的定义域是.故答案为：.

3．（2019·北）若函数 则函数的值域是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.

考点四  比较大小

【例4】（2020·全国高一课时练习）比较下列各组数中两个值的大小．

（1）log23.4，log28.5；

（2）log0.31.8，log0.32.7；

（3）loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．

【答案】（1）；（2）；

（3）当时，；当时，.

【解析】（1）根据对数函数在为单调递增函数，

因为，所以.

（2）根据对数函数在为单调递减函数，

因为，所以.

（3）根据对数函数的性质，可得：

当时，函数在为单调递减函数，

因为，所以；

当时，函数在为单调递增函数，

因为，所以.

【一隅三反】

1．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期末（文））已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】,,,,故选：A

2．（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末（文））已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，，，所以，故选：A.

3．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（文））若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，故.

故选：A.

考点五  解不等式

【例5】（2020·内蒙古集宁一中高二期末（文））不等式的解集是________.

【答案】

【解析】由在单调递减，因为，

所以 ，解得，，即解集为.故答案为:

【一隅三反】

1．（2020·安徽马鞍山）已知函数是定义域为的偶函数，在上单调递减，则不等式的解集是（    ）

A． B．（1，3） C． D．

【答案】C

【解析】因为的图象是由的图象向左平移2个单位，

而的图象关于轴对称，故的图象关于直线对称.

由在上单调递减可得在上单调递增，

故即为，

也就是，所以或，

解得或，

故选：C．

2．（2020·湖北）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，，，

因为是定义在上的奇函数，所以，

即.因此，

作出的图象如下：

在上单调递增，又，

由得：，解得：.故选：A.

3．（2019·山东省实验中学高三月考）已知函数 (>0且≠1)的图像过点(9，2)

(1)求函数的解析式；

(2)解不等式．

【答案】（1）（2）

【解析】(1)因为，所以，即

(2)因为单调递增，所以即不等式的解集是

考点六  定点

【例6】（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）函数的图象恒过定点，（其中且），则的坐标为__________.

【答案】

【解析】令，解得 ，所以 ，所以 的坐标为，故答案为：

【一隅三反】

1.（2020·云南省玉溪第一中学高一期中）函数的图象必过定点（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵过定点， ∴，

，故图象必过定点．故选：A．

2．（2019·重庆高一月考）函数（，且）的图象恒过点（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f（x）=1，所以函数的图象过定点.

考点七  图像

【例7】（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末（文））函数（且）与函数（且）在同一直角坐标系内的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，和均为减函数，

而的图象和的图象关于y轴对称，

结合选项知A、B、C、D均错误；当时，和均为增函数，

而的图象和的图象关于y轴对称，结合选项可得A正确.故选：A

【一隅三反】

1．（2020·山东滨州·高二期末）函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】,所以舍B;

当时,单调递增，所以舍去CD，故选：A

2．（2020·全国高一课时练习）函数y＝2log4(1－x)的图象大致是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数的定义域为且单调递减，故选C.

3.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)

A．0＜a＜b＜1                B．0＜b＜a＜1

C．a＞b＞1                     D．b＞a＞1

【答案】B

【解析】作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.

考点八  对数函数综合运用

【例8】（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））已知函数．

（1）求的值；

（2）求函数的定义域

（3）判断函数的奇偶性，并证明.

【答案】(1)；(2)；(3)偶函数，证明见解析．

【解析】(1)令，则

(2)由题意:，解得，故定义域为；

(3)函数为偶函数

证明：对任意，

由偶函数的定义可得函数为偶函数

【一隅三反】

1．（2020·湖南桃江·高二期末）已知函数且.

（1）求的定义域；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）当时，定义域为，当时，定义域为；（2）.

【解析】（1）由函数有意义得，∴当时，定义域为 ，当时，定义域为 .

（2）∵在定义域内，∴∴单调递增，结合定义域可知：的解集为.

2．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）已知函数，a常数.

（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；

（2）若对于，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）证明见解析，单调增区间为；（2）.

【解析】（1）证明：当时，.

的定义域为.

当时,

.

，

∴在区间上是奇函数，

的单调增区间为，.

（2）由，

得.

令，

若使题中不等式恒成立，只需要.

由（1）知在上是增函数，所以.

所以m的取值范围是.