高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时导学案

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填写下表：
问题：(1)观察eq \r(ab)与eq \f(a＋b,2)的大小关系，从中你发现了什么结论？
(2)你能给出它的证明吗？
知识点 基本不等式
(1)基本不等式：如果a>0，b>0，那么eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中，eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
(2)变形：①ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
②a＋b≥2eq \r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
不等式a2＋b2≥2ab与不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)成立的条件一样吗？
[提示] 不同，前者为a＝b，后者为a＝b>0.
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq \r(ab)均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋eq \f(1,a)≥2eq \r(a·\f(1,a))＝2.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1D．a＝0
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立．]
类型1 对基本不等式的理解
【例1】 (多选)下面四个推导过程正确的有( )
A．若a，b为正实数，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2
B．若a∈R，a≠0，则eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))))≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x))))＝－2
D．若a<0，b<0，则eq \f(a2＋b2,2)≤ab
AC [∵a，b为正实数，∴eq \f(b,a)，eq \f(a,b)为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确；
∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4是错误的，故B错误；
由xy＜0，得eq \f(x,y)，eq \f(y,x)均为负数，但在推导过程中将整体eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)提出负号后，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D错误，因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．]
对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面
(1)定理成立的条件是a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)的等号成立，即a＝b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；仅当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a＝b.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若x＞1，则x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2.
②若x＜0，则x＋eq \f(4,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x)))))
≤－2eq \r(－x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x))))＝－4.
③若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.
② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝eq \f(1,x)时，即x＝1，x＋eq \f(1,x)≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋eq \f(1,x)＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]
类型2 利用基本不等式比较大小
【例2】 (1)如果0＜a＜b＜1，P＝eq \f(a＋b,2)，Q＝eq \r(ab)，M＝eq \r(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞PD．M＞Q＞P
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)B (2)p>q [(1)法一：显然eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)，又因为eq \f(a＋b,2)＜eq \r(a＋b)(由a＋b＞eq \f(a＋b2,4)也就是eq \f(a＋b,4)＜1可得)，所以eq \r(a＋b)＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab).故M＞P＞Q.
法二：取a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,2)，易知M>P>Q，故选B.
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.
即p>q.]
1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．若0A．a2＋b2B．2eq \r(ab)
C．2abD．a＋b
D [法一：∵02ab，a＋b>2eq \r(ab)，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.
法二：(特殊值法)取a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，则a2＋b2＝eq \f(13,36)，2eq \r(ab)＝eq \f(\r(6),3)，2ab＝eq \f(1,3)，a＋b＝eq \f(5,6)，显然eq \f(5,6)最大，故选D.]
类型3 利用基本不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.
由a＋b＋c＝1为切入点，思考是否需要把“eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)”中的“1”替换成a＋b＋c，然后选择基本不等式证明eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.
[证明] ∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)
＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)
＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))
≥3＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq \r(\f(c,b)·\f(b,c))
＝3＋2＋2＋2
＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)>9.
本例条件不变，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))>8.
[证明] ∵a，b，c是互不相等的正数，
且a＋b＋c＝1，
∴eq \f(1,a)－1＝eq \f(b＋c,a)>0，eq \f(1,b)－1＝eq \f(a＋c,b)>0，eq \f(1,c)－1＝eq \f(a＋b,c)>0，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))
＝eq \f(b＋c,a)·eq \f(a＋c,b)·eq \f(a＋b,c)≥eq \f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))＞8.
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[证明] 由基本不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
1．不等式(x－2y)＋eq \f(1,x－2y)≥2成立的前提条件为( )
A．x≥2yB．x>2y
C．x≤2yD．x<2y
B [由题意可知x－2y>0，∴x>2y.]
2．(多选)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为( )
A.eq \f(a2＋b2,2)≥ab
B.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
C．ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)
ACD [由a，b∈R，得eq \f(a2＋b2,2)≥ab，A正确；由a，b∈R，得eq \f(b,a)与eq \f(a,b)不一定是正数，故B不一定成立；ab－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝－eq \f(a－b2,4)≤0，故C正确；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2－eq \f(a2＋b2,2)＝－eq \f(a－b2,4)≤0，故D正确，故选ACD.]
3．下列不等式正确的是( )
A．a＋eq \f(1,a)≥2B．(－a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))≤－2
C．a2＋eq \f(1,a2)≥2D．(－a)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)))2≤－2
C [A不成立，如a＝－1；B不成立，如a＝－1；D选项显然错误；故选C.]
4．比较大小：eq \f(x2＋2,\r(x2＋1))________2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
≥ [由于eq \f(x2＋2,\r(x2＋1))＝eq \f(x2＋1＋1,\r(x2＋1))＝eq \r(x2＋1)＋eq \f(1,\r(x2＋1))>2.故填≥.]
5．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是____．(填序号)
①eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)；②a－b≥2eq \r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
③ [根据eq \f(a2＋b2,2)≥ab，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何由不等式a2＋b2≥2ab导出eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)？
[提示] 对于a2＋b2≥2ab，若用a代替a2，b代替b2，便可得到：a＋b≥2eq \r(ab)，即eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2).
2．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)的常见变形有哪些？
[提示] ①a＋b≥2eq \r(ab)；②ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2.
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解基本不等式的证明过程．(重点)
2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．
2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.
a
b
eq \r(ab)
eq \f(a＋b,2)
eq \r(ab)与eq \f(a＋b,2)的大小关系
eq \f(1,2)
eq \f(1,8)
eq \f(1,4)
1
4
16
2
2
…
…