初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定练习

这是一份初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定练习，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知两边上分别取，再分别过点，作，的垂线，两垂线交于点，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，平分,,,于,,则∠ACP=（ ）
A．B．C．D．
3．如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=8，BD=3，则DE的长是( )
、A．7B．5C．3D．2
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF交AD于点G．下列结论：①AD平分∠EDF；②AD⊥EF；③AG=DG；④∠AEF=∠ADF 其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点．若满足，则的长度为（ ）
A．3B．5C．5和7D．3或7
6．如图所示的正方形网格中，（ ）
A．330°B．315°C．310°D．320°
二、填空题
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，若DE=CD，AB=10，BC=8，AC=6则△DEB的周长为______．
8．在中，°，，，某线段， ，两点分别在和的垂线上移动，则当__________.时，才能使和全等.
9．如图，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，点B的坐标为，C点坐标为（2，-2），则A点坐标为_______．
10．如图，在与中，，，，若，则的度数为________．
11．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中正确的是_____．
三、解答题
12．如图，AB⊥CB，DC⊥CB， E、F 在 BC 上，AF=DE，BE=CF，求证：AB =DC．
13．如图，中，D是的中点，，，，求证：是的角平分线．
14．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC．
求证：AD是∠BAC的平分线．
15．如图，∠D＝∠C＝90°，EA、EB分别平分∠BAD、∠ABC，CD过点E．
（1）求∠AEB的度数；
（2）求证：点E是BC的中点；
（3）求证：AB＝AD＋BC．
16．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF=CB．
（1）求证：BE=FD；
（2）若CD=6，AD=8，求四边形ABCF的面积．
参考答案
1．C
【分析】
由OM⊥MP，ON⊥NP， 可得∠OMP=∠ONP=90°，结合 证明 Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），从而可得答案．
【详解】
解：∵OM⊥MP，ON⊥NP，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
2．C
【分析】
如图，作PT⊥AN于T．由Rt△PTC≌Rt△PDB（HL），推出∠PCT=∠PBD，只要求出∠PBD即可解决问题；
【详解】
解：如图，作PT⊥AN于T．
∵PA平分∠MAN，PT⊥AN，PD⊥AM，
∴PT=PD，∠PTC=∠PDB=90°，
∵PC=PB，
∴Rt△PTC≌Rt△PDB（HL），
∴∠PCT=∠PBD，
∵∠PBD=90°-50°=40°，
∴∠PCT=40°，
∴∠ACP=180°-40°=140°，
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了勾股定理．
3．B
【分析】
根据垂直的定义得到∠AEC=∠D=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC=∠D=90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE=BD=3，CD=AE=8，
∴DE=CD-CE=8-3=5，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．
4．C
【分析】
根据角平分线性质求出DE=DF，证△AED≌△AFD，推出AE=AF，再逐个判断即可．
【详解】
∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，
∴AD平分∠EDF；①正确；
∵AD平分∠BAC，
∵AE=AF，DE=DF，
∴AD垂直平分EF，
∴AD⊥EF；②正确；
∵AD⊥EF，AE不一定等于ED，
∴AG不一定等于DG；③错误；
∵AD⊥EF，DF⊥AC，
∴∠AEF+∠EAD=90，∠ADF+∠FAD=90，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠AEF=∠ADF，④正确；
综上，①②④正确，共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线性质的应用，能证明Rt△AED≌Rt△AFD是解此题的关键．
5．D
【分析】
过点P作PE⊥AO于E，根据角平分线的性质和定义可得PE=PN，∠POE=∠PON，∠PEO=∠PNO=90°，再根据角平分线的性质可得OE=ON=5，然后根据点D与点E的先对位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用HL证出Rt△PDE≌Rt△PMN，可得DE=MN，即可求出OD．
【详解】
解：过点P作PE⊥AO于E
∵OC平分∠AOB，，
∴PE=PN，∠POE=∠PON，∠PEO=∠PNO=90°
∴∠OPE=90°－∠POE=90°－∠PON=∠OPN
∴PO平分∠EPN
∴OE=ON=5
①若点D在点E左下方时，连接PD，如下图所示
在Rt△PDE和Rt△PMN中
∴Rt△PDE≌Rt△PMN
∴DE=MN
∵MN=ON－OM=2
∴DE=2
∴OD=OE－DE=3
②若点D在点E右上方时，连接PD，如下图所示
在Rt△PDE和Rt△PMN中
∴Rt△PDE≌Rt△PMN
∴DE=MN
∵MN=ON－OM=2
∴DE=2
∴OD=OE＋DE=7
综上所述：OD=3或7．
故选D．
【点睛】
此题考查的是角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
6．B
【分析】
根据正方形的轴对称性得∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，∠4=45°．
【详解】
解：由图可知，∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，
可得，， ，，
则
故选B．
7．12．
【分析】
利用“HL”可证得Rt△ACD≌Rt△AED，推出AC=AE=6，可得BE=10-6=4，△BDE的周长的另一部分BD+DE=BD+CD=BC=8，答案可得．
【详解】
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠DEA=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，
∵BC=8，AC=6，AB=10，
∴BE=10-6=4，
∴△BDE的周长=BE+DE+BD=BE+CD+BD= BE+BC=4+8=12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．5㎝或10㎝
【分析】
本题要分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△QPA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置；②Rt△ABC≌Rt△PQA，此时AP=AC，P、C重合．
【详解】
解：∵PQ=AB，
∴根据三角形全等的判定方法HL可知，
当P运动到AP=BC时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中 ，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=5cm；
当P运动到与C点重合时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），
即AP=AC=10cm．
故答案为5㎝或10㎝．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
9．
【分析】
过A，C向过B点的y轴作垂线，构造可得，进而可求得A点坐标；
【详解】
作轴于点M，
∵，，
∴，
在Rt△AOB和Rt△BMC中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，准确利用HL定理是解题的关键．
10．40°
【分析】
先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，得出∠D的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出的度数．
【详解】
解：在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠D=∠A=50°，
∴∠DFE=90°-∠D=90°-50°=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
此题主要考查直角三角形全等的HL定理．理解斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等是解题关键．
11．①②④
【分析】
利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，再根据图形表示出表示出AE、AF，再整理即可得到AC﹣AB＝2BE．
【详解】
解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC﹣FC，
∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，
即AC﹣AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故答案为①②④．
【点睛】
考核知识点：全等三角形判定“HL”.理解判定定理是关键.
12．见解析
【分析】
由BE＝CF得BF＝CE，由AB⊥CB，DC⊥CB得到∠ABF＝∠DCE＝90°，然后根据“HL”可判断RtABF≌RtDCE，则AB＝DC即可．
【详解】
证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∵AB⊥CB，DC⊥CB，
∴∠ABF＝∠DCE＝90°，
∵在RtABF和RtDCE中，
，
∴RtABF≌RtDCE（HL），
∴AB＝DC．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定与性质：有一组直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等；全等三角形的对应角相等，对应边相等．
13．见解析
【分析】
首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是△ABC的角平分线即可．
【详解】
解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的判定，直角三角形全等的判定．要证边相等，想办法证明边所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．
14．见解析
【分析】
由条件可证明Rt△BDE≌Rt△CDF，则可证得DE=DF，再利用角平分线的判定可证得结论．
【详解】
∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴△BDE与△CDF是直角三角形，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
15．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）先由条件得到，再根据角平分线即可得到∠AEB的度数；
（2）过点作于，根据角平分线的性质定理即可得到答案；
（3）由HL可证，得到，同理，即可得到答案．
【详解】
（1）解：∵，即，
∴BC∥AD，
∴，
∵分别平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：过点作于，
∵分别平分，，
∴，
同理，
∴，即点是的中点；
（3）证明：在和中
，
∴，
∴，
同理，
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理，利用HL证直角三角形全等，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
16．（1）证明见解析；（2）48．
【分析】
（1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后利用割补法求面积即可得．
【详解】
（1）平分，，
，
在和中，，
，
；
（2）由（1）已证：，
，
在和中，，
，
，
则四边形ABCF的面积为，
，
，
，
，
，
，
即四边形ABCF的面积为48．