必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换精练

课时同步练习(四十九)　简单的三角恒等变换

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．函数f(x)＝cos2，x∈R，则f(x)(　　)

A．是奇函数

B．是偶函数

C．既是奇函数，也是偶函数

D．既不是奇函数，也不是偶函数

D　[原式＝

＝(1－sin 2x)

＝－sin 2x，

此函数既不是奇函数也不是偶函数．]

2．已知＝，则的值为(　　)

A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－

B　[∵·＝＝＝－1

且＝，∴＝－.]

3．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝(　　)

A．－　　 B.

C．－   D.

A　[sin2＋cos 2A

＝＋2cos2A－1

＝＋2cos2A－1

＝－.]

4．已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)

A．－   B．－

C．－   D．－

A　[由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2tan α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝，所以sin＝sin αcos－cos αsin＝－，故选A.]

5．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为(　　)

A．2π，   B．π，

C．2π，   D．π，

B　[∵f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x

＝1＋sin，

∴f(x)的最小正周期T＝＝π，

由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，

得f(x)的单调减区间为

＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间，故选B.]

二、填空题

6．有以下四个关于三角函数的命题：

①∃x0∈R，sin2＋cos2＝；②∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；③∀x∈[0，π]，＝sin x；④sin x＝cos y⇒x＋y＝.

其中假命题的序号为________．

①④　[因为sin2＋cos2＝1≠，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以②为真命题；因为＝＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以③为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以④为假命题．]

7．化简下列各式：

(1)＜α＜，则＝________.

(2)α为第三象限角，则－＝________.

(1)sin α－cos α　(2)0　[(1)∵α∈，∴sin α＞cos α，

∴＝

＝

＝＝sin α－cos α.

(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，

∴－＝－

＝－＝0.]

8．函数f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．

[－5,3]　[f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2(sin x－1)2＋3.

当sin x＝1时，f(x)取得最大值3，

当sin x＝－1时，f(x)取得最小值－5，

所以函数f(x)的值域为[－5,3]．]

三、解答题

9．求证：tan－tan＝.

[证明]　法一：(由左推右)tan－tan

＝－

＝

＝

＝

＝

＝.

法二：(由右推左)

＝

＝

＝－＝tan－tan.

10．已知函数f(x)＝2cos2，g(x)＝2.

(1)求证：f＝g(x)；

(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．

[解]　(1)证明过程如下：f(x)＝2cos2＝1＋cos x，

g(x)＝2

＝1＋2sincos

＝1＋sin x，

∵f＝1＋cos＝1＋sin x，

∴f＝g(x)，命题得证．

(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos x－sin x

＝

＝cos，

∵x∈[0，π]，

∴≤x＋≤，

当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，

当π≤x＋≤，即≤x≤π时，h(x)递增．

∴函数h(x)的单调递减区间为，

单调递增区间为，

根据函数h(x)的单调性，可知当x＝时，函数h(x)取到最小值．

[等级过关练]

1．设a＝cos 7°＋sin 7°，b＝，c＝，则有(　　)

A．b＞a＞c　　 B．a＞b＞c

C．a＞c＞b   D．c＞b＞a

A　[∵a＝sin 37°，b＝tan 38°，

c＝sin 36°，

∴b＞a＞c.]

2．设α∈，β∈，且＝，则(　　)

A．2α＋β＝   B．2α－β＝

C．α＋2β＝   D．α－2β＝

B　[由题意得sin α－sin αsin β＝cos αcos β，

sin α＝cos(α－β)，

∴cos＝cos(α－β)．

∵－α∈，α－β∈，

∴－α＝α－β或－α＋α－β＝0(舍去)，

∴2α－β＝.]

3．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值是(　　)

A．1   B．2

C.＋1   D.＋2

B　[f(x)＝(1＋tan x)cos x

＝cos x＝sin x＋cos x

＝2sin.

∵0≤x<，

∴≤x＋<，

∴当x＋＝时，

f(x)取到最大值2.]

4．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则cos ＝________.

±　[由25sin2 θ＋sin θ－24＝0，

又θ是第二象限角，

得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去)．

故cos θ＝－＝－，

由cos2 ＝得cos2 ＝.

又是第一、三象限角，

所以cos ＝±.]

5．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈.

(1)若sin α＝，求cos∠POQ；

(2)求△OPQ面积的最大值．

[解]　(1)由题意知∠QOM＝，因为sin α＝，

且α∈，所以cos α＝，

所以cos∠POQ＝cos

＝coscos α＋sinsin α＝.

(2)由三角函数定义，得P(cos α，sin α)，

从而Q(cos α，cos α)，

所以S△POQ＝|cos α||cos α－sin α|

＝|cos2α－sin αcos α|

＝

＝

≤＝＋.

因为α∈，

所以当α＝－时，等号成立，

所以△OPQ面积的最大值为＋.