数学必修 第一册5.5 三角恒等变换练习

第五章  三角函数

5.5.2  简单的三角恒等变换

一、选择题

1．（2019·全国高一课时练习）化简cosx＋sinx等于(　　)

A．2cos B．2cos

C．2cos D．2cos

【答案】B

【解析】cosx＋sinx＝2＝2

＝2cos.故选B.

2．（2019·全国高一课时练习）若，则的值等于（ ）

A．             B．或不存在      C．2           D．2或

【答案】B

【解析】由得，即，

所以或，所以或，

所以不存在或，故选：B.

3.（2019·甘肃高一课时练习）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形

【答案】C

【解析】∵2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B），且2sinAcosB＝sinC，

∴sin（A－B）＝0．∴A＝B．

4．（2019·全国高一课时练习）已知cos θ=－，θ∈（－π，0），则sin+cos=（  ）

A．                B．            C．            D．

【答案】D

【解析】∵cos θ=－，θ∈（－π，0），

∴cos2－sin2=（cos+sin）（cos－sin）＜0，∈（，0），

∴sin+cos＜0，cos－sin＞0，∵（sin+cos）2=1+sin θ=1－=，∴sin+cos=．故选D．

5．（2019·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)在区间上的值域是，则常数ω所有可能的值的个数是(　　)

A．0 B．1           C．2           D．4

【答案】C

【解析】函数f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx，化简可得f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin＋，因为x∈，f(x)∈，所以－1≤sin≤0，则≤－≤，又T＝＝，所以≤≤，即≤ω≤3，sin＝0的结果必然是x＝或.当x＝时，解得ω＝满足题意，当x＝时，解得ω＝满足题意．所以常数ω所有可能的值的个数为2.故选C.

6．（2019·全国高一课时练习）已知函数f（x）=2sin2x+2sin xcos x－1的图象关于点（φ，0）对称，则φ的值可以是（  ）

A．                 B．         C．        D．

【答案】D

【解析】f（x）=2sin2x+2sin xcos x－1==2（）

=2．∵f（x）的图象关于点（φ，0）对称，∴2sin（2φ－）=0，

则2φ－=kπ，φ=．取k=0时，φ=．∴φ的值可以是．

二、填空题

7．（2019·甘肃高一课时练习）___________________________．

【答案】

【解析】根据辅助角公式，化简

8．（2019·全国高一课时练习）求值： ________．

【答案】4

【解析】

9．（2019·全国高一课时练习）已知cos α+cos β=，则coscos的值为          ．

【答案】

【解析】∵cos α+cos β=，∴coscos=[cos（－）+

cos（+）]=（cos α+ cos β）=×=．

10．（2019·全国高一课时练习）已知sin α+sin β=，cos α+cos β=，则=          .

【答案】

【解析】由sin α+sin β=，可得2sincos=，①

由cos α+cos β=，可得2coscos=，②

由可得=．

所以===．

三、解答题

11．（2019·全国高一课时练习）已知函数(R).

（1）当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值;

（2）若为锐角，且，求的值.

【答案】(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)

【解析】（1）f（x）＝2sinxcosx+cos2x＝sin2x+cos2x，

．

∴当，即Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为．

（2）∵，∴．

∴．∵θ为锐角，

∴． ∴．

12．（2019·湖北高一课时练习）如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C．

(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;

(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.

【答案】（1）A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为；（2）当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.

【解析】 (1)连接OA,设∠AOB=α,则OB=cos α,AB=sin α.

∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.∴S=sin 2α.

由于0<α<,∴当2α=,即α=时,S最大=.

∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.

(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.

在Rt△ABH中,=tan 60°=,∴BH=sin α.∴OB=OH-BH=cos α-sin α.

设平行四边形ABOC的面积为S,

则S=OB·AH=sin α=sin αcos α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)

=sin 2α+cos 2α-=

=sin.

由于0<α<,∴当2α+,即α=时,S最大=.

∴当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.