高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）巩固练习

4.4.3 不同函数增长的差异

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1.如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是(　　)

A. B. C.-1 D.-1

【答案】D

【解析】设月平均增长率为x,1月份的产量为a,则有a(1+x)11=7a,则1+x=,故x=-1.

2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是(　　)

【答案】D

【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.

3.现有一组实验数据如下:

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　)

A.V=log2t B.V=lot

C.V= D.V=2t-2

【答案】C

【解析】当t=4时,选项A中的V=log24=2,

选项B中的V=lo4=-2,

选项C中的V==7.5,

选项D中的V=2×4-2=6,故选C.

4.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I(单位:安)与电线半径r(单位:毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为(　　)

A.60安 B.240安 C.75安 D.135安

【答案】D

【解析】设比例系数为k,则电流强度I=kr3,由已知可得当r=4时,I=320,故有320=43k,解得k==5,所以I=5r3,则当r=3时,I=5×33=135(安).

5.若a>1,n>0,则当x足够大时,ax,xn,logax的大小关系是　　　　　　　　　　　　　. 

【答案】logax<xn<ax

【解析】由三种函数的增长特点可知,当x足够大时,总有logax<xn<ax.

6.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过　　　　　小时. 

【答案】3

【解析】设1个细菌分裂x次后有y个细菌,则y=2x.

令2x=4 096=212,则x=12,即需分裂12次,需12×15=180(分钟),即3小时.

7.画出函数f(x)=与函数g(x)=x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.

【答案】函数f(x)与g(x)的图象如右.根据图象可得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).

【解析】

函数f(x)与g(x)的图象如右.根据图象可得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);

当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).

8.某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本2元,铅笔每支0.5元,该店推出两种优惠办法:

(1)买一本软皮本赠送一支铅笔;

(2)按总价的92%付款.

现要买软皮本4本,铅笔若干支(不少于4支),若购买x支铅笔,付款为y元,试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算?

【答案】见解析

【解析】由优惠办法(1)得到y与x的函数关系式为y=2×4+0.5(x-4)=0.5x+6(x≥4,且x∈N).

由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为y=(0.5x+2×4)×92%=0.46x+7.36(x≥4,且x∈N).

令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34,且当4≤x<34时,0.5x+6<0.46x+7.36,当x>34时,0.5x+6>0.46x+7.36.即当购买铅笔少于34支(不少于4支)时,用优惠办法(1)合算;当购买铅笔多于34支时,用优惠办法(2)合算;当购买铅笔34支时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一样合算.

能力提升

9.若x∈(0,1),则下列结论正确的是(　　)

A.2x>>lg x B.2x>lg x>

C.>2x>lg x D.lg x>>2x

【答案】A

【解析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2x,y=,y=lg x的图象,

如图所示.由图可知,当x∈(0,1)时,2x>>lg x.

10.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:

①第4个月时,剩留量会低于;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.

其中所有正确的叙述是　　　　　. 

【答案】①③

【解析】由图象可得,当t=2时,y=,即a2=,

解得a=.故y=.

所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=,所以①正确;

第一个月的减少量为1-;

第二个月的减少量为,显然两者不同,所以②错误;

③由已知,所以,即,所以t1+t2=t3,故③正确.

11.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下:

方案一:每年植树1万平方米;

方案二:每年树木面积比上年增加9%.

你觉得哪个方案较好?

【答案】见解析

【解析】(方案一)5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).

(方案二)5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).∵15.386>15,∴方案二较好.

素养达成

12. 画出函数f(x)=与函数g(x)=x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.

【答案】见解析

【解析】函数f(x)与g(x)的图象如下.

根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);

当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).