高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试复习ppt课件

指数与对数的运算

【例1】　计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；

(2)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－.

[解]　(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.

(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.

指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.

1．设3x＝4y＝36，则＋的值为(　　)

A．6 B．3

C．2   D．1

D　[由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，

∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]

指数函数、对数函数的图象及应用

【例2】　(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是(　　)

A　    　B　    　C　    　D

(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.

①如图，画出函数f(x)的图象；

②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．

(1)B　[由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.]

(2)[解]　①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．

②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．

1．识别函数的图象从以下几个方面入手：

(1)单调性：函数图象的变化趋势；

(2)奇偶性：函数图象的对称性；

(3)特殊点对应的函数值．

2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.

2．函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点(　　)

A．(1,1)   B．(1,0)

C．(2,1)   D．(2,0)

C　[把y＝logx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]

比较大小

【例3】　若0<x<y<1，则(　　)

A．3y<3x

B．logx3<logy3

C．log4x<log4y

D.x<y

C　[因为0<x<y<1，则

对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．

对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误．

对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确．

对于D，函数y＝x在R上单调递减，故x>y，D错误．]

1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．

2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．

4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．

3．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则(　　)

A．a>b>c   B．b>a>c

C．a>c>b   D．c>b>a

C　[∵a＝log2π>log22＝1，b＝logπ<log1＝0，c＝π－2＝，即0<c<1，∴a>c>b，故选C.]

指数函数、对数函数的性质

【例4】　(1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.

①求a的值；

②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．

(1)A　[由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．]

(2)[解]　①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．

又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，

所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.

②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.

令t＝log3x，因为1≤x≤3，

所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.

所以y＝2＋∈，

所以所求函数的值域为.

1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．

2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．

函数的应用

【例5】　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．

(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；

(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．

[解]　(1)最初的质量为500 g.

经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；

经过2年，w＝500×0.92；

由此推知，t年后，w＝500×0.9t.

(2)由题意得500×0.9t＝250，即

0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得

lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，所以t＝≈6.6.

即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．

指数函数模型的应用

在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N1＋px其中N为基础数，p为增长率，x为时间的形式.

4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

[解]　设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得×n≤，即n≤.

则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，

故n≥≈7.4，

考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．