人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.2 复数的运算10.2.1 复数的加法与减法教学设计

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10.2.1  复数的加法与减法本节《普通高中课程标准数学教科书-必修四（人教B版）第十章《复数》， 10.2.1复数的加法与减法， 本节课要学的内容包括复数的加法与减法运算及其几何意义，理解复数的运算注意从两个方面进行，一方面类比实数的加减运算，可以将减法转化为加法，同时注意复数与向量的对应关系，理解复数加法与减法的几何意义，从而帮助学生理解和掌握复数的加减法运算。发展学生的逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养。课程目标学科素养A．掌握复数的加、减法运算法则，能熟练地进行复数的加、减运算． B.理解复数加、减法运算的几何意义，能解决相关的问题．C. 在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。 1.数学抽象：复数的加法与减法运算法则；2.逻辑推理：复数减法与加法的关系；3.数学运算：复数的加法与减法运算；4.直观想象：复数的加法与减法运算的几何意义1.教学重点：熟练地进行复数的加、减运算； 2.教学难点：理解复数加、减法运算的几何意义；多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、    情境与问题复数的加法      我们知道任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,即时,必定有,  那么,复数中的加法应该如何规定,才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？     设，， ，你认为的值应该是等于多少？由此尝试给出任意两个复数相加的运算法则。    一般地，设, ，称为，并规定 （）+（ ） （）+（ ）    显然两个复数的和仍然是复数，而且容易证明,复数的加法运算满足交换律与结合律及对任复数，， ,有=,                )设，， 求出所对应的向量，猜想并归纳复数加法的几何意义。    由复数与向量之间的对应关系，可以得出复数加法的几何意义，如图所示，由复数加法的几何意义可以得出复数的减法     在实数中减去一个数，可以看成加上这个数的相反数。例如，因为3的相反数为，因此， 在复数中是否可以用类似的方法来定义两个复数的减法呢？  设，，的值。一般地，复数,，并规定复数减去的差记作，并规定=   一般地，如果, ，则 （） （ ） （）+（ ） 由复数与向量之间的对应关系同样可以得出复数减法的几何意义；如果复数与，    设点满足=, 则所对应的向量就是如图所示由复数减法的几何意义可以得出；试一试1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　)A．8i　　　　B．6            C．6＋8i           D．6－8iB　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)A．2＋4i     B．－2＋4i       C．－4＋2i         D．4－2iD　[依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.]3．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为__________．1－i　[＝2－1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]4．已知z1＝3＋4i，z2＝4－3i，则(z1＋z2)－(1＋2)＝__________.2i　[z1＋z2＝3＋4i＋4－3i＝7＋i，1＋2＝3－4i＋4＋3i＝7－i，∴(z1＋z2)－(1＋2)＝7＋i－(7－i)＝2i.]二、典例解析【例1】　(1)＋(2－i)－＝________.(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.(1)1＋i　[＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.](2)[解]　法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.归纳总结：复数加、减法运算方法1．复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．【例2】　(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为__________．(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.[思路探究]　(1)先写出点A，B，C的坐标，利用向量＝D列方程求解．(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．(1)3＋5i　[设D(x，y)，类比向量的运算知A＝D，所以有复数－i－(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得x＝3，y＝5，所以D对应的复数为3＋5i.](2)[解]　设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z 中，由余弦定理，得cos∠OZ1Z＝＝－，所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，因此△OZ1Z2是正三角形，所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1【变式探究】若把本例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝1”，则|z1＋z2|等于多少？[解]　设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，得|z1＋z2|2＝|z1|2＋|z2|2－2|z1|·|z2|cos∠OZ1Z，因为∠Z1OZ2＝60°，所以∠OZ1Z＝120°，所以|z1＋z2|＝.归纳总结：利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1．技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．[探究问题]1．在实数范围内a－b＞0⇔a＞b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2＞0⇒z1＞z2恒成立呢？提示： 例如z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1＞0，但不能说1＋i大于i.2．复数|z1－z2|的几何意义是什么？提示：复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．【例3】　(1).复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,2,5＋3i，由A→B→C→D按逆时针顺序作ABCD，求|.[思路探究]　首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．[解]　如图，设D(x，y)，F为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，所以即所以点D对应的复数为z＝3＋4i，所以＝－＝3＋4i－2＝1＋4i，所以||＝.(2)．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．[解]　由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.归纳总结1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．    通过对实数加法运算法则的的回顾，提出复数加法运算问题，引导学生进行类比思考。发展学生逻辑推理和直观想象的核心素养。                                 通过联系向量知识，体会复数加法与减法的几何意义。发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养。                                              通过典例解析，加深对复数加法与减法的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养。    三、达标检测1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．(　　)(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．(　　)(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)A．－1＋i　　　B．1－i　　　C．i　　　 D．－iA　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A．]3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)A．－2         B．4         C．3      D．－4B　[z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]4．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________个．1　[依题意设z＝5＋bi，则|z|＝，而|4－3i|＝＝5，所以＝5，即b＝0.]5．在复平面内，点A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长．[解]　如图，由复数加减法的几何意义，知＝＋，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，∴|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.    通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，增强学生的数学运算、直观想象的核心素养。    四、小结1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．3．根据复数加法的几何意义知，两个复数对应向量的和所对应的复数就是这两个复数的和．4．求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．五、课时练  通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 本课以实数加法与加法运进行类比思考，提出复数加法与减法的运算问题，引导学生类比思考复数的加法与减法所遵循的运算法则，同时联系复数与向量的对应关系，让学生体会复数加减法的几何意义。让学生经历学习探究的过程，从而发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。