初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程练习

这是一份初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程练习，共8页。试卷主要包含了读诗词解题，某地计划对矩形广场进行扩建改造，观察下列一组方程等内容，欢迎下载使用。

解答题
1．(2020·湘西州)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20 000个，2月底市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24 200个．
(1)求口罩日产量的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
2．(2019·东营)为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降价1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？
3．王红梅同学将1 000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后可得本金和利息共530元．求第一次存款时的年利率(假设不计利息税)．
4．一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量得竹竿的长度比城门的宽度多4 m．旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门的高度多2 m．二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城．你知道竹竿有多长吗？
5．读诗词解题(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
6．张小武同学建立了一个名为“正能量”的微信群．这个微信群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条充满正能量的消息，这样共有870条消息．这个微信群里共有多少个好友？
7．天山旅行社为吸引游客组团去黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准．某单位组织员工去黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27 000元，请问该单位这次共有多少名员工去黄果树风景区旅游？
8．某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50 m，宽40 m，要求扩建后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩建区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩建区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用为642 000元，扩建后广场的长和宽应分别是多少米？
9．(中考·德州)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元．经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
10．观察下列一组方程：①x2－x＝0；②x2－3x＋2＝0；③x2－5x＋6＝0；④x2－7x＋12＝0；……
它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
(1)若x2＋kx＋56＝0也是“连根一元二次方程”，写出实数k的值，并解这个一元二次方程；
(2)请写出第n个方程和它的根．
参考答案
1．(2020·湘西州)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20 000个，2月底市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24 200个．
(1)求口罩日产量的月平均增长率；
解：设口罩日产量的月平均增长率为x.
根据题意，得20 000(1＋x)2＝24 200，
解得x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%.
答：口罩日产量的月平均增长率为10%.
(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
解：24 200×(1＋10%)＝26 620(个)．
答：预计4月份平均日产量为26 620个．
2．(2019·东营)为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降价1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？
解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300＋5(200－x)]个．
依题意，得(x－100)[300＋5(200－x)]＝32 000.
整理，得x2－360x＋32 400＝0，解得x1＝x2＝180.
180<200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32 000元．
3．王红梅同学将1 000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后可得本金和利息共530元．求第一次存款时的年利率(假设不计利息税)．
解：设第一次存款时的年利率为x.
根据题意，得[1 000(1＋x)－500]·(1＋0.9x)＝530.
整理，得90x2＋145x－3＝0.
解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63(不合题意，舍去)．
答：第一次存款时的年利率约是2.04%.
4．一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量得竹竿的长度比城门的宽度多4 m．旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门的高度多2 m．二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城．你知道竹竿有多长吗？
解：设竹竿长x m，则城门宽(x－4)m，城门高(x－2)m.
根据题意，得(x－4) 2＋(x－2) 2＝x2，
解得x1＝10，x2＝2(不合题意，舍去)．
答：竹竿长10 m.
5．读诗词解题(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.
根据题意，得x2＝10(x－3)＋x，即x2－11x＋30＝0.
解这个方程，得x＝5或x＝6.
当x＝5时，两位数为25，25＜30，不合题意，舍去；
当x＝6时，两位数为36，符合题意．
答：周瑜去世时的年龄为36岁．
6．张小武同学建立了一个名为“正能量”的微信群．这个微信群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条充满正能量的消息，这样共有870条消息．这个微信群里共有多少个好友？
解：设这个微信群里共有x个好友．
根据题意，得x(x－1)＝870，
解得x1＝30，x2＝－29(不合题意，舍去)．
答：这个微信群里共有30个好友．
7．天山旅行社为吸引游客组团去黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准．某单位组织员工去黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27 000元，请问该单位这次共有多少名员工去黄果树风景区旅游？
解：因为25×1 000＝25 000(元)＜27 000元，
所以该单位这次去黄果树风景区旅游的人数大于25人，设该单位这次共有x名员工去黄果树风景区旅游，则人均费用为[1 000－20(x－25)]元．
由题意，得x[1 000－20(x－25)]＝27 000.
整理，得x2－75x＋1 350＝0，
解得x1＝45，x2＝30.
当x＝45时，1 000－20×(45－25)＝600＜700，不符合题意，应舍去；
当x＝30时，1 000－20×(30－25)＝900＞700，符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去黄果树风景区旅游．
8．某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50 m，宽40 m，要求扩建后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩建区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩建区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用为642 000元，扩建后广场的长和宽应分别是多少米？
解：设扩建后广场的长为3x m，宽为2x m.
依题意，得3x×2x×100＋30(3x×2x－50×40)＝642 000.
整理，得x2＝900.
解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．
所以3x＝90，2x＝60.
答：扩建后广场的长为90 m，宽为60 m.
9．(中考·德州)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元．经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
解：设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(40k＋b＝600，,45k＋b＝550，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－10，,b＝1 000.))
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝－10x＋1 000.
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
解：设该设备的销售单价为a万元，则每台设备的利润为(a－30)万元，销售量为(－10a＋1 000)台．
根据题意，得(a－30)(－10a＋1 000)＝10 000.
整理，得a2－130a＋4 000＝0，解得a1＝50，a2＝80.
∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴a＝50.
答：该设备的销售单价应是50万元．
10．观察下列一组方程：①x2－x＝0；②x2－3x＋2＝0；③x2－5x＋6＝0；④x2－7x＋12＝0；……
它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
(1)若x2＋kx＋56＝0也是“连根一元二次方程”，写出实数k的值，并解这个一元二次方程；
解：由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，
∴(x－7)(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8.
(2)请写出第n个方程和它的根．
解：第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，
它的根为x1＝n－1，x2＝n.