2020-2021学年北京市海淀区师达中学八下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区师达中学八下期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是
A. 1，2，3B. 1，5，2C. 4，6，8D. 4，5，6

2. 下列各式中，运算正确的是
A. 2+3=5B. 2+3=23
C. 8=22D. −22=−2

3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是
A. 9B. 12C. 13D. 10

4. 下列给出的条件中，能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是
A. AB∥CD，AD=BCB. ∠B=∠C，∠A=∠D
C. AB=CD，CB=ADD. AB=AD，CD=BC

5. 一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，当 y>0 时，x 的取值范围是
A. x>0B. x<0C. x>−2D. x<−2

6. 北京市 6 月某日 10 个区县的最高气温如下表：（单位：∘C）
区县大兴通州平谷顺义怀柔门头沟延庆昌平密云房山最高气温32323032303229323032
则这 10 个区县该日最高气温的中位数是
A. 32B. 31C. 30D. 29

7. 如图，一根长 5 米的竹竿 AB 斜靠在竖直的墙上，这时 AO 为 4 米，若竹竿的顶端 A 沿墙下滑 2 米至 C 处，则竹竿底端 B 外移的距离 BD
A. 小于 2 米B. 等于 2 米C. 大于 2 米D. 以上都不对

8. 若一次函数 y=−2x+b 图象上有两点 A−1,y1，B−2,y2，则 y1 与 y2 的大小关系是
A. y1>y2B. y1
9. 如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 2，直角三角形较长的直角边为 m，较短的直角边为 n，那么 m+n2 的值为
A. 23B. 24C. 25D. 26

10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程数．“燃油效率”越高表示汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程数越少．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．
根据图中提供的信息，下列说法：
①以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
②以低于 80 km/h 的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少
③以高于 80 km/h 的速度行驶时，行驶相同路程，乙车比丙车省油
④以 80 km/h 的速度行驶时，行驶 100 km，甲车消耗的汽油量约为 10 L
正确的是
A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 二次根式 x−2 中，x 的取值范围是 ．

12. 如图，A，B 两地被池塘隔开，小明通过下面的方法测出 A，B 间的距离：先在 AB 外选一点 C，连接 AC，BC，分别取 AC，BC 的中点 D，E，测得 DE=15 米，由此他知道了 A，B 间的距离为 米，这种做法的依据是 ．

13. 如图，在平行四边形 ABCD 中，BC=7，AB=4，BE 平分 ∠ABC 交 AD 于点 E，则 DE 的长为 ．

14. 已知直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则其第三边长为 ．

15. 若直线 y=−2x 向上平移 a 个单位后，与直线 y=x+1 的交点在第一象限，则符合条件的 a 值可以是 ．（写出满足题意的一个值）

16. 已知一组数据 x1，x2，x3，⋯，xn 的方差是 m，那么另一组数据 x1−3，x2−3，x3−3，⋯，xn−3 的方差是 （用含有 m 的代数式表示）．

17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正方形 ABCO，A0,4，点 D 为 x 轴上一动点，以 AD 为边在 AD 的右侧作等腰 Rt△ADE，∠ADE=90∘，连接 OE．则 OE 的最小值为 ．

18. 已知四边形 ABCD 为凸四边形，点 M，N，P，Q 分别为 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合），下列说法正确的是 （填序号）．
①对于任意凸四边形 ABCD，一定存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形；
②如果四边形 ABCD 为任意平行四边形，那么一定存在无数个四边形 MNPQ 是矩形；
③如果四边形 ABCD 为任意矩形，那么一定存在一个四边形为正方形；
④如果四边形 ABCD 为任意菱形，那么一定存在一个四边形为正方形．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 计算：
（1）12×32+24÷6．
（2）2−1+8−612−12−10．

20. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 OA，OC 的中点．求证：BE=DF．

21. 某中学为了抗疫宣传，在七、八年级开展了“防疫知识”大赛，为了解参赛学生的成绩情况，从两个年级中各随机抽取 10 名学生的成绩，数据如下：
七年级889490948494999499100八年级84938894939893989799
整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
成绩 x 人数年级80≤x<8585≤x<9090≤x<9595≤x≤100七年级1153八年级a144
分析数据：补全下列表格中的统计量：
统计量年级平均数中位数众数方差七年级93.694b24.2八年级93.7c9320.4
得出结论：
（1）a= ，b= ．
（2）由统计数据可知， 年级选手的成绩比较接近．
（3）学校规定，成绩不低于 90 分的选手可以获奖，若该校七年级有 200 人参加比赛，请估计有多少人获奖．

22. 某班“数学兴趣小组”对函数 y=x−1 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值列表如下：
x⋯−3−2−1012345⋯y⋯4m2101234⋯
其中，m= ．
（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出一条函数的性质 ．
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程 x−1=0 的解是 ．
②方程 x−1=1.5 的解是 ．
③关于 x 的方程 x−1=kx+k+2 有两个实数根，则 k 的取值范围是 ．

23. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AE⊥BC 交 CB 延长线于 E，CF∥AE 交 AD 延长线于点 F．
（1）求证：四边形 AECF 是矩形．
（2）连接 OE，若 AD=5，BE=3，求线段 OE 的长．

24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=−12x+6 分别与 x 轴、 y 轴交于点 B，C，且与直线 l2:y=12x 交于点 A．
（1）求出点 A 的坐标．
（2）若 D 是线段 OA 上的点，且 △COD 的面积为 12，求直线 CD 的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设 P 是射线 CD 上的点，在平面内是否存在点 Q，使以 O，C，P，Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 如图①，在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 边上任意一点（点 E 不与 B，C 重合），点 F 在线段 AE 上，过点 F 的直线 MN⊥AE，分别交 AB，CD 于点 M，N．
（1）求证：MN=AE．
（2）如图②，当点 F 为 AE 中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线 BD，MN 与 BD 交于点 G，连接 BF．求证：BF=FG．

26. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：如果点 P 为图形 M 上任意一点，点 Q 为图形 N 上任意一点，那么称线段 PQ 长度的最小值为图形 M，N 的“近距离”，记作 dMN，特别地，当图形 M 与图形 N 存在公共点时，图形 M，N 的“近距离”为 0．若图形 M，N 的“近距离”小于或等于 1，则称图形 M，N 互为“可及图形”．
若图形 M 为边长等于 2 的正方形 ABCD，其对角线的交点记为正方形的中心 G．
（1）当正方形 ABCD 的顶点分别为：A−1,1，B−1,−1，C1,−1，D1,1 时，
①如果点 E0,12，F3,4，那么 dE,正方形ABCD= ，dF,正方形ABCD= ．
②如果直线 y=x+b 与正方形 ABCD 互为“可及图形”，求 b 的取值范围．
（2）将（1）中正方形沿 x 轴方向平移，设直线 y=−x+6 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，如果正方形 ABCD 和 ∠MNO 互为“可及图形”，直接写出正方形中心 G 的横坐标 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. D
4. C
5. C
【解析】由图象可知当 x=−2 时，y=0，
且 y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 y>0 时，x>−2．
6. A【解析】这 10 个区县该日最高气温分别为：29，30，30，30，32，32，32，32，32，32，
则这 10 个区县该日最高气温的中位数是 32+322=32．
7. A【解析】由题意得：在 Rt△AOB 中，OA=4 米，AB=5 米，
∴OB=AB2−OA2=3 米，
在 Rt△COD 中，OC=2 米，CD=5 米，
∴OD=CD2−OC2=21 米，
∴BD=OD−OB=21−3≈1.58（米）．
故选：A．
8. B【解析】∵ 一次函数 y=−2x+b 中，k=−2<0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵−1>−2，
∴y19. B【解析】由题意可得：m2+n2=13，m−n2=2，
∴m2+n2−2mn=2，
∴2mn=13−2=11，
∴mn=112
∴m+n2=m2+n2+2mn=13+2×112=13+11=24.
10. D
【解析】由图可得，
以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故①错误，
以低于 80 km/h 的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故②错误，
以高于 80 km/h 的速度行驶时，行驶相同路程，乙车比丙车省油，故③正确，
以 80 km/h 的速度行驶时，行驶 100 公里，甲车消耗的汽油量约为 10 升，故④正确．
第二部分
11. x≥2
【解析】要使二次根式有意义，则被开方数要大于等于 0．
故 x−2≥0，解得 x≥2．
12. 30，中位线定理
【解析】∵ 点 D，E 是 AC，BC 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线，
∴AB=2DE=30，依据为：中位线定理．
13. 3
【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵BC=7，AE=AB=4，
∴DE=AD−AE=7−4=3．
14. 5 或 7
【解析】当 4 为直角边时，第三边为 42+32=5；
当 4 为斜边时，第三边为 42−32=7．
15. 2
【解析】直线 y=−2x 向上平移 a 个单位后，得到解析式 y=−2x+a，
∵ 直线 y=−2x+a 与直线 y=x+1 相交，
则 y=−2x+a, ⋯⋯①y=x+1, ⋯⋯②
① + ② ×2 得 3y=2+a，解得 y=2+a3．
① − ②得 0=−3x+a−1，解得：x=a−13，
∵ 两直线的交点在第一象限，
∴x>0，y>0，
即 a−13>0，2+a3>0，
解得 a>1 且 a>−2，即 a>1，
∴ 符合条件的 a 值可以是 2（不唯一）．
16. m
【解析】设数据 x1，x2，x3，⋯，xn 平均数为 a，
数据 x1−3，x2−3，x3−3，⋯，xn−3 的平均数为 b，
∴a=1nx1+x2+x3+⋯+xn，
∴x1+x2+x3⋯+xn=an，
∴b=1nx1−3+x2−3+x3−3+⋯+xn−3=1nan−3n=a−3,
∵m=1nx1−a2+x2−a2+x3−a2+⋯+xn−a2，
∴x1−a2+x2−a2+x3−a2+⋯+xn−a2=mn，
∴x1−3，x2−3，x3−3，⋯，xn−3 的方差为：
1nx1−3−b2+x2−3−b2+x3−3−b2+⋯+xn−3−b2=1nx1−3−a+32+x2−3−a+32+x3−3−a+32+⋯+xn−3−a+32=1nx1−a2+x2−a2+x3−a2+⋯+xn−a2=1n⋅mn=m.
17. 22
【解析】如图，过点 E 作 EF⊥x 轴，垂足为 F，
∵△ADE 为等腰直角三角形，
∴AD=DE，∠ADE=90∘，
∴∠ADO+∠FDE=90∘，
∵∠ADO+∠OAD=90∘，
∴∠FDE=∠OAD，
∴ 在 △FDE 和 △OAD 中，
∠FOE=∠OAD,∠EFD=∠DOA,DE=AD,
∴△FDE≌△OADAAS，
∴EF=OD，DF=OA=4，
∴ 设 EF=OD=x，则 OF=x+4，
∴OE2=OF2+EF2=x+42+x2=2x+22+8，
∴ 当 x=−2 时，OE2 取最小值为 8，
∴OE 最小值为 22，此时 D−2,0，
∴ 故答案为：22．
18. ④
【解析】①对任意凸四边形 ABCD，不一定存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形，一定至少存在一个，如图，只存在一个平行四边形 MNPQ．
②此种情况不一定存在无数个矩形，如图，当钝角越大，矩形就越可能不存在．
③此时不一定存在正方形，也可能没有．
如图：
④当 ABCD 为菱形时，取各边中点连线一定是正方形，所以一定存在一个正方形 MNPQ．
所以，选项④正确．
第三部分
19. （1） 原式=23×32+4=3+2=5.
（2） 原式=2−1+22−6×22−1=32−2−32=−2.
20. ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD，OC=OA，CD=AB，
∴∠DCF=∠BAE，
∵E，F 分别是 OA，OC 的中点，
∴CF=12OC，AE=12OA，
∴CF=AE，
在 △DCF 和 △BAE 中，
DC=BA,∠DCF=∠BAE,CF=AE,
∴△DCF≌△BAESAS，
∴DF=BE．
21. （1） 1；94
【解析】由样本数据知八年级在 80≤x<85 的人数 a=1，
将八年级 10 名学生的成绩重新排列为 84，88，93，93，93，94，97，98，98，99，
∴ 其中位数 c=93+94÷2=93.5，七年级 94 分人数最多，
故众数 b=94．
（2） 八
【解析】由表知八年级成绩的方差 20.4 小于七年级成绩的方差 24.2，
∴ 八年级的成绩更稳定，即成绩比较接近．
（3） 估计七年级获奖人数为 200×5+310=160（人），
∴ 估计有 160 人获奖．
22. （1） 3
【解析】x=−2 时，y=x−1=3，故 m=3．
（2） 函数图象如图所示：
（3） 函数值 y≥0，或者当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大
（4） ① x=1
② x=2.5 或 x=−0.5
③ k∈−∞,0∪0,+∞
【解析】①方程 x−1=0 的解是 x=1．
②方程 x−1=1.5 的解是 x=2.5 或 x=−0.5．
③关于 x 的方程 x−1=kx+k+2 有两个实根，则 kx+k+2>0，解得：k 不等于 0，即 k∈k≠0．
故答案为 x=1，x=2.5 或 −0.5，k∈k k≠0．
∵ 关于 x 的方程 x−1=kx+k+2 有两个实根，
∴kx+k+2>0，即 kx+1>−2，
当 x+1>0 时，k>−2x+1，x∈−1,+∞，
当 x+1<0 时，k<−2x+1，x∈−∞,−1，
令 k=−2x+1，利用反比例函数性质有：
则 k 的取值范围为 k∈−∞,0∪0,+∞．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，即 AF∥EC，
∵CF∥AE，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴ 平行四边形 AECF 是矩形．
（2） 如图所示：
∵ 四边形 ABCD 为菱形，四边形 AECF 为矩形，且 BE=3，AD=5，
∴OA=OC，AB=BC=AD=5，DF=EB=3，∠AEC=90∘，
∴AE=AB2−BE2=52−32=4，CE=BC+BE=8，
∴AC=AE2+CE2=42+82=45，
∵OA=OC，∠AEC=90∘，
∴OE=OC=12AC=12×45=25．
24. （1） 根据题意得 y=−12x+6,y=12x, 解得 x=6,y=3,
∴ 点 A 坐标为 6,3．
（2） 在 y=−12x+6 中，令 x=0，得 y=6，
∴ 点 C 坐标 0,6，
∵ 点 D 在线段 OA 上，
∴S△DCO=12⋅OC⋅xD=12×6⋅xD=12，
∴xD=4，
∴yD=12×4=2，
∴ 点 D 坐标 4,2，
设直线 CD 的函数关系式为 y=kx+bk≠0，
把点 C0,6，D4,2 代入，得 b=6,4k+b=2, 解得 k=−1,b=6,
∴ 直线 CD 的函数关系式为 y=−x+6．
（3） 存在，点 Q 坐标为 −3,3 或 32,−32 或 6,6．
【解析】∵ 点 P 在射线 CD 上，故设点 P 坐标 m,−m+6m≥0，
设 Q 坐标为 n,t，又 O，C，P，Q 构成菱形，分类讨论：
①若 OC，PQ 为对角线，则 O0,0，C0,6，
0=m+n,6=−m+6+t,PO=PC, 即 m+n=0,−m+t=0,m2+−m+62=m2+m2, 解得 m=3,n=−3,t=3,
∴Q1−3,3．
②若 OP，CQ 为对角线，则
m=n,−m+6=6+t,CO=CP, 即 m=n,m+t=0,36=m2+m2, 解得 m=32负舍,n=32,t=−32,
∴Q232,−32．
③若 OQ，CP 为对角线，
∴n=m,t=−m+6+6,OC=OP, 即 m=n,m+t=12,36=m2+−m+62, 解得 m=6,n=6,t=6,
∴Q36,6．
综上，点 Q 坐标为 −3,3 或 32,−32 或 6,6．
25. （1） 过点 D 作 DP∥MN，交 AB 于 P，
∵ 在正方形 ABCD 中，AB=AD，AB∥DC，
∴∠DAB=∠B=90∘．
∴ 四边形 PMND 是平行四边形．
∴PD=MN．
∵∠B=90∘，
∴∠BAE+∠BEA=90∘．
∵MN⊥AE，∠BAE+∠AMN=90∘，
∴∠BEA=∠AMN=∠APD．
在 △ABE 和 △DAP 中，
∠BEA=∠APD∠ABE=∠DAP=90∘,AB=DA，
∴△ABE≌△DAPAAS．
∴AE=DP=MN．
（2） 连接 AG，EG，CG，
由正方形对称性可得，△ABG≌△CBG，
∴AG=CG，∠GAB=∠GCB．
∵MN⊥AE，F 为 AE 的中点，
∴AG=EG．
∴EG=CG，∠GEC=∠GCE．
∴∠GAB=∠GEC．
∵∠GEB+∠GEC=180∘，
∴∠GEB+∠GAB=180∘．
∵ 四边形 ABEG 内角和为 360∘，
∴∠ABE=90∘，∠AGE=90∘．
在 Rt△ABE 和 Rt△AGE 中，
∴BF=12AE，FG=12AE．
∴BF=FG．
26. （1） ① 12；13
②设直线 y=x+b 上存在点 M 到 ABCD 的距离为 1，即 CM=1，
∵GC=2，
∴GM=1+2，
∵∠CGB=45∘，
令 y=x+b 与 y 轴交点为 N，则 ON=2GM=2+2，
∴b=−2−2，
同理若 y=x+b 与 A 点距离为 1，则 b=2+2，
∴b 的取值范围为 −2−2≤b≤2+2．
【解析】①如图为正方形 ABCD，点 E0,12，F3,4，
∵ 点 A−1,1，D1,1，
∴AD∥x 轴，
∴ 点 E0,12 与 AD 的最近距离为：1−12=12，
即 dE,正方形ABCD=12，
如图，连接 DF，由图可知 F 与正方形 ABCD 的最近距离即为 DF，
过 F 作 FP∥x 轴，过点 D 作 DF∥y 轴，
DP，FP 相交于点 P，
∵F3,4，D1,1，
∴PF=2，PD=3，
∴DF=22+32=13，即 d=13．
（2） −2≤m≤2 和 4−2≤m≤8+2．
【解析】如图为 y=−x+b，
设存在点 H−6,−x+6 与 AʹBʹCʹDʹ 的距离为 1，
延长 AʹDʹ 交 y=−x+6 于点 K，
过点 H 作 HJ⊥DʹK，
∵∠HDʹJ=∠HDʹK=∠MNO=45∘，
∴HJ=DʹJ=22，
∵G 点坐标是 m,0，
∴x−m+1=−x+6−1，
∴x=3+m2，
∴H3+m2,3−m2，
∴HJ=3−m2−1=22，m=4−2，
如图，AʹBʹCʹDʹ 移至 M 点右侧时，存在一点 Gʹ 与点 G 关于 M 点对称，
Gʹ 点坐标为 20M−m,0，即 8+2,0，
当正方形 ABCD 的中心在 G∼Gʹ 之间时与 ∠MNO 互为可及图形，
即 m 的范围为 4−2≤m≤8+2，
同理，若 ∠MNO 与正方形 ABCD 可及的点在边 NO 上，即 y 轴上，
此时 ABCD 的边长与 y 轴的距离为 1，则点 G 与 y 轴距离为 2，
即此种情况下 m 的取值范围为 −2≤m≤2．