2022-2023学年北京市海淀区师达中学八年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市海淀区师达中学八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

2．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是　　

A． B． 

C． D．

3．（3分）已知三条线段的长分别是4，4，，若它们能构成三角形，则整数的最大值是　　

A．10 B．8 C．7 D．4

4．（3分）已知点与点关于轴对称，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

5．（3分）下列说法错误的是　　

A．两个内角是的三角形为等边三角形 

B．等腰三角形的两个底角一定都是锐角 

C．三角形三条角平分线的交点与这个三角形三个顶点的距离相等 

D．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线

6．（3分）在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是　　

A． B． C． D．

7．（3分）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是　　

A．9或12 B．10或11 C．10 D．11

8．（3分）如图，小斐同学课本上的三角形被墨迹污染了一部分，但聪明的他根据所学知识很快就画出了一个完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的理论依据是　　

A． B． C． D．

9．（3分）如图，在中，，平分，交于点，若点恰好在边的垂直平分线上，则的度数为　　

A．30 B．36 C．40 D．45

10．（3分）如图，经过直线外一点作这条直线的垂线，作法如下：

（1）任意取一点，使点和点在的两旁．

（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和．

（3）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点．

（4）作直线．则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为　　

A． B． C． D．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

11．（2分）如图，在中，，是的外角．若，则　　．

12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果与全等，那么点的坐标可以是 　　（写出一个即可）．

13．（2分）如图，中，，，是斜边上的高，若，则　 　．

14．（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点、的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点、，使，再过点画出的垂线，使与、在一条直线上，若想知道两点，的距离，只需要测量出线段 　　即可．

15．（2分）聪明的小斐同学这样检查他的课桌桌面是否水平：如图，在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条绳，绳的另一端挂一个重物，把这块三角尺的斜边贴在桌面底部，结果绳经过三角尺的直角顶点，由此得出桌面是水平的（即挂重物的绳与桌面垂直），小斐用到的数学原理是 　　．

16．（2分）如图，将沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，折痕为，以下结论正确的是 　　：①；②平分；③垂直平分；④是中点．

17．（2分）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与、重合），连接，作，交于点，当为等腰三角形时，的度数为 　　．

18．（2分）如图，在中，，为边上一点，且，平分，交于点，连接，则　　，　　．

三、解答题（本题共54分，第19-24题每小题5分，第25-28题每小题5分）

19．（5分）计算：．

20．（5分）解不等式：．

21．（5分）解方程组：．

22．（5分）已知不等式与同时成立，求的整数解．

23．（5分）如图，，，，求证：．

24．（5分）如图，已知，为上一点，，．求证：．

25．（6分）已知：如图，的顶点在直线上，且．

（1）画出关于直线成轴对称的图形，且使点的对称点为点；

（2）在（1）的条件下，与的位置关系是　 　；

（3）在（1）、（2）的条件下，联结，如果，求的度数．

26．（6分）在平面直角坐标系中，等腰的三个顶点的坐标是，点在轴的正半轴上且，点在轴上．

（1）写出所有满足题意的点的坐标；

（2）若点关于直线的对称点在轴上，且，图中、、、中，符合条件的点是 　　；

（3）在（2）的条件下，在轴上找到一点，使的值最小，则这个最小值为 　　．

27．（6分）在等腰中，，于点，以为边作等边，直线与直线交于点，直线与直线交于点．

（1）如图1，当，且与在直线的异侧时，

①求证：；

②猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．

（2）当，且与在直线的同侧时，利用图2探究线段、、之间的数量关系，并直接写出你的结论．

28．（6分）在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和点关于直线对称，则称点是点关于轴、直线的“二次对称点”．

（1）已知点，直线是经过且平行于轴的一条直线，则点的“二次对称点”的坐标为 　　；

（2）如图1，正方形的顶点坐标分别是，，，；点的坐标为，点是轴上的一个动点，直线经过点且垂直于轴，若正方形内存在点，使得点是点关于轴，所在直线的“二次对称点”，则点的横坐标的取值范围是 　　；

（3）如图2，，是轴上的动点，线段经过点，且点、点的坐标分别是，，直线经过且与轴夹角为，在点的运动过程中，若线段上存在点，使得点是点关于轴，直线的“二次对称点”，且点在轴上，则点纵坐标的取值范围是 　　．

2022-2023学年北京市海淀区师达中学八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、是轴对称图形，故此选项错误；

、是轴对称图形，故此选项错误；

、是轴对称图形，故此选项错误；

、不是轴对称图形，故此选项正确；

故选：．

2．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：设所求多边形的边数为，根据题意得：

，

解得．

故选：．

3．（3分）已知三条线段的长分别是4，4，，若它们能构成三角形，则整数的最大值是　　

A．10 B．8 C．7 D．4

【解答】解：根据三角形的三边关系，得

的长大于0而小于8．

故选：．

4．（3分）已知点与点关于轴对称，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：点与点关于轴对称，则点坐标为．

故选：．

5．（3分）下列说法错误的是　　

A．两个内角是的三角形为等边三角形 

B．等腰三角形的两个底角一定都是锐角 

C．三角形三条角平分线的交点与这个三角形三个顶点的距离相等 

D．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线

【解答】解：．两个内角是的三角形为等边三角形，说法正确，故本选项不合题意；

．等腰三角形的两个底角一定都是锐角，说法正确，故本选项不合题意；

．三角形三条角平分线的交点与这个三角形三边的距离相等，原说法错误，故本选项符合题意；

．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确，故本选项不合题意．

故选：．

6．（3分）在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据镜子中的成象与实际物体是相反的原理，可利用轴对称性质作出图象向左或向右的对称，

故选：．

7．（3分）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是　　

A．9或12 B．10或11 C．10 D．11

【解答】解：，

，，

，，

分两种情况：

当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，

等腰三角形的周长，

当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，

等腰三角形的周长，

综上所述：等腰三角形的周长为10或11，

故选：．

8．（3分）如图，小斐同学课本上的三角形被墨迹污染了一部分，但聪明的他根据所学知识很快就画出了一个完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的理论依据是　　

A． B． C． D．

【解答】解：三角形没有被墨迹污染的部分得到三角形的两个内角和它们的夹边，

利用“”可以画出了一个完全一样的三角形．

故选：．

9．（3分）如图，在中，，平分，交于点，若点恰好在边的垂直平分线上，则的度数为　　

A．30 B．36 C．40 D．45

【解答】解：点恰好在边的垂直平分线上，

，

，

平分，

，

，

，

，

，

故选：．

10．（3分）如图，经过直线外一点作这条直线的垂线，作法如下：

（1）任意取一点，使点和点在的两旁．

（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和．

（3）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点．

（4）作直线．则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由作图可得，，，不一定相等，故不一定是等腰三角形；

而，，，故，，都是等腰三角形；

故选：．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

11．（2分）如图，在中，，是的外角．若，则　60　．

【解答】解：，是的外角，，

．

故答案为：60．

12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果与全等，那么点的坐标可以是 　（答案不唯一）　（写出一个即可）．

【解答】解：如图所示：延长到，使，连接，

与全等，

，，

的坐标为，

的坐标为，

故答案为：（答案不唯一）．

13．（2分）如图，中，，，是斜边上的高，若，则　6　．

【解答】解：，，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：6．

14．（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点、的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点、，使，再过点画出的垂线，使与、在一条直线上，若想知道两点，的距离，只需要测量出线段 　　即可．

【解答】解：利用，，，即两角及这两角的夹边对应相等即这一方法，可以证明，

故想知道两点，的距离，只需要测量出线段即可．

故答案为：．

15．（2分）聪明的小斐同学这样检查他的课桌桌面是否水平：如图，在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条绳，绳的另一端挂一个重物，把这块三角尺的斜边贴在桌面底部，结果绳经过三角尺的直角顶点，由此得出桌面是水平的（即挂重物的绳与桌面垂直），小斐用到的数学原理是 　等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合　．

【解答】解：是个等腰三角形，

，

点是的中点，

，

．

故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合．

16．（2分）如图，将沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，折痕为，以下结论正确的是 　①②③　：①；②平分；③垂直平分；④是中点．

【解答】解：将过点折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，

，

，，，，

，平分，故①②正确，

，，

垂直平分，故③正确，

不确定是中点，故④错误．

故答案为：①②③．

17．（2分）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与、重合），连接，作，交于点，当为等腰三角形时，的度数为 　或　．

【解答】解：，，

，

，

分三种情况：

当时，

，

是的一个外角，

，

此种情况不符合题意；

当时，

，

；

当时，

，

；

综上所述：的度数为或，

故答案为：或．

18．（2分）如图，在中，，为边上一点，且，平分，交于点，连接，则　50　，　　．

【解答】解：，，

；

如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，，

平分，

，

，

，

，

，

．

故答案为：50；40．

三、解答题（本题共54分，第19-24题每小题5分，第25-28题每小题5分）

19．（5分）计算：．

【解答】解：原式

．

20．（5分）解不等式：．

【解答】解：去分母，得，

移项，得，

合并同类项，得，

原不等式的解集为．

21．（5分）解方程组：．

【解答】解：，

①+②得，3x＝12，

解得x＝4，

把x＝4代入①得，8+y＝7，

解得y＝﹣1，

所以方程组的解为．

22．（5分）已知不等式与同时成立，求的整数解．

【解答】解：由，得，

由，得，

两不等式的公共解集为，

则的整数解为0，1，2．

23．（5分）如图，，，，求证：．

【解答】证明：，

，

即，

在和中，

，

，

．

24．（5分）如图，已知，为上一点，，．求证：．

【解答】证明：，

，

，

，

，

在和中，

，

．

25．（6分）已知：如图，的顶点在直线上，且．

（1）画出关于直线成轴对称的图形，且使点的对称点为点；

（2）在（1）的条件下，与的位置关系是　平行　；

（3）在（1）、（2）的条件下，联结，如果，求的度数．

【解答】解：（1）如图1；

（2）与是对应点的连线，

．

故答案为：平行．

（3）如图2，由（1）可知，与关于直线对称，

，

．

．

，即．

，

．

．

由（2）可知，，．，

．

，

，即为等边三角形．

．

26．（6分）在平面直角坐标系中，等腰的三个顶点的坐标是，点在轴的正半轴上且，点在轴上．

（1）写出所有满足题意的点的坐标；

（2）若点关于直线的对称点在轴上，且，图中、、、中，符合条件的点是 　　；

（3）在（2）的条件下，在轴上找到一点，使的值最小，则这个最小值为 　　．

【解答】解：（1）如图1，符合条件的有两点，以为圆心，以为半径画弧，交轴于、点，

，

，

在中，，，

，，

即，

，，

的坐标是或；

（2）如图2，过作轴于，

，，轴，

轴和以为圆心，以1为半径的圆相切，

，

点在圆上，

点关于直线的对称点在轴上，，

点和重合，如图：

和关于直线对称，

，，

由三角形面积公式得：，

，

，

．

，，

，

，，

即的坐标是，．

观察图形，只有点符合题意．

故答案为：；

（3）如图3，作关于轴的对称点，连接交轴于，则为所求，

，

，

即，

，

，

由勾股定理得：，

，

故答案为：3．

27．（6分）在等腰中，，于点，以为边作等边，直线与直线交于点，直线与直线交于点．

（1）如图1，当，且与在直线的异侧时，

①求证：；

②猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．

（2）当，且与在直线的同侧时，利用图2探究线段、、之间的数量关系，并直接写出你的结论．

【解答】（1）①证明：是等边三角形，

，，

又，

，

，

，，

是的垂直平分线，

，

又，，

，

，

；

②解：，理由如下：

如图，在上截取，连接，

，，

，

，

，，

，

，

是等边三角形，

，，

，

又，，

，

，

；

（2）解：如图，在上截取，连接，

是等边三角形，

，，

又，

，

，

，，

是的垂直平分线，

，

又，，

，

，

，

又，

，

，

，，

，

，

是等边三角形，

，，

，

又，，

，

，

．

28．（6分）在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和点关于直线对称，则称点是点关于轴、直线的“二次对称点”．

（1）已知点，直线是经过且平行于轴的一条直线，则点的“二次对称点”的坐标为 　　；

（2）如图1，正方形的顶点坐标分别是，，，；点的坐标为，点是轴上的一个动点，直线经过点且垂直于轴，若正方形内存在点，使得点是点关于轴，所在直线的“二次对称点”，则点的横坐标的取值范围是 　　；

（3）如图2，，是轴上的动点，线段经过点，且点、点的坐标分别是，，直线经过且与轴夹角为，在点的运动过程中，若线段上存在点，使得点是点关于轴，直线的“二次对称点”，且点在轴上，则点纵坐标的取值范围是 　　．

【解答】解：（1）关于轴的对称点，关于直线的对称点为．

故答案为：；

（2）如图1中，，

直线的解析式为，

当点关于轴的对称点在轴的正半轴上时，关于直线的对称点落在轴上，

观察图象可知，当点坐标为时，正好落在线段上，

观察图象可知当时，在正方形内部．

故答案为：．

（3）如图2中，当点与重合，且在轴上时，连接交直线于点，交轴于点，连接，设直线交轴于点，交轴于点，

，，

，

，关于直线对称，

，

，

，

，

，

，

，

此时，

如图3中，当点与原点重合，与重合时，，都与重合，此时．

由题意，观察图象可知，满足条件的的纵坐标：．

故答案为：．