2020-2021学年北京市海淀区八下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区八下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 计算 32 的结果为
A. 3B. 33C. 6D. 9

2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是
A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1，3，2D. 7，3，5

3. 将直线 y=3x 向下平移 2 个单位长度后，得到的直线是
A. y=3x+2B. y=3x−2C. y=3x+2D. y=3x−2

4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=AC，∠CAB=40∘，则 ∠D 的度数是
A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘

5. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 40 双，各种尺码的鞋的销售量如下表所示：
尺码销售量/双12571483
店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为 24 cm 的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差

6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，则 AB 边上的高 CD 的长为
A. 4B. 245C. 33D. 10

7. 如图，一次函数 y=x+1 与 y=kx+b 的图象交于点 P，则关于 x，y 的方程组 y=x+1,y=kx+b 的解是
A. x=1,y=2B. x=2,y=1C. x=−1,y=1D. x=2,y=4

8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A，C 的坐标分别是 4,−2，1,2，点 B 在 x 轴上，则点 B 的横坐标是
A. 4B. 25C. 5D. 42

9. 如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出 1 m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部 5 m，由此可计算出学校旗杆的高度是
A. 8 mB. 10 mC. 12 mD. 15 m

10. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度 h 、水面的面积 S 及注水量 V 是三个变量．下列有四种说法：
① S 是 V 的函数；
② V 是 S 的函数；
③ h 是 S 的函数；
④ S 是 h 的函数；
其中所有正确结论的序号是
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若 x−1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

12. 函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象上有两个点 A1x1,y1，A2x2,y2，当 x1
13. 如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC 和 BC．分别取 AC，BC 的中点 D，E 、测得 D，E 两点间的距离为 30 m，则 A，B 两点间的距离为 m．

14. 一个水库的水位在最近 5 h 内持续上涨，下表记录了这 5 h 内 6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度．
据估计这种上涨规律还会持续 2 h，预测再过 2 h 水位高度将为 m．

15. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kxk>0 与直线 y=−x+3，直线 y=−x−3 分别交于 A，B 两点，若点 A，B 的纵坐标分别为 y1，y2，则 y1+y2 的值为 ．

16. 某校八年级有 600 名学生，为了解他们对安全与环保知识的认识程度，随机抽取了 30 名学生参加安全与环保知识问答活动．此活动分为安全知识和环保知识两个部分．这 30 名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示．根据下图，判断安全知识成绩的方差 s12 和环保知识成绩的方差 s22 的大小：s12 s22（填“>”，“=”或“<”）．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：
（1）8−2+212；
（2）5+35−3．

18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，且 BE=DF，连接 AE，CF．
求证：AE∥CF．

19. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图 1，直线 l 及直线 l 外一点 A．
求作：直线 AD，使得 AD∥l．
作法：如图 2．
①在直线 l 上任取两点 B，C，连接 AB；
②分别以点 A，C 为圆心，线段 BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线 l 上方相交于点 D；
③作直线 AD．
直线 AD 就是所求作的直线，
根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 CD．
∵AB= ，BC= ，
∴ 四边形 ABCD 为平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∴AD∥l．

20. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数的图象经过点 A−4,0 与 B0,5．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点 C 是 x 轴上一点，且 △ABC 的面积是 5，求点 C 的坐标．

21. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，CD 为边 AB 上的中线，点 E 与点 D 关于直线 AC 对称，连接 AE，CE．
（1）求证：四边形 AECD 是菱形；
（2）连接 BE，若 ∠ABC=30∘，AC=2，求 BE 的长．

22. 第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在中国北京和张家口市联合举行、为了解学生对冬奥会冰雪项目的认识程度，某校体育组老师从该校八年级学生中随机抽取了 20 名学生进行冰上项目和雪上项目的知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．测试成绩的频数分布表如下：
b．雪上项目测试成绩在 70≤x<80 这一组的是：
70707071717375
c．冰上项目和雪上项目测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
项目平均数中位数众数冰上项目77.957675雪上项目76.85m70
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中 m 的值为 ；
（2）在此次测试中，某学生的冰上项目测试成绩为 75 分、雪上项目测试成绩为 73 分、这名学生测试成绩排名更靠前的是 （填“冰上”或“雪上”）项目，理由是 ；
（3）已知该校八年级共有 200 名学生，假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于 80 分的人数．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中．直线 l1:y1=x+1 与直线 l2:y2=2x−2 交于点 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）当 y1>y2 时，直接写出 x 的取值范围：
（3）已知直线 l3:y3=kx+1．当 x<3 时，对于 x 的每一个值，都有 y3>y2，直接写出 k 的取值范围．

24. 在正方形 ABCD 中，F 是线段 BC 上一动点（不与点 B，C 重合）．连接 AF，AC，分別过点 F，C 作 AF，AC 的垂线交于点 Q．
（1）依题意补全图 1，并证明 AF=FQ；
（2）过点 Q 作 NQ∥BC，交 AC 于点 N，连接 FN．若正方形 ABCD 的边长为 1，写出一个 BF 的值，使四边形 FCQN 为平行四边形，并证明．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P 与平行四边形 ABCD，给出如下的定义：
将过点 P 的直线记为 lP，若直线 lP 与平行四边形 ABCD 有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线 lP 与平行四边形 ABCD 的“穿越距离”，记作 dlP,平行四边形ABCD．
例如，已知过点 O 的直线 lO:y=x 与平行四边形 HIJK，其中 H−2,−1，I1,−1，J2,1，K−1,1，如图 1 所示，则 dlO,平行四边形HIJK=22．
请解决下面的问题：
已知平行四边形 ABCD，其中 A1,2，B3,2，Ct,4，Dt−2,4．
（1）当 t=3 时，已知 M2,3，lM 为过点 M 的直线 y=kx+b．
①当 k=0 时，dlM,平行四边形ABCD= ；
当 k=1 时，dlM,平行四边形ABCD= ；
②若 dlM,平行四边形ABCD=5，结合图象，求 k 的值；
（2）已知 N−1,0，lN 为过点 N 的直线，若 dlN,平行四边形ABCD 有最大值，且最大值为 25，直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. B
4. D
5. C
6. B
7. A
8. C
9. C
10. B
第二部分
11. x≥1
12. y=x（答案不唯一）
13. 60
14. 5.1
15. 0
16. >
第三部分
17. （1） 8−2+212=22−2+2×22=22−2+2=22.
（2） 5+35−3=52−32=5−3=2.
18. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵BE=DF，
∴AD−DF=BC−BE．
即 AF=CE．
又 ∵AF∥CE，
∴ 四边形 AECF 是平行四边形．
∴AE∥CF．
19. （1）
（2） DC；AD；两组对边分别相等的四边形是平行四边形
20. （1） 设这个一次函数的解析式为 y=kx+bk≠0．
∵ 一次函数的图象经过点 A−4,0 与 B0,5，
∴−4k+b=0,0⋅k+b=5.
∴k=54,b=5.
∴ 这个一次函数的解析式为 y=54x+5．
（2） 设点 C 的坐标为 c,0c≠−4．
∵△ABC 的面积是 5，
∴12|−4−c|×5=5．
∴c=−6 或 c=−2．
∴ 点 C 的坐标为 −6,0 或 −2,0．
21. （1） ∵ 点 E 与点 D 关于直线 AC 对称，
∴CE=CD，AE=AD．
∵∠ACB=90∘，CD 为边 AB 上的中线，
∴CD=12AB=AD．
∴CE=CD=AD=AE．
∴ 四边形 AECD 是菱形．
（2） 过 E 作 EN⊥BC 交 BC 的延长线于点 N．
在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，AC=2，
∴AB=2AC=4．
∴CD=12AB=2．
由勾股定理得 BC=AB2−AC2=23．
∵ 四边形 AECD 是菱形，
∴EC=CD=2，EC∥AD．
∴∠ECN=30∘．
∵∠ENC=90∘，
∴EN=12EC=1．
由勾股定理得 NC=EC2−EN2=3．
∴BN=BC+CN=33．
∵∠ENC=90∘，
由勾股定理得 BE=BN2+EN2=27．
22. （1） 72
（2） 雪上；这名学生的冰上项目测试成绩是 75 分，小于中位数 76 分，所以该生冰上项目的成绩在 10 名以后；这名学生的雪上项目测试成绩是 73 分，大于中位数 72 分，所以该生冰上项目的成绩在 10 名以前，所以这名学生的雪上项目成绩排名更靠前
（3） 在样本中，冰上项目测试成绩在组 80≤x<90，90≤x≤100 的人数分别为 6，2，
所以样本中冰上项目测试成绩不低于 80 分的人数为 8 人．
假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于 80 分的人数为 200×6+220=80．
23. （1） 由题可知，y=x+1,y=2x−2.
解得 x=3,y=4.
∴ 点 A 的坐标是 3,4．
（2） x<3；
（3） 1≤k≤2．
24. （1） 补全图形如图所示：
如图，在 BA 上截取 BM=BF，连接 MF．
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90∘，AC 平分 ∠BCD．
∴∠ACB=45∘．
∵CQ⊥AC，
∴∠ACQ=90∘．
∴∠FCQ=∠ACB+∠ACQ=135∘．
∵BM=BF，∠B=90∘，
∴∠FMB=∠MFB=45∘，AM=FC. ⋯⋯①
∴∠AMF=180∘−∠FMB=135∘．
∴∠AMF=∠FCQ. ⋯⋯②
∵FQ⊥AF ，
∴∠AFQ=90∘，
∴∠QFC+∠AFB=90∘．
∵∠B=90∘，
∴∠BAF+∠AFB=90∘，
∴∠BAF=∠CFQ. ⋯⋯③
由①②③得 △AMF≌△FCQ．
∴AF=FQ．
（2） 当 BF=13 时，四边形 FCQN 为平行四边形．
证明：如图，在 BA 上截取 BM=BF，连接 MF．
∵BF=13，BC=1，
∴FC=23．
由（1）可得 △BMF 为等腰直角三角形，且 △AMF≌△FCQ．
∴CQ=MF=23．
∵NQ∥BC，
∴∠FCQ+∠NQC=180∘，
∵∠FCQ=135∘，
∴∠NQC=45∘．
∵∠NCQ=90∘，
∴∠NQC=45∘=∠NQC．
∴QC=NC=23，
∴NQ=23．
∴NQ=FC 且 NQ∥FC．
∴ 四边形 FCQN 为平行四边形．
25. （1） ① 2；22
② ∵ 直线 y=kx+b 过点 M2,3，
∴3=2k+b，
∴b=−2k+3，
∴y=kx−2k+3，
如图 F1,−k+3，G3,k+3，过 F 作 FH⊥BC 于 H，
则 FH=2，
∵FG=5，
∴GH=1，
∴k+3−−k+3=1，
∴k=12，
结合图象，由正方形的轴对称性可知 k=±12，k=±2 均符合题意．
（2） 7