2022-2023学年北京市海淀区师达中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市海淀区师达中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市海淀区师达中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算( 3)2的结果为(    )
A. 3 B. 3 3 C. 6 D. 9
2. 将直线y=3x向下平移2个单位长度后，得到的直线是(    )
A. y=3x+2 B. y=3x−2 C. y=3(x+2) D. y=3(x−2)
3. 在下列图形性质中，平行四边形不一定具备的是(    )
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
4. 下列关于正比例函数y=2x的说法中，正确的是(    )
A. 当x=2时，y=1 B. 它的图象是一条过原点的直线
C. y随x的增大而减小 D. 它的图象经过第二、四象限
5. 下列各式中，运算正确的是(    )
A. 12=2 3 B. 3 3− 3=3 C. 2+ 3=2 3 D. (−2)2=−2
6. 若一个三角形的三条边长分别为8、15、17，则它的面积是(    )
A. 127.5 B. 120 C. 68 D. 60
7. 对于一次函数y=kx+b(k,b为常数)，表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是(    )
x
−1
0
1
2
3
y
3
2
1
0
−2

A. 2 B. 1 C. 0 D. −2
8. 如图，在点M，N，P，Q中，一次函数y=kx+2(k<0)的图象不可能经过的点是(    )
A. M
B. N
C. P
D. Q


9. 如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出(    )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个


10. 教练记录了甲、乙两名运动员在一次1500米长跑比赛中的成绩，他们的速度v(单位：米/秒)与路程s(单位：米)的关系如图所示，下列说法错误的是(    )

A. 最后50米乙的速度比甲快
B. 前500米乙一直跑在甲的前面
C. 第500米的时候甲追上了乙
D. 第500米至第1450米阶段甲的用时比乙短
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 若 x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ ．
12. 直角三角形的两条直角边长分别为4、5，则它的斜边长是______ ．
13. 若 1−x+|2−y|=0，则x+y的值为______ ．
14. 若A(2,y1)，B(3,y2)是一次函数y=−3x+1的图象上的两个点，则y1与y2的大小关系是y1______y2.(填“>”，“=”或“<”)
15. 已知，如图，若函数y=x+b和y=ax+m的图象交于点P，则关于x、y的方程组y=x+by=ax+m的解为          ．






16. 如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC=90°，若BC=12，AC=8，则DF的长为______ ．


17. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3与x，y轴分别交于点A，B，若将该直线向右平移5个单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，则k的值为______．
18. 甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：
包裹编号
Ⅰ号产品重量/吨
Ⅱ号产品重量/吨
包裹的重量/吨
A
5
1
6
B
3
2
5
C
2
3
5
D
4
3
7
E
3
5
8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．
(1)如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案______(写出要装运包裹的编号)；
(2)如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案______(写出要装运包裹的编号)．
三、解答题（本大题共9小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1) 8− 2+2 12；
(2) 12−9 13+|2− 3|．
20. (本小题4.0分)
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
②分别以点C，D为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；
③画射线OP．
射线OP即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接PC，PD．
由作法可知OC=OD=PC=PD．
∴四边形OCPD是菱形.(______ )(填推理的依据)．
∴OP平分∠AOB.(______ )(填推理的依据)．

21. (本小题4.0分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且BE=DF，连接AE，CF．
求证：AE//CF．

22. (本小题6.0分)
已知一次函数y=kx+b(k,b为常数且k≠0)的图象经过点A(2,0)，与y轴交于点B(0,4)．
(1)求一次函数的表达式；并在平面直角坐标系内画出该函数的图象；
(2)当自变量x=5时，函数y的值为______ ；
(3)当x>0时，请结合图象，直接写出y的取值范围______ ．

23. (本小题6.0分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE//AC，CE//BD，BE与CE交于点E．
(1)求证：四边形OBEC是矩形；
(2)当∠ABD=60°，AD=4时，求ED的长．

24. (本小题7.0分)
问题：探究函数y=|x|−2的图象与性质.小斐根据学习函数的经验，对函数y=|x|−2的图象与性质进行了探究.下面是小斐的探究过程，请补充完整：
(1)在函数y=|x|−2中，自变量x的取值范围是______ ；
(2)下表是y与x的几组对应值．
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
1
0
−1
−2
−1
0
m
…
①m= ______ ；
②若A(n,8)，B(10,8)为该函数图象上不同的两点，则n= ______ ；
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象，根据函数图象可得：
①函数的最小值为______ ；
②请你写出该函数的另外一条性质：______ ．
(4)P(x1,y1)，Q(x2,y2)为函数y=|x|−2图象上的任意两点，其中x1a，都有y1
25. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=−x的图象平移得到，且经过点(−2,0)．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出n的取值范围．
26. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为：A(−1,−1)，B(1,−1)，C(1,1)，D(−1,1)，M、N为正方形外两点，且MN=1，给出如下定义：平移线段MN，使得点M、N分别落在正方形边上的点M′、N′处(可与正方形顶点重合)，则线段MM′长度的最小值称为线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．

(1)如图1，平移线段MN，在点M1，M2，M3，M4中，连接点M与点______ 的线段长度等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离”；
(2)点P的坐标为(−2,0)，点Q在y轴的正半轴上，且∠QPO=60°，若点M、N都在直线PQ上，记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d，直接写出d的最小值；
(3)若点M的坐标为(2,2)，记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为k，直接写出k的最小值与最大值．
27. (本小题7.0分)
如图，直线l垂直平分线段AB，点C是直线l上一点，且点C在线段AB的上方，连接BC，以线段BC为边，在BC的下方作正方形BCDE，连接AD．
(1)设∠ABC=α，求∠BAD的度数；
(2)延长AD，交直线l于点F，连接EF．
①补全图形，证明：EF//AB，并直接写出FC、FD、FE之间的数量关系；
②写出EF与AD的数量关系，并证明你的结论．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：( 3)2=3，
故选：A．
根据二次根式的性质计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质：( a)2=a(a≥0)是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：原直线的k=3，b=0；向下平移2个单位长度得到了新直线，
那么新直线中的k=3，b=0−2=−2．
∴新直线的解析式为y=3x−2．
故选：B．
平移时k的值不变，只有b发生变化．
本题考查了一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后k不变这一性质．

3.【答案】C 
【解析】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
∴选项A、B、D正确．C错误．
故选：C．
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，可得A、B、D正确．C错误即可．
此题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分是解决问题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：A、当x=2时，y=4，原说法错误，不符合题意；
B、∵直线y=2x是正比例函数，∴它的图象是一条过原点的直线，正确，符合题意；
C、∵k=2>0，∴y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意；
D、∵直线y=2x是正比例函数，k=2>0，∴此函数的图象经过一三象限，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
根据正比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：A、 12=2 3，正确；
B、3 3− 3=2 3，故此选项错误；
C、2+ 3，无法计算，故此选项错误；
D、 (−2)2=2，故此选项错误．
故选：A．
直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握二次根式加减运算法则是解题关键．

6.【答案】D 
【解析】解：∵82+152=289=172，
∴该三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是12×8×15=60．
故选：D．
先根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形，再进一步根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半求解．
此题主要是勾股定理的逆定理，以及直角三角形的面积公式，关键是首先证明三角形为直角三角形．

7.【答案】D 
【解析】解：将(−1,3)，(0,2)代入y=kx+b，得：−k+b=3b=2，
解得：k=−1b=2，
∴一次函数的解析式为y=−x+2．
当x=1时，y=−1+2=1；
当x=2时，y=−2+2=0；
当x=3时，y=−3+2=−1≠−2．
故选：D．
根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，分别代入x=1，x=2及x=3求出与之对应的y值，再对照表格中的y值即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查一次函数的图象，利用k、b的正负判断一次函数的图象位置是解题的关键，即在y=kx+b中，①k>0，b>0，直线经过第一、二、三象限，②k>0，b<0，直线经过第一、三、四象限，③k<0，b>0，直线经过第一、二、四象限，④k<0，b<0，直线经过第二、三、四象限．
由条件可判断出直线所经过的象限，再进行判断即可．
【解答】
解：∵在y=kx+2(k<0)中，
∵k<0，b=2>0
∴y随x的增大而减小，
∴一次函数经过第一、二、四象限，
∴其图象不可能经过Q点，
故选D．  
9.【答案】D 
【解析】解：如图所示：
以AB为对角线的格点矩形有3个，
以AB为边的格点矩形有1个，
∴以A，B为顶点的格点矩形共可以画出4个，
故选：D．
画出以A，B为顶点的格点矩形，即可求解．
本题考查了矩形的判定，画出以A，B为顶点的格点矩形是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：A、最后50米乙的速度比甲快，正确；
B、前500米乙一直跑在甲的前面，正确；
C、第500米至第1450米阶段甲一直跑在乙的后面，错误；
D、第500米至第1450米阶段甲的用时比乙短，正确；
故选：C．
根据函数图象得出信息解答即可．
考查根据函数图象的识别能力．要能根据图象的数据分析得出所对应的函数的有关信息是解题关键．

11.【答案】x≥1 
【解析】解：由题意可得 x−1≥0，
∴x−1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
根据二次根式有意义的条件即可解得．
此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．

12.【答案】 41 
【解析】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和5，
∴斜边长为 42+52= 41，
故答案为： 41．
直接根据勾股定理求解可得．
本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

13.【答案】3 
【解析】解：根据题意得：1−x=02−y=0，
解得：x=1y=2，
则x+y=1+2=3．
故答案为：3．
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

14.【答案】> 
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据2<3即可得出结论．
【解答】
解：∵一次函数y=−3x+1中，k=−3<0，
∴y随着x的增大而减小．
∵A(2,y1)，B(3,y2)是一次函数y=−3x+1的图象上的两个点，2<3，
∴y1>y2．
故答案为：>．  
15.【答案】x=2y=4 
【解析】
【分析】
本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，利用了数形结合思想．
两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标，据此求解即可．
【解答】
解：由图可知，函数y=x+b和y=ax+m的图象交于点P(2,4)，
所以关于x、y的方程组y=x+by=ax+m的解为x=2y=4．
故答案为：x=2y=4．  
16.【答案】2 
【解析】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中线，
∴DE=12BC，
∵BC=12，
∴DE=6，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，点E是AC的中点，AC=8，
∴EF=12AC=4，
∴DF=DE−EF=6−4=2，
故答案为：2．
根据三角形中线定理求出DE，再根据直角三角形的性质求出EF，再进行计算即可．
本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

17.【答案】±34 
【解析】解：令y=0，则x=−3k，即A(−3k,0)．
令x=0，则y=3，即B(0,3)．
∵将该直线向右平移5个单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，
∴AB=5，则AB2=25．
∴(−3k)2+32=25．
解得k=±34．
故答案是：±34．
根据菱形的性质知AB=5，由一次函数图象的性质和两点间的距离公式解答．
考查了菱形的性质和一次函数图象与几何变换，解题的关键是根据菱形的性质得到AB=5．

18.【答案】ABC (或ABE或AD或ACD或BCD)  ABE或BCD 
【解析】解：(1)选择ABC时，装运的I号产品重量为：5+3+2=10(吨)，总重6+5+5=16<19.5(吨)，符合要求；
选择ABE时，装运的I号产品重量为：5+3+3=11(吨)，总重6+5+8=19<19.5(吨)，符合要求；
选择AD时，装运的1号产品重量为：5+4=9(吨)，总重6+7=13<19.5 (吨)，符合要求；
选择ACD时，装运的I号产品重量为：5+2+4=11(吨)，总重6+5+7=18<19.5(吨)，符合要求；
选择BCD时，装运的1号产品重量为：3+2+4=9(吨)，总重5+5+7=17<19.5(吨)，符合要求；
选择DCE时，装运的I号产品重量为：4+2+3=9(吨)，总重7+5+8=20>19.5(吨)，不符合要求；
选择BDE时，装运的I号产品重量为：3+4+3=10(吨)，总重5+7+8=20>19.5(吨)，不符合要求；
综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD．
故答案为：ABC (或ABE或AD或ACD或BCD)；
(2)选择ABC时，装运的I号产品重量为：1+2+3=6(吨)；
选择ABE时，装运的I号产品重量为：1+2+5=8(吨)；
选择AD时，装运的II号产品重量为：1+3=4 (吨)；
选择ACD时，装运的II号产品重量为：1+3+3=7 (吨)；
选择BCD时，装运的II号产品重量为：2+3+3=8 (吨)；
故答案为：ABE或BCD．
(1)从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；
(2)从(1)中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可．
本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．

19.【答案】解：(1) 8− 2+2 12
=2 2− 2+2× 22
=2 2− 2+ 2
=2 2；
(2) 12−9 13+|2− 3|
=2 3−9× 33+2− 3
=2 3−3 3+2− 3
=2−2 3． 
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
(2)先把各二次根式化为最简二次根式，去绝对值，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握化简二次根式的方法．

20.【答案】四边相等的四边形是菱形  菱形的对角线平分一组对角 
【解析】解：(1)如图，射线OP即为所求．

(2)连接PC，PD．
由作法可知OC=OD=PC=PD．
∴四边形OCPD是菱形(四边相等的四边形是菱形)，
∴OP平分∠AOB(菱形的对角线平分一组对角)．
故答案为：四边相等的四边形是菱形；菱形的对角线平分一组对角．
(1)根据要求作出图形即可．
(2)利用菱形的判定和性质填写依据即可．
本题考查作图—复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用菱形的性质解决问题．

21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AD−DF=BC−BE，
即AF=CE，
∵AD//BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE//CF． 
【解析】根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，进而证得AF=CE，从而证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可证得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，能够根据图形判定四边形的特殊形状进而求得与所证相关的结论是解答问题的关键．

22.【答案】−6  y<4 
【解析】解：(1)将A(2,0)，B(0,4)代入y=kx+b中，
得，2k+b=0b=4，
解得，k=−2b=4，
∴y=−2x+4；
其图象如图所示；

(2)当x=5时，y=−2×5+4=−6；
(3)由图可知：当x>0时，y<4．
(1)把点A(2,0)，点B(0,4)代入y=kx+b中，得出k，b的值，从而得出一次函数的表达式，再画出图象即可；
(2)把x=5代入一次函数的表达式即可得出y的值；
(3)根据图象直接得出y的取值范围即可．
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，以及一次函数的图象和图象上点的坐标特征，掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵BE//AC，CE//BD，
∴BE//OC，CE//OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴四边形OBEC是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB，OB=OD，OA=OC，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AD=AB=4，
∴OD=OB=2，
在Rt△AOD中，AO= AD2−OD2=2 3，
∴OC=OA=2 3，
∵四边形OBEC是矩形，
∴BE=OC=2 3，
∴ED= BD2+BE2=2 7． 
【解析】(1)先由平行四边形的定义证明四边形OBEC为平行四边形，然后再由菱形的性质得到∠COB=90°，故四边形OBEC是矩形；
(2)证出△ABD为等边三角形，得BD=AD=AB=2 3，则OD=OB= 3，由勾股定理求出OA，进而得出答案．
本题主要考查的是矩形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．

24.【答案】任意实数  1  −10  −2  图象是轴对称图形，  a≥0 
【解析】解：(1)∵x取任意实数，函数y=|x|−2都有意义，
故答案为：任意实数．
(2)①当x=3时，y=|3|−2=1，
即m=1；
②当函数y=|x|−2=8时，
解得x=10(舍)或x=−10，
∴n=−10；故答案为：1，−10；
(3)函数图象如图所示：

①函数的最小值为−2；
②由图可知：另一条性质为：图象是轴对称图形；故答案为：−2，图象是轴对称图形；
(4)当P，Q两点在y轴异侧时，
∵y1 ∴点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧，
且|x1|<|x2|，
∴P，Q横坐标的中间值大于0，
则x1+x22>0，即x1+x2>0，
∵x1+x2>a，
∴a≥0；
当P，Q在y轴同侧时，
可得都在y轴右侧，
此时，x1+x2>0，
同理可得：a≥0，
综上：a的取值范围是a≥0．
故答案为：a≥0．
(1)根据表达式，找到x的范围；
(2)①将x=3代入函数表达式计算可得；②将点A坐标代入函数解析式，结合点B坐标即可求出n；
(3)根据给定的点坐标即可画出函数图象；①根据图象直接得到最小值；②从不同角度得到另一个性质；
(4)分当P，Q两点在y轴异侧，当P，Q在y轴同侧，两种情况，结合图象，分别求解．
本题考查了一次函数与分段函数，根据分段函数的图象和性质进行求解是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=−x的图象平移得到，
∴k=−1，
又∵一次函数y=−x+b的图象经过点(−2,0)，
∴2+b=0．
∴b=−2，
∴这个一次函数的表达式为y=−x−2；
(2)∵当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，
∴y=x+n与y轴的交点在(0,−2)上方，
∴n≥−2．
 
【解析】(1)先根据直线平移时k的值不变得出k=−1，再将点(−2,0)代入y=−x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
(2)画出函数图象，结合图象找到极端值，即可得到范围．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．

26.【答案】M1 
【解析】(1)∵MN=1，平移线段MN，使得点M、N分别落在正方形边上的点M1，M2处，则线段MM1长度最小，
则图1中，连接点M与点M1的线段长度等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离”，
故答案为：M1．
(2)如图所示，延长M′N′交y轴于点R，设DC与y轴交于点A1，

∵点P的坐标为(−2,0)，点Q在y轴的正半轴上，且∠QPO=60°，若点M、N都在直线PQ上，
∴∠PQO=30°，OP=2，PQ=2OP=4，
∴OQ= PQ2−OP2=2 3，
依题意，d=MM′，PQ//M′N′，
∴∠RN′A1=60°
∵D(−1,1)，
∴A1(0,1)，
∴QA1=2 3−1，
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为：A(−1,−1)，B(1,−1)，C(1,1)，D(−1,1)，
∴AD//y轴，CD//x轴，
∴∠DM′N′=∠N′RA1=∠PQO=30°，
在Rt△M′N′D中，M′N′=1，DN′=12M′N′=12，
在Rt△A1RN′中，A1R= 3A1N′= 32，
∴QR=QA1−RA1=2 3−1− 32=3 32−1，
过点R作RT⊥PQ于点T，则TR=MM′=d，
在Rt△TQR中，TR=12QR=3 34−12，即d=3 34−12；
(3)解：如图所示，

∵点M的坐标为(2,2)，则点N在M为圆心，1为半径的圆上，
∴当M平移至C点时，k最小，k2=(2−1)2+(2−1)2=2；
当MN经过对角线AC时，点M平移至M1或M3时，k取得最大值(关于MN对称轴)，
∵DM1= 22M1M2= 22，
∴k2=[2−(−1)]2+(1+ 22)2=9+1+12+ 2=212+ 2，
综上所述，k2最小为2，最大为212+ 2．
(1)根据定义即可求解；
(2)延长MN交y轴于点R，设DC与y轴交于点A1，勾股定理求得OQ，依题意，d=MM′，PQ//M′N′，在Rt△M′N′D中，M′N′=1，DN′=12M′N′=12，在Rt△A1RN′中，A1R= 3A1N′= 32，过点R作RT⊥PQ于点T，则TR=MM′=d，在Rt△TQR中，勾股定理得出TR=12QR=3 34−12，即可求解；
(3)点M的坐标为(2,2)，则点N在M为圆心，1为半径的圆上，根据题意画出图形，根据定义可得当M平移至C点时，得至k2的最小值，当M平移至M1或M3时，得k2的最小值，
本题考查了正方形，坐标与图形，平移的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键．

27.【答案】解：(1)如图1，连接CA，
∵直线l垂直平分线段AB，
∴CA=CB，
∴∠BAC=∠ABC=α，
∵四边形BCDE是正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°，
∴CA=CD，∠DCF=90°−∠FCB=∠ABC=α，
∵∠ACD=90°−∠CAB−∠DCF=90°−α−α=90°−2α，
∴∠CAD=∠CDA=12(180°−∠CAD)=12(180°−90°+2α)=45°+α，
∴∠BAD=∠CAD−∠CAB=45°+α−α=45°；
∴∠BAD的度数为45°；
(2)①如图2，即为补全的图形；FC=EF+ 2DF，
证明：如图3，过点D作DQ⊥DF交CF于点Q，
∵∠BAD=45°，
∴∠CFD=45°，
∴DQ=DF，
∴△QDF是等腰直角三角形，
∵∠CDE=∠QDF=90°，
∴∠CDQ=90°−∠QDE=∠EDF，
∵CD=DE，
∴△CDQ≌Q△EDF(SAS)，
∴∠DCQ=∠DEF=α，CQ=EF，
∴∠CBA=∠DEF=α，
∵∠CBE=∠BED=90°，
∴∠ABE=90°−α，∠BEF=90°+α，
∴∠ABE+∠BEF=180°，
∴EF//AB；
∵FC=CQ+QF，CQ=EF，
∴FC=EF+QF，
∵△QDF是等腰直角三角形，
∴QF= 2DF，
∴FC=EF+ 2DF；
②AD= 2EF，理由如下：
如图3，过点E作EG⊥AF的延长线于点G，过点C作CH⊥AD于点H，
∵EF//AB，
∴∠EFG=∠BAD=45°，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∴EG= 22EF，
∵CA=CD，CH⊥AD，
∴AD=2AH=2DH，∠CHD=90°，
∴∠CHD=DGE=90°，
∵∠CDE=90°，
∴∠HCD=90°−∠CDH=∠GDE，
∵CD=DE，
∴△CDH≌△DEG(AAS)，
∴DH=EG，
∴AD=2DH=2EG=2× 22EF= 2EF．
∴AD= 2EF． 
【解析】(1)通过角的计算得出∠BAD=45°；
(2)①作DQ⊥DF交CF于点Q，证明△DFE≌△DD1C；
②构造三垂直全等，如图证明△CC1D≌△DE1E.
本题属于四边形综合题，考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．