2021-2022学年北京市海淀区师达中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市海淀区师达中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 计算的结果为

A.  B.  C.  D.

3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 如图，数轴上点表示的数为，，且，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为

A.  B.  C.  D.

5. 在▱中，：：，则的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，等边的边长为，于点，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，长方形内，两个小正方形的面积分别是，，则图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在▱中，，，的平分线交于点，则的长为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，四边形中，、分别是，边的中点，、分别是对角线，的中点，若，则线段的长是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，中，，沿着中线将剪开得到两个直角三角形，然后再将这两个直角三角形拼成一个平行四边形无缝隙不重叠，则所拼成的平行四边形的周长不可能是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
12. 用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是______，______．
13. 如图，平面直角坐标系中，▱的顶点，，在坐标轴上，，，点在第一象限，则点的坐标是______．

14. 图中的直角三角形斜边长为，将四个图中的直角三角形分别拼成如图所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为______．

15. 九章算术中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高丈丈尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，试问折断处离地面多高？
    如图，设折断处距离地面尺，根据题意，可列方程为______．
16. 当，代数式的值是______．
17. 如图，▱的对角线交于点，点，，，分别是▱四条边上不重合的点．下列条件能判定四边形是平行四边形的有______填序号．
    ，；
    ，均经过点；
    经过点，．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．
    用含的式子表示线段的长是______；
    结合图形，判断式子的最小值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共56分）

19. 计算：
    ；
     
20. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
    已知：直线及直线外一点．
    求作：直线，使得．
    
    作法：如图，
    在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
    在直线上取一点不与点重合，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；
    作直线所以直线就是所求作的直线．
    根据小东设计的尺规作图过程，
    使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
    完成下面的证明．
    证明：______，______，
    ______填推理的依据．
21. 如图，四边形是平行四边形，点，分别是，边上的点，且．
    求证：．
     

22. 如图，在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，设每个小正方形的边长为以格点为顶点分别按下列要求画图．
    
    在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为；
    在图中，画一个等腰三角形，使它的底边长为，腰长为；
    在图中，画一个等腰直角三角形，使它斜边长为．
23. 如图，四边形中，，，，，求的度数．
    
    
    
    
     

24. 我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，其中，，将与称为数对的一对“和谐数对”．
    例如：的一对“和谐数对”为和
    数对的一对“和谐数对”是______；
    若数对的一对“和谐数对”相同，则的值为______；
    若数对的一个“和谐数对”是，则的值为______．
25. 如图，点，是▱对角线上的两点，且．
    求证：四边形是平行四边形．
    若，，，．
    线段长为______．
    四边形的面积为______．

26. 阅读下面材料：
    小明遇到这样一个问题：如图，在中，分别交于，交于已知，，，求的值．
    小明发现，过点作，交延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决如图．
    
    请回答：的值为______．
    参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图，已知▱和矩形，与交于点，，求的度数．

在中，为边上的中线，点在边上不与点重合，若，那么线段的中点称为关于的“斜等点”如图所示．

在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点的坐标为，点在轴上方．
当时，若存在关于的“斜等点”点，
下列各点中，符合题意的点可能是______不必写出坐标．
，，，．
设关于的“斜等点”的坐标为，若，则的取值范围是______，的取值范围是______．
若关于的“斜等点”为定点，直接写出的取值范围．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式为最简二次根式，符合题意．
故选：．
利用最简二次根式：分母中不含根号，根号中不含分母，被开方数不含能开方的因数，判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：原式，
故选：．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

3.【答案】

【解析】解：、，，
，
以三条线段，，为边不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
以三条线段，，为边不能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
以三条线段，，为边能组成直角三角形，
故C符合题意；
D、，，
，
以三条线段，，为边不能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：如图，在中，，则．
以为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点，
，
点表示的实数是．
故选：．
根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，．
：：
．
．
解得：，．
．
故选：．
由平行四边形的性质可得，，即可求的度数．
本题主要考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：在等边中，
，
为的中点，
等边三角形的边长为，
，，
根据勾股定理，得，
故选：．
根据等边三角形的性质可知是的中点，再根据勾股定理，即可求出的长．
本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：两个小正方形的面积分别是，，
，，
阴影部分的长为：，宽为：，
图中阴影部分的面积为：，
故选：．
根据两个小正方形的面积分别是，，可以得到和的长，然后即可表示出阴影部分的长和宽，然后即可计算出图中阴影部分的面积．
本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是表示出阴影部分的长和宽．
 

8.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：．
由四边形是平行四边形，可得，，，得，又由平分，可得，根据等角对等边，可得，所以求得．
此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理．解决本题的关键是注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形．
 

9.【答案】

【解析】解：、分别是，边的中点，
，
、分别是，边的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：过点作于点，
，，
，故AD，
如图所示：，，
则平行四边形的周长为：；
如图所示：，，
则平行四边形的周长为：；
如图所示：，，
则平行四边形的周长为：；
综上所述：用这两个三角形拼成平行四边形，则其周长为：或或．
故选：．
根据等腰三角形的性质以及平行四边形的判定，可以动手拼凑，得出答案．
此题主要考查了平行四边形的判定以及等腰三角形的性质，通过动手操作得出答案是解决问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式的定义得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的值是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：若，，则，
但，
故命题“如果，那么”是假命题，
故答案为：，．
当，时，，满足，但，由此即可说明命题“如果，那么”是假命题．
本题考查的是命题的真假判断、有理数的乘方，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

13.【答案】

【解析】解：，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
点的坐标为，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得出，再利用平行四边形的对边相等解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，同时考查了坐标与图形特点，关键是根据等腰三角形的性质得出解答．
 

14.【答案】

【解析】解：如图，是直角三角形，
，
故答案为：．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：竹子原高一丈丈尺，折断处离地面的高度为尺，
竹梢到折断处的长度为尺．
依题意得：．
故答案为：．
由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，
，
，
故答案为．
将所求式子进行配方处理，再将已知条件代入即可．
本题考查二次根式求值；能够将所求式子进行配方处理是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，，，，，，
，，
，，
≌，≌，
，，
则四边形是平行四边形；
故能判定四边形是平行四边形；
▱的对角线交于点，，均经过点，
，，
则四边形是平行四边形；
故能判定四边形是平行四边形；
经过点，，的位置未知，
故不能判定四边形是平行四边形；
综上所述：能判定四边形是平行四边形的有．
故答案为：．
若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，不能证明对角线互相平分，只有可以，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：；
由图形可得式子表示，
如图，作点关于轴的对称点，连接，

根据对称性可得的最小值即线段的长，
由两点间的距离公式可得．
故答案为：．
由两点间的距离公式可得答案；
作点关于轴的对称点，连接，由图形可得式子表示，再根据的最小值即线段的长可得答案．
本题考查轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

19.【答案】解：

；



．

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
 

20.【答案】解：直线如图所示；

，，三角形中位线定理．

【解析】

解： 见答案；
证明： ， ，
三角形中位线定理 ．
故答案为： ， ，三角形中位线定理．
【分析】
根据题目要求作出图形即可；
利用三角形中位线定理证明即可；
本题考查作图 复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．   

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，且，
又，
，且，
四边形是平行四边形，
．

【解析】由平行四边形，则可得，且，又有，则可得，且，即可得四边形是平行四边形，进而可得出．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图中，即为所求；
如图中，即为所求；
如图中，即为所求．
 

【解析】根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
根据等腰直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：连接，

，，
，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
的度数为．

【解析】连接，根据等腰直角三角形的性质可得，，然后再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

24.【答案】和  或

【解析】解：，，
数对的一对“和谐数对”是和，
故答案为：和；
数对的一对“和谐数对”相同，

；
故答案为：；
数对的一个“和谐数对”是，
或，
解得或，
或．
故答案为：或．
根据新定义即可得出结论；
根据新定义，列等式，解方程进而得出结论；
根据新定义，列方程组，解出进而得出结论．
此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】证明：连接交于．

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；

解：在中，，
，
，
，
，
故答案为：；
过点作于，

，，，，
，
，解得，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌，
，
．
故答案为：．
连接交于只要证明，即可．
在中，，由推出，即可得；
过点作于，利用面积法得，根据平行四边形的性质得，，证明≌，则，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题吗，属于中考常考题型．
 

26.【答案】

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
；
故答案为：；

解决问题：连接，，如图．
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形，
，．
．
四边形是平行四边形．
．
，
．
是等边三角形． 
．
，
．
由，，可证得四边形是平行四边形，即可得，，即可得，然后利用勾股定理，求得的值；
首先连接，，由四边形是平行四边形，四边形是矩形，易证得四边形是平行四边形，继而证得是等边三角形，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．
 

27.【答案】、  且 

【解析】解：当时，，
为边上的中线，
，
当时，
，
，此时点不在边上，故不存在关于的“斜等点“，点，
当时，
，
，此时点与点重合，此时存在关于的“斜等点“，点，
当时，
，
，此时点与点重合，此时不存在关于的“斜等点“，点，
当时，
，
，此时点与点重合，此时存在关于的“斜等点“，点，
综上，符合题意的点可能是、；
故答案为：、；
设点，由斜等点的定义可知，当点与点的横坐标的取值范围为且，
，，若，则，即，即点的纵坐标的取值范围为，
点是的中点，
，，
且，即且，
，即，
故答案为：且，；
由定义可知，，设，且，
关于的“斜等点”为定点，
，
，
且，
解得且．
首先可知，然后根据点的坐标，分别得出点的坐标，进而进行判断；
设点，由斜等点的定义可知，当点与点的横坐标的取值范围为且，从而得出点的纵坐标的取值范围为，再根据中点坐标公式可得答案；
由定义可知，，设，且，再利用中点坐标公式得，从而解决问题．
本题主要考查了坐标与图形的性质，中点坐标公式，解题的关键是理解“斜等点”的定义，根据中点坐标公式列不等式求解集．