2019年广州市海珠区中考一模数学试卷

这是一份2019年广州市海珠区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −3 的相反数是
A. −3B. 3C. −13D. 13

2. 下列图形中是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 把不等式组 x+1>0,6−3x≥0 的解集表示在数轴上正确的是
A. B.
C. D.

4. 在 △ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 边上中点，且 DE=6，则 BC 的长度是
A. 3B. 6C. 9D. 12

5. 在一次立定跳远的测试中，小娟等 6 位同学立定跳远的成绩分别为：1.8，2，2.2，1.7，2，1.9，那么关于这组数据的说法正确的是
A. 平均数是 2B. 中位数是 2C. 众数是 2D. 方差是 2

6. 若一个正多边形的一个外角是 30∘，则这个正多边形的边数是
A. 12B. 11C. 10D. 9

7. 如图，AB∥DE，∠E=62∘，则 ∠B+∠C 等于
A. 138∘B. 118∘C. 38∘D. 62∘

8. 对于二次函数 y=−2x2−4x+1，下列说法正确的是
A. 当 x<0，y 随 x 的增大而增大B. 当 x=−1 时，y 有最大值 3
C. 图象的顶点坐标为 1,3D. 图象与 x 轴有一个交点

9. 已知圆锥的母线长是 4 cm，侧面积是 12π cm2，则这个圆锥底面圆的半径是
A. 3 cmB. 4 cmC. 5 cmD. 6 cm

10. 将抛物线 y=x2−4x+1 向左平移至顶点落在 y 轴上，如图所示，则两条抛物线、直线 y=−3 和 x 轴围成的图形的面积 S（图中阴影部分）是
A. 5B. 6C. 7D. 8

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：2a2−4ab= ．

12. 计算：9+−12019−2sin30∘= ．

13. 命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是 ；逆命题是 命题（填“真”或“假”）．

14. 一次函数的图象经过一、二、四象限，请写出符合该条件的一个一次函数关系式： ．

15. 如图，PA，PB 是 ⊙O 的两条切线，A，B 是切点，PA=3OA，阴影部分的面积为 6π，则 ⊙O 的半径长为 ．

16. 如图，把矩形 ABCD 翻折，使得点 A 与 BC 边上的点 G 重合，折痕为 DE，连接 AG 交 DE 于点 F，若 EF=1，DG=6，则 BE= ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解分式方程：1x−4−2=x4−x．

18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，BE，DF 分别是 ∠ABC 和 ∠CDA 的平分线．求证：四边形 BEDF 是平行四边形．

19. 先化简，再求值：a+b2+a−ba+b−3a2，其中 a=−22，b=2．

20. 某校响应国家号召，鼓励学生积极参与体育锻炼．为了解学生一星期参与体育锻炼的时间情况，从全校 2000 名学生中，随机抽取 50 名学生进行调查，按参与体育锻炼的时间 t（单位：小时），将学生分成五类：A 类（0≤t≤2），B 类（28）．绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）样本中 E 类学生有 人，补全条形统计图；
（2）估计全校的 D 类学生有 人；
（3）从该样本参与体育锻炼时间在 0≤t≤4 的学生中任选 2 人，求这 2 人参与体育锻炼时间都在 2
21. 如图，楼房 BD 的前方竖立着旗杆 AC．小亮在 B 处观察旗杆顶端 C 的仰角为 45∘，在 D 处观察旗杆顶端 C 的俯角为 30∘，楼高 BD 为 20 米．
（1）求 ∠BCD 的度数；
（2）求旗杆 AC 的高度．

22. 如图，已知以 Rt△ABC 的边 AB 为直径作 △ABC 的外接圆 ⊙O，∠B 的平分线 BE 交 AC 于 D，交 ⊙O 于 E，过 E 作 EF∥AC 交 BA 的延长线于 F．
（1）求证：EF 是 ⊙O 切线；
（2）若 AB=15，EF=10，求 AE 的长．

23. 如图，双曲线 y1=k1x 与直线 y2=k2x+b 相交于 A1,m+2，B4,m−1，点 P 是 x 轴上一动点．
（1）当 y1>y2 时，直接写出 x 的取值范围；
（2）求双曲线 y1=k1x 与直线 y2=k2x+b 的解析式；
（3）当 △PAB 是等腰三角形时，求点 P 的坐标．

24. 如图，二次函数 y=ax2+c 的图象经过点 A−1,54 和点 C−4,5，点 B0,5．
（1）求二次函数 y=ax2+c 的解析式；
（2）在图①中仅用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）在 y 轴上确定点 P，使 ∠APO=∠BPC，直接写出点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图②，过点 P 的直线 y=kx+b 交二次函数 y=ax2+c 的图象于 Dx1,y1，Ex2,y2，且 x1<0①求证：无论 k 为何值，总有 ∠FPO=∠PGO；
②当 PF+PG 取最小值时，求点 O 到直线 y=kx+b 的距离．

25. 已知点 A，B 在 ⊙O 上，∠AOB=90∘，OA=2．
（1）点 P 是优弧 AB 上的一个动点，求 ∠APB 的度数；
（2）如图①，当 tan∠OAP=2−1 时，求证：∠APO=∠BPO；
（3）如图②，当点 P 运动到优弧 AB 的中点时，点 Q 在 PB 上移动（点 Q 不与点 P，B 重合），若 △QPA 的面积为 S1，△QPB 的面积为 S2，求 S1+S2 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】−3 的相反数是 3．故选：B
2. D【解析】A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
3. A【解析】解不等式 x+1>0，得：x>−1，
解不等式 6−3x≥0，得：x≤2，
则不等式组的解集为 −14. D【解析】∵△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点且 DE=6，
∴BC=2DE=2×6=12．
5. C
【解析】平均数 =1.8+2+2.2+1.7+2+1.96≈1.9，中位数是 1.95，众数是 2，
方差=161.8−1.92+2−1.92+2.2−1.92+1.7−1.92+2−1.92+1.9−1.92≈0.037．
6. A【解析】360∘÷30∘=12．
7. D【解析】∵AB∥DE，
∴∠E=∠BFE=62∘，
∵∠BFE=∠B+∠C，
∴∠B+∠C=62∘．
8. B【解析】∵y=−2x2−4x+1=−2x+12+3，
∴ 开口向下，对称轴为直线 x=−1，顶点为 −1,3，当 x=−1 时，y，有最大值 3，
当 x>−1 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x<−1 时，y 随 x 的增大而增大，
故A、C、D错误，B正确．
9. A【解析】设圆锥的底面半径为 r cm，
则 12×2πr×4=12π，
解得，r=3 cm．
10. B
【解析】B，C 分别是顶点，A 是抛物线与 x 轴的一个交点，连接 OC，AB，如图，阴影部分的面积就是平行四边形 ABCO 的面积，S＝2×3＝6；故选：B．
第二部分
11. 2aa−2b
【解析】原式=2aa−2b．
12. 1
【解析】原式=3+−1−2×12=3−1−1=1.
13. 如果两个角相等，那么它们是直角，假
【解析】命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，此逆命题是假命题．故答案为如果两个角相等，那么它们是直角；假．
14. y=−x+1
【解析】设一次函数的解析式为 y=kx+bk≠0，
∵ 一次函数的图象经过一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴ 符合该条件的一个一次函数关系式可以是：y=−x+1（答案不唯一）．
15. 3
【解析】连接 OP，
∵PA，PB 是 ⊙O 的两条切线，
∴∠PAO=90∘，
∵PA=3OA，
∴tan∠POA=PAOA=3，
∴∠POA=60∘，
∴∠AOB=120∘，
∵ 阴影部分的面积为 6π，
∴240⋅π×OA2360=6π，
∴OA=3，
∴⊙O 的半径长为 3．
16. 33
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=90∘，AB=CD，AD=BC，
由折叠的性质得：∠DGE=∠DAE=90∘，AD=DG=6，AE=GE，DE 垂直平分 AG，
∴∠DFG=∠EFG=∠DGE=90∘，
∵∠FDG=∠GDE，
∴△DFG∽△DGE，
∴DGDE=DFDG，
∴DF×DE=DG2=6，即 DFDF+1=6，
解得：DF=2，或 DF=−3（舍去），
∴DF=2，DE=3，
同理：GE2=EF×DE=3，
∴AE=GE=3，
∵∠BEG+∠BGE=90∘，∠BGE+∠CGD=90∘，
∴∠BEG=∠CGD，
∴△BEG∽△CGD，
∴BECG=BGCD=GEDG=36=12，
设 BE=x，则 CG=2x，CD=AB=x+3，BG=6−2x，
∴6−2xx+3=12，
解得：x=33，即 BE=33；
故答案为：33．
第三部分
17. 去分母，得 1−2x−4=−x，
去括号，得 1−2x+8=−x，
解得 x=9，
经检验：将 x=9 代入，得左边 =−95= 右边，
x=9 是原方程的解．
所以方程的解是 x=9．
18. 在平行四边形 ABCD 中，则 AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
又 BE 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
即 AB=AE，
同理 CF=CD，
又 AB=CD，
∴CF=AE，
∴BF=DE，
∴ 四边形 EBFD 是平行四边形．
19. 原式=a2+2ab+b2+a2−b2−3a2=−a2+2ab,
当 a=−22，b=2 时，
原式=−−222+2−22×2=−8−8=−16.
20. （1） 5
补全图形如下：
【解析】E 类学生有 50−2+3+22+18=5（人），
（2） 720
【解析】D 类学生人数占被调查总人数的 1850×100%=36%，
∴ 估计全校的 D 类学生有 2000×36%=720（人）．
（3） 记 0≤t≤2 内的两人为甲、乙，2从中任选两人有：甲乙、甲 A 、甲 B 、甲 C 、乙 A 、乙 B 、乙 C，AB，AC，BC 这 10 种可能结果，其中 2 人锻炼时间都在 2 ∴ 这 2 人锻炼时间都在 221. （1） 过点 C 作 CE⊥BD 于 E，
则 DF∥CE，AB∥CE，
∵DF∥CE，
∴∠ECD=∠CDF=30∘，
同理 ∠ECB=∠ABC=45∘，
∴∠BCD=∠ECD+∠ECB=75∘．
答：∠BCD 为 75∘．
（2） 在 Rt△ECD 中，∠ECD=30∘，
∵tan∠ECD=DECE，
∴DE=CE⋅tan∠ECD=33CE，
同理 BE=CE，
∵BD=BE+DE，
∴20=CE+33CE，
CE=603+3=103−3，
答：旗杆 AC 的高度 CE 为 103−3 米．
22. （1） 连接 OE，
∵∠B 的平分线 BE 交 AC 于 D，
∴∠CBE=∠ABE．
∵EF∥AC，
∴∠CAE=∠FEA．
∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，
∴∠FEA=∠OEB．
∵∠AEB=90∘，
∴∠FEO=90∘．
∴EF 是 ⊙O 切线．
（2） ∵AF⋅FB=EF⋅EF，
∴AF×AF+15=10×10．
∴AF=5．
∴FB=20．
∵∠F=∠F，∠FEA=∠FBE，
∴△FEA∽△FBE．
∴EF=10．
∵AE2+BE2=15×15．
∴AE=35．
23. （1） 04
【解析】∵ 点 A1,m+2，B4,m−1 是反比例函数和直线的交点坐标，
∴ 04；
（2） ∵ A1,m+2，B4,m−1 是反比例函数 y1=k1x 上，
∴ 1×m+2=k1,4m−1=k1,
解得 m=2,k1=4.
∴ A1,4，B4,1．
∵ 点 A，B 在直线 y2=k2x+b 上，
∴ k2+b=4,4k2+b=1,
解得 b=5,k2=−1.
∴ 双曲线的解析式为 y=4x，直线的解析式为 y=−x+5；
（3） 设点 Pa,0，
则 PA2=a−12+42，AB2=18，PB2=a−42+12，
①当 PA=PB 时，a−12+42=a−42+12，
解得 a=0，
∴ P10,0，
②当 PA=AB 时，a−12+42=18，
解得 a1=2+1，a2=−2+1，
∴ P22+1,0，P3−2+1,0，
③当 PB=AB 时，a−42+12=18，
解得 a3=17+4，a4=−17+4，
∴ P417+4,0，P5−17+4,0，
综上述，P10,0，P22+1,0，P3−2+1,0，P417+4,0，P5−17+4,0．
24. （1） 将点 A−1,54 和点 C−4,5 代入二次函数 y=ax2+c，
得：a+c=54,16a+c=5.
解得：a=14,c=1.
∴ 二次函数的解析式为 y=14x2+1．
（2） 0,2．
【解析】如图，点 P 即为所求．
点 A−1,54 关于 y 轴的对称点 Aʹ1,54，
结合 C−4,5 知直线 AʹC 的解析式为 y=−34x+2，
当 x=0 时，y=2，则点 P 坐标为 0,2．
（3） ①将点 P0,2 代入直线 y=kx+b，得 b=2，
联立 y=14x2+1,y=kx+2.
化简得：x2−4kx−4=0，
解得：x=2k±2k2+1，
∵x1<0 ∴x1=2k−2k2+1，x2=2k+2k2+1，
∴OF=−x1=−2k+2k2+1，OG=x2=2k+2k2+1，
∴OF×OG=4=OP2，
∴OFOP=OPOG，即 △FOP∽△POG，
∴∠FPO=∠PGO．
② ∵x1+x2=4k，x1x2=−4，
∴PF+PG2=PF2+2×PF×PG+PG2=x12+4+2x12+4×x22+4+x22+4=x1+x22−2x1x2+8+2x1x22+4x1+x22−8x1x2+16=16k2+16+16k2+1.
不妨令 t=k2+1，t≥1，
∴PF+PG=4t2+t=t+122−14，
∴ 当 k=0 时，t=1，此时 PF+PG 取最小值 42，
∴ 点 O 到直线 y=kx+b 的距离即 OP=2．
25. （1） ∵∠AOB=90∘，
∴∠APB=12∠AOB=45∘．
（2） 过点 O 作 OC⊥PA 于 C，在 CA 上截取 CD=OC，如图①所示：
∵tan∠OAP=2−1，
∴OCAC=2−1，即 AC=2+1OC，
∵CD=OC，
∴AD=AC−CD=2+1OC−OC=2OC，
∵∠OCD=90∘，OC=CD，
∴OD=2OC，∠CDO=45∘，
∴AD=OD，
∴∠A=∠DOA，
∵∠A+∠DOA=∠CDO=45∘，
∴∠A=22.5∘，
∵OP=OA，
∴∠APO=∠A=22.5∘，
∵∠APB=45∘，
∴∠BPO=∠APB−∠APO=22.5∘，
∴∠APO=∠BPO．
（3） 连接 AB，连接 PO 并延长交 AB 于 E，则 PE⊥AB，把 △PBQ 沿着 PQ 翻折得 △PBʹQ，如图②所示：
则 PBʹ=PB=PA，∠PQB=∠PQBʹ，S2=S△QPB=S△QBʹP，
∵∠AQP=∠ABP，∠ABP=∠PAB，
∴∠AQP=∠PAB，
∵ 四边形 PABQ 内接于 ⊙O，
∴∠PAB+∠PQB=180∘，
∴∠AQP+∠PQBʹ=180∘，
∴ 点 A，Q，Bʹ 三点共线，
∵S1+S2=S△QPA+S△QBʹP=S△PABʹ，
∴S1+S2>0 当且仅当 PA⊥PBʹ 时，S1+S2 有最大值 PA22，
在 Rt△PAE 中，AE=1，PE=2+1，PA2=AE2+PE2=4+22，
∴PA22=2+2，
∴0