2019年广州市天河区中考数学一模试卷

这是一份2019年广州市天河区中考数学一模试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 9 的平方根是
A. ±3B. −3C. 3D. ±13

2. 下列各式计算正确的是
A. 3a3+2a2=5a6B. 2a+a=3aC. a4⋅a2=a8D. ab23=ab6

3. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为
A. x≥−1B. x>1C. −3−3

4. 如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF，DF 分别为 ∠ABE，∠CDE 的角平分线，则 ∠BFD=
A. 110∘B. 120∘C. 125∘D. 135∘

5. 如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是
A. B.
C. D.

6. 某篮球运动员在连续 7 场比赛中的得分（单位：分）依次为 20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是
A. 18 分，17 分B. 20 分，17 分C. 20 分，19 分D. 20 分，20 分

7. 要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排 30 场比赛，设邀请 x 个球队参加比赛，根据题意可列方程为
A. xx−1=30B. xx+1=30C. xx−12=30D. xx+12=30

8. 如图，从热气球 C 处测得地面 A，B 两点的俯角分别为 30∘，45∘，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A，D，B 在同一直线上，则 A，B 两点的距离是
A. 200 米B. 2003 米
C. 2203 米D. 1003+1 米

9. 如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点 A 的坐标是 4,0，点 P 为边 AB 上一点，∠CPB=60∘，沿 CP 折叠正方形，折叠后，点 B 落在平面内点 B′ 处，则 Bʹ 点的坐标为
A. 2,23B. 32,2−3C. 2,4−23D. 32,4−23

10. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆分别与 AC，BC 相切于点 E，F，与 AB 分别相交于点 G，H，且 EH 的延长线与 CB 的延长线交于点 D，则 CD 的长为
A. 22−12aB. 2+12aC. 2aD. 2−14a

二、填空题（共6小题；共30分）
11. −115 的绝对值是 ，倒数是 ．

12. 若代数式 m+1m−1 有意义，则 m 的取值范围是 ．

13. 如图，△COD 是 △AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40∘ 后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，则 ∠A 的度数是 ．

14. 关于 x 的一元二次方程 m−3x2+x+m2−9=0 的一个根是 0，则 m 的值是 ．

15. 已知 ⊙O 的半径为 5 cm，弦 AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，则 AB 和 CD 的距离为 ．

16. 如图，在平面直角坐标中，直线 l 经过原点，且与 y 轴正半轴所夹的锐角为 60∘，过点 A0,1 作 y 轴的垂线 l 于点 B，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1，以 A1B，BA 为邻边作平行四边形 ABA1C1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2，以 A2B1，B1A1 为邻边作平行四边形 A1B1A2C2；⋯；按此作法继续下去，则 Cn 的坐标是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程组：
（1）2x−5y=7,2x+3y=−1.
（2）3x−1=y+5,5y−6=3x+4.

18. 已知：如图，矩形 ABCD 中，DE 交 BC 于 E，且 DE=AD，AF⊥DE 于 F．
求证：AB=AF．

19. 如图，在平面直角坐标系中有 △ABC，其中 A−3,4，B−4,2，C−2,1．把 △ABC 绕原点顺时针旋转 90∘，得到 △A1B1C1．再把 △A1B1C1 向左平移 2 个单位，向下平移 5 个单位得到 △A2B2C2．
（1）画出 △A1B1C1 和 △A2B2C2．
（2）直接写出点 B1，B2 坐标．
（3）Pa,b 是 △ABC 的 AC 边上任意一点，△ABC 经旋转平移后 P 对应的点分别为 P1，P2，请直接写出点 P1，P2 的坐标．

20. 已知一个不透明的袋子中装有 7 个只有颜色不同的球，其中 2 个白球，5 个红球．
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率；
（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率；
（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为 27，求袋中有几个红球被换成了黄球．

21. 2018 年我市的脐橙喜获丰收，脐橙一上市，水果店的陈老板用 2400 元购进一批脐橙，很快售完；陈老板又用 6000 元购进第二批脐橙，所购件数是第一批的 2 倍，但进价比第一批每件多了 20 元．
（1）第一批脐橙每件进价多少元?
（2）陈老板以每件 120 元的价格销售第二批脐橙，售出 60% 后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批脐橙的销售总利润不少于 480 元，剩余的脐橙每件售价最低打几折?（利润 = 售价 − 进价）

22. 如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，以 AB 为直径的 ⊙O 交 AC 边于点 D，E 是边 BC 的中点，连接 DE，OD．
（1）求证：直线 DE 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 OC 交 DE 于 F，若 OF=FC，试判断 △ABC 的形状，并说明理由；
（3）若 ADDC=12，BE=32，求 ⊙O 的半径．

23. 已知反比例函数 y=m−3x 的图象的一支位于第一象限，点 Ax1,y1，Bx2,y2 都在该函数的图象上．
（1）m 的取值范围是 ，函数图象的另一支位于第一象限，若 x1>x2，y1>y2，则点 B 在第 象限；
（2）如图，O 为坐标原点，点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 C 与点 A 关于 x 轴对称，若 △OAC 的面积为 6，求 m 的值．

24. 如图：AD 是正 △ABC 的高，O 是 AD 上一点，⊙O 经过点 D，分别交 AB，AC 于 E，F．
（1）求 ∠EDF 的度数；
（2）若 AD=63，求 △AEF 的周长；
（3）设 EF，AD 相较于 N，若 AE=3，EF=7，求 DN 的长．

25. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于点 A−1,0 和点 B3,0．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图 2，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 F，点 D2,3 在该抛物线上．
①求四边形 ACFD 的面积；
②点 P 是线段 AB 上的动点（点 P 不与点 A，B 重合），过点 P 作 PQ⊥x 轴交该抛物线于点 Q，连接 AQ，DQ，当 △AQD 是直角三角形时，求出所有满足条件的点 Q 的坐标．
答案
第一部分
1. A【解析】∵±32=9，
∴9 的平方根是 ±3．
2. B【解析】A、 3a3 与 2a2 不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、 2a+a=3a，故本选项正确；
C、 a4⋅a2=a6，故本选项错误；
D、 ab23=a3b6，故本选项错误．
3. A【解析】两个不等式的解集的公共部分是：−1 及其右边的部分．即大于等于 −1 的数组成的集合．
4. D【解析】如图所示，过 E 作 EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，
∴∠ABE+∠BEG=180∘，∠CDE+∠DEG=180∘，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360∘，
又 ∵DE⊥BE，BF，DF 分别为 ∠ABE，∠CDE 的角平分线，
∴∠FBE+∠FDE=12∠ABE+∠CDE=12360∘−90∘=135∘，
∴ 四边形 BEDF 中，
∠BFD=360∘−∠FBE−∠FDE−∠BED=360∘−135∘−90∘=135∘.
5. D
【解析】从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意．
6. D【解析】将数据重新排列为 17，18，18，20，20，20，23，
所以这组数据的众数为 20 分、中位数为 20 分．
7. A【解析】设邀请 x 个球队参加比赛，
根据题意可列方程为：xx−1=30．
8. D【解析】由已知，得 ∠A=30∘，∠B=45∘，CD=100，
因为 CD⊥AB 于点 D，
所以在 Rt△ACD 中，AD=CDtanA=10033=1003，
在 Rt△BCD 中，DB=CD=100 米，
所以 AB=AD+DB=1003+100=1003+1 米．
9. C【解析】过点 Bʹ 作 BʹD⊥OC．
∵∠CPB=60∘，CBʹ=OC=OA=4，
∴∠BʹCD=30∘，BʹD=2．
根据勾股定理得 DC=23．
∴OD=4−23，即 Bʹ 点的坐标为 2,4−23．
10. B
【解析】∵△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆分别与 AC，BC 相切于点 E，F，与 AB 分别相交于点 G，H，且 EH 的延长线与 CB 的延长线交于点 D，
∴ 连接 OE，OF，
由切线的性质可得 OE=OF=⊙O 的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90∘，
∴OECF 是正方形，
∵ 由 △ABC 的面积可知 12×AC×BC=12×AC×OE+12×BC×OF，
∴OE=OF=12a=EC=CF，BF=BC−CF=0.5a，GH=2OE=a，
∵ 由切割线定理可得 BF2=BH⋅BG，
∴14a2=BHBH+a，
∴BH=−1+22a 或 BH=−1−22a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴OEOH=BDBH，
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+−1+22a=1+22a．
第二部分
11. 115，−56
【解析】−115 的绝对值是 115，倒数是 −56．
12. m≥−1，且 m≠1
【解析】由题意得：m+1≥0，且 m−1≠0，
解得：m≥−1，且 m≠1．
13. 70∘
【解析】∵△COD 是 △AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40∘ 后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，
∴∠AOC=∠BOD=40∘，OA=OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠A=12180∘−40∘=70∘．
14. −3
【解析】把 x=0 代入方程 m−3x2+x+m2−9=0，得 m2−9=0，
解得：m=±3，
∵m−3≠0，
∴m=−3．
15. 1 cm 或 7 cm
【解析】如图所示，如图（一），当 AB，CD 在圆心 O 的同侧时，连接 OA，OC，过 O 作 OE⊥CD 于 E，交 AB 于 F，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8 cm，CD=6 cm，
∴AF=4 cm，CE=3 cm，
∴OA=OC=5 cm，
∴OE=OC2−CE2=52−32=4 cm，
同理，OF=OA2−AF2=52−42=3 cm，
∴EF=OE−OF=4−3=1 cm；
如图（二），当 AB，CD 在圆心 O 的异侧时，连接 OA，OC，过 O 作 OE⊥CD 于 E，反向延长 OE 交 AB 于 F，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8 cm，CD=6 cm，
∴AF=4 cm，CE=3 cm，
∴OA=OC=5 cm，
∴OE=OC2−CE2=52−32=4 cm，
同理，OF=OA2−AF2=52−42=3 cm，
∴EF=OE+OF=4+3=7 cm．
16. −3×4n−1,4n
【解析】∵ 直线 l 经过原点，且与 y 轴正半轴所夹的锐角为 60∘，
∴ 直线 l 的解析式为 y=33x．
∵AB⊥y 轴，点 A0,1，
∴ 可设 B 点坐标为 x,1，
将 Bx,1 代入 y=33x，得 1=33x，解得 x=3，
∴B 点坐标为 3,1，AB=3．
在 Rt△A1AB 中，∠AA1B=90∘−60∘=30∘，∠A1AB=90∘，
∴AA1=3AB=3，OA1=OA+AA1=1+3=4，
∵ 平行四边形 ABA1C1 中，A1C1=AB=3，
∴C1 点的坐标为 −3,4，即 −3×40,41；
由 33x=4，解得 x=43，
∴B1 点坐标为 43,4，A1B1=43．
在 Rt△A2A1B1 中，∠A1A2B1=30∘，∠A2A1B1=90∘，
∴A1A2=3A1B1=12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16，
∵ 平行四边形 A1B1A2C2 中，A2C2=A1B1=43，
∴C2 点的坐标为 −43,16，即 −3×41,42；
同理，可得 C3 点的坐标为 −163,64，即 −3×42,43；
以此类推，则 Cn 的坐标是 −3×4n−1,4n．
第三部分
17. （1）
2x−5y=7, ⋯⋯①2x+3y=−1. ⋯⋯②②−①
得：
8y=−8.
解得：
y=−1.
把 y=−1 代入 ① 得：
x=1.
则方程组的解为
x=1,y=−1.
（2） 方程组整理得：
3x−y=8, ⋯⋯①3x−5y=−18. ⋯⋯②①−②
得：
4y=26.
解得：
y=132.
把 y=132 代入 ① 得：
x=296.
则方程组的解为
x=296,y=132.
18. ∵AF⊥DE，
∴∠AFE=90∘．
∵ 在矩形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90∘．
∴∠ADF=∠DEC．
∴∠AFE=∠C=90∘．
∵AD=DE．
∴△ADF≌△DEC．
∴AF=DC．
∵DC=AB．
∴AF=AB．
19. （1） 如图所示，△A1B1C1 和 △A2B2C2 即为所求：
（2） 点 B1 坐标为 2,4，B2 坐标为 0,−1．
（3） 由题意知点 P1 坐标为 b,−a，点 P2 的坐标为 b−2,−a−5．
20. （1） ∵ 袋中共有 7 个小球，其中红球有 5 个，
∴ 从袋中随机摸出一个球是红球的概率为 57．
（2） 列表如下：
白白红红红红红白白,白白,白白,红白,红白,红白,红白,红白白,白白,白白,红白,红白,红白,红白,红红白,红白,红红,红红,红红,红红,红红,红红白,红白,红红,红红,红红,红红,红红,红红白,红白,红红,红红,红红,红红,红红,红红白,红白,红红,红红,红红,红红,红红,红红白,红白,红红,红红,红红,红红,红红,红
由表知共有 49 种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有 20 种结果，
∴ 两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 2049．
（3） 设有 x 个红球被换成了黄球．
根据题意，得：
2x+2x42=27.
解得：
x=3.
即袋中有 3 个红球被换成了黄球．
21. （1） 设第一批脐橙每件进价是 x 元，则第二批每件进价是 x+20 元，
根据题意，得：
2400x×2=6000x+20.
解得
x=80.
经检验，x=80 是原方程的解且符合题意．
答：第一批脐橙每件进价为 80 元．
（2） 设剩余的脐橙每件售价打 y 折，
根据题意，得：
120−100×600080+20×60%+120×y10−100×600080+20×1−60%≥480.
解得：
y≥7.5.
答：剩余的脐橙每件售价最少打 7.5 折．
22. （1） 如图所示，连接 BD．
∵AB 是直径，
∴∠ADB=90∘，
∵O 是 AB 的中点，
∴OA=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD，
同理在 Rt△BDC 中，E 是 BC 的中点，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠OAD+∠ABD=90∘，∠ABD+∠CBD=90∘，
∴∠OAD=∠CBD，
∴∠ODA=∠EBD，
又 ∵∠ODA+∠ODB=90∘，
∴∠EBD+∠ODB=90∘，即 ∠ODE=90∘，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） △ABC 的形状是等腰直角三角形．
理由是：
∵E，F 分别是 BC，OC 的中点，
∴EF 是三角形 OBC 的中位线，
∴EF∥AB，
DE⊥BC，
OB=OD，四边形 OBED 是正方形，
连接 OE，OE 是 △ABC 的中位线，OE∥AC，
∠A=∠EOB=45 度，
∴∠A=∠ACB=45∘，
∵∠ABC=90∘，
∴△ACB 是等腰直角三角形．
（3） 设 AD=x，CD=2x，
∵∠CDB=∠CBA=90∘，∠C=∠C，
∴△CDB∽△CBA，
∴BCAC=CDBC，
∴32+323x=2x62，x=23，AC=63，
由勾股定理得：AB=AC2−BC2=6，
∴ 圆的半径是 3．
答：⊙O 的半径是 3．
23. （1） m>3；三
【解析】根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且 m−3>0，则 m>3．
（2） ∵ 点 A 在第一象限，且与点 C 关于 x 轴对称，
∴AC⊥x 轴，AC=2y=2×m−3x，
∴S△OAC=12AC⋅x=12×2×m−3x⋅x=m−3，
∵△OAC 的面积为 6，
∴m−3=6，解得 m=9．
24. （1） 如图 1 中，作 OI⊥AB 于 I，OJ⊥AC 于 J，连接 OE，OF．
∵AD 是正 △ABC 的高，
∴∠BAC=60∘，AD 平分 ∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30∘，
∵OI⊥AB 于 I，OJ⊥AC 于 J，
∴∠AIO=∠AJO=90∘，
∴∠IOJ=360∘−90∘−90∘=60∘=120∘，OI=OJ，
∵OE=OF，
∴Rt△OIE≌△Rt△OJFHL，
∴∠IOE=∠JOF，
∴∠EOF=∠EOJ+∠FOJ=∠EOJ+∠IOE=∠IOJ=120∘，
∴∠EDF=12∠EOF=60∘．
（2） 如图 2 中，作 DK⊥AB 于 K，DL⊥AC 于 L，DM⊥EF 于 M，连接 FG．
∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠B=60∘，BD=CD，
∵∠EDF=60∘，
∴∠EDF=∠B，
∵∠EDC=∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，
∴∠BED=∠CDF，
∵GD 是圆 O 的直径，
∴∠ADC=90∘，∠GFD=90∘，
∴∠FGD+∠FDG=90∘，∠FDC+∠FDG=90∘，
∴∠FDC=∠FGD=∠DEF，
∵DK⊥EB，DM⊥EF，
∴∠EKD=∠EMD=90∘，DK=DM，
∴Rt△DEK≌Rt△DEMHL，
∴EK=EM，
同法可证：DK=DL，
∴DM=CL，
∵DM⊥FE，DL⊥FC，
∴∠FMD=∠FLD=90∘，
∴Rt△DFM≌Rt△DFLHL，
∴FM=FL，
∵AD=AD，DK=DF，
∴Rt△ADK≌Rt△ADLHL，
∴AK=AL，
∴△AEF 的周长 =AE+EF+AF=AE+EK+AF+FL=2AL，
∵AD=63，
∴AL=AD⋅cs30∘=9，
∴△AEF 的周长 =18．
（3） 如图 3 中，作 FP⊥AB 于 P，作 EM⊥AC 于 M，作 NQ⊥AB 于 Q，DL⊥AC 于 L．
在 Rt△AEM 中，
∵AE=3，∠EAM=60∘，
∴AM=12AE=32，EM=332，
在 Rt△EFM 中，EF=EM2+FM2=72−3322=132，
∴AF=AM+MF=8，
∵△AEF 的周长 =18，
由（2）可知 2AL=18，
∴AJ=9，AD=ALcs30∘=63，
∴AP=12AF=4，FP=43，
∵NQ∥FP，
∵△EQN∽△EPF，
∴EQQN=EPPF=143，
∵∠BAD=30∘，
∴AQ=3NQ，
设 EQ=x，则 QN=43x，AQ=12x，
∴AE=11x=3，
∴x=311，
∴AN=2NQ=24311，
∴DN=AD−AN=42311．
25. （1） 由题意可得 a−b+3=0,9a+3b+3=0, 解得 a=−1,b=2,
∴ 抛物线解析式为 y=−x2+2x+3．
（2） ① ∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴F1,4，
∵C0,3，D2,3，
∴CD=2，且 CD∥x 轴，
∵A−1,0，
∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=12×2×3+12×2×4−3=4；
② ∵ 点 P 在线段 AB 上，
∴∠DAQ 不可能为直角，
∴ 当 △AQD 为直角三角形时，有 ∠ADQ=90∘ 或 ∠AQD=90∘，
i．当 ∠ADQ=90∘ 时，则 DQ⊥AD，
∵A−1,0，D2,3，
∴ 直线 AD 解析式为 y=x+1，
∴ 可设直线 DQ 解析式为 y=−x+bʹ，把 D2,3 代入可求得 bʹ=5，
∴ 直线 DQ 解析式为 y=−x+5，
联立直线 DQ 和抛物线解析式可得 y=−x+5,y=−x2+2x+3,
解得 x=1,y=4 或 x=2,y=3,
∴Q1,4；
ii．当 ∠AQD=90∘ 时，设 Qt,−t2+2t+3，
设直线 AQ 的解析式为 y=k1x+b1，
把 A，Q 坐标代入可得 −k1+b1=0,tk1+b1=−t2+2t+3, 解得 k1=−t−3，
设直线 DQ 解析式为 y=k2x+b2，同理可求得 k2=−t，
∵AQ⊥DQ，
∴k1k2=−1，即 tt−3=−1，解得 t=3±52，
当 t=3−52 时，−t2+2t+3=5+52，
当 t=3+52 时，−t2+2t+3=5−52，
∴Q 点坐标为 3−52,5+52 或 3+52,5−52．
综上可知 Q 点坐标为 1,4 或 3−52,5+52 或 3+52,5−52．