2023年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷(含解析)

2023年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  新华字典是新中国最有影响力的现代汉语字典，新华字典自年开始启动编写和出版工作，至今已历经余年，出版至第版，从年版本收录单字个含异体字，到版收录字，收字数增加了将近一倍，将“”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在矩形中，对角线，交于点，已知，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  是的角平分线，若，，则点到距离为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，数轴上的点可以用实数表示，下面式子成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某校为了了解本校学生课外阅读的情况，现随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如图统计图，根据相关信息，下列有关课外阅读时间单位：小时的选项中，错误的是(    )

A. 本次抽取共调查了个学生 B. 中位数是小时
C. 众数是小时 D. 平均数是小时

8.  若点，，在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  九章算术中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛”大致意思是：有大小两种盛米的桶，大桶加小桶共盛斛米，大桶加小桶共盛斛米，依据该条件，求个大桶和个小桶分别可以盛多少斛米？设个大桶盛斛米，个小桶盛斛米可列方程组(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知二次函数，与自变量之间的部分对应值如表所示下列结论：；当时，；；关于的一元二次方程的解是，其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式 ______ ．

12.  已知：如图，点在边上，若 ______ 时，则∽．

13.  如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则 ______ ．

14.  若关于的一元二次方程的一个根为则 ______ ．

15.  若直线和相交于点，则关于的不等式的解集是______ ．

16.  如图，点为等边三角形边上一动点，，连接，以为边作正方形，连接、，则当 ______ 时，的面积为最小值______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，中，，求证：≌．

19.  本小题分
已知：．
化简；
如图，、分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为，求的值．

20.  本小题分
梅雨季节来临，某电器店开始销售、两种型号的便携式小型除湿器，型除湿器每台价格是型除湿器的倍销售若干周后，型除湿器总销售额为元，型除湿器销售额为元，其中型除湿器比型除湿器多销售台求型号的除湿器每台价格是多少元？

21.  本小题分
为锻炼学生的社会实践能力，某校开展五项社会实践活动，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动，该校从全体学生中调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图五个综合实践活动分别用表示：

扇形统计图中的 ______ ，项活动所在扇形的圆心角的大小是______
甲同学想参加、、三个活动中的一个，乙同学想参加、、这三个活动中的一个，若他们随机抽选其中一个活动的概率相同，请用列表法或画树状图法，求他们同时选中同一个活动的概率．

22.  本小题分
如图，中，，，绕点顺时针旋转与重合，点在轴上，连接，若反比例函数与直线仅有一个公共点．
求直线和反比例函数的解析式；
把沿直线翻折到，与反比例函数交于点，求的面积．

23.  本小题分
已知：中，，．
尺规作图：求作的中点，连并延长，交于点保留作图痕迹，不写作法；
从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知条件，求的余弦值．
条件：和的面积为和，且：：；
条件：和的周长为和，且．

24.  本小题分
如图，中，，在边上找一点，以为半径作圆分别交，于点，是的切线且，．

证明：；
求的面积；
如图，过点作的平行线交点于点，为劣弧上一动点，连接，在上取点，使得，连接交于，求的最大值．

25.  本小题分
二次函数的图象记为．
请直接写出二次函数与轴的交点及其对称轴；
若二次函数过点，其与轴的另一个交点为，抛物线上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由；
在的条件下，二次函数的图象为，且夹在直线与抛物线之间，二次函数同时符合以下三个条件：
当时，二次函数最大值与最小值之差为；
当时，随的增大而减小；
若把图象向左平移个单位，当时，随的增大而增大；
求实数的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、与不能合并，故D不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法，绝对值，算术平方根的意义，二次根式的加法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在矩形中，
，
，
，
，，
为等边三角形．
，
，
故选：．
由矩形的性质可得到，于是可证明为等边三角形，于是可求得答案．
本题主要考查的是矩形的性质、等边三角形的性质和判定、求得的长是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：作于，
是的角平分线，，，
，
，
，
点到距离为，
故选：．
作于，利用角平分线的性质得，即可解决问题．
本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由数轴可知，，
，选项错误；
，选项错误；
，选项正确；
，选项错误．
故选：．
有数轴知识得到的取值范围，再判断选项正误．
本题考查了实数与数轴、绝对值的定义，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：由统计图可得，
本次抽取共调查了个学生，故选项A正确，不符合题意；
中位数是，故选项B错误，符合题意；
众数是，故选项C正确，不符合题意；
平均数是：，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查众数、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：反比例系数，
函数在第一、三象限，在每个象限内的函数值随的增大而减小，
，
，
，
故选：．
先由得到函数在第一、三象限，在每个象限内的函数值随的增大而减小，然后根据点的坐标特征以及函数的增减性得到，，的大小关系．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知反比例函数的增减性．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，
故选：．
直接利用个大桶加上个小桶可以盛米斛，个大桶加上个小桶可以盛米斛，分别得出等式组成方程组求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，正确得出等量关系是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：图象经过点，
，
，故说法错误；

由于二次函数有最大值，
，开口向下，
抛物线与轴的交点为和，
当时，，
当时，，故说法正确；

当时，，
，故说法错误；

对称轴为直线，
点关于直线的对称点是，
关于的一元二次方程的解是，，故说法正确．
故选：．
根据图象经过点，得出由此判断；观察图表可知，开口向下，根据抛物线与轴的交点，即可判断；根据，即可判断，二次函数在与时，值相等，得出对称轴为直线，即可根据抛物线的对称性求得点关于直线的对称点是，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，二次函数的性质，难度适中．能够从表格中获取信息确定出开口方向和对称轴是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用提取公因式法分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
当时，∽．
故答案为：．
由相似三角形的判定：有两角对应相等的两个三角形相似，即可得到答案．
本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图．
由题意得，，．
．
，
．
．
．
故答案为：．
根据平行线的性质、邻补角的定义解决此题．
本题主要考查平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质、邻补角的定义是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：把代入中，得
，
，
由题意得：
，
，
，
故答案为：．
根据题意把代入方程中，可得，然后根据一元二次方程的定义可得，即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：把代入得：，则的坐标是．
所以的解是，
不等式即，
根据图象，得：不等式的解集是：．
故答案为：．
首先求得的坐标，不等式，即，根据图象即可直接求得解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集．
 

16.【答案】  

【解析】解：如图，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点设．

是等边三角形，，
，，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，


，
，
有最小值，当时，最小值为，此时．
故答案为：，．
如图，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点设构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
本题考查二次函数的最值，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题．
 

17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：． 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

18.【答案】解：由题意得：，
在与中，

≌． 

【解析】首先利用圆周角定理得到，然后利用判定两三角形全等即可．
本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆周角相等，难度较小．
 

19.【答案】解：
；
由题意得：，
则，
． 

【解析】根据分式的除法法则化简；
根据扇形面积公式求出，代入计算即可．
本题考查的是圆锥的计算、分式的化简求值，掌握扇形面积公式是解题的关键．
 

20.【答案】解：设型号的除湿器每台价格是元，根据题意可得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：型号的除湿器每台价格是元． 

【解析】设型号的除湿器每台价格是元，利用型除湿器比型除湿器多销售台即可得出分式方程，解之即可得出结论．
此题考查分式方程的应用，关键是根据题意得出分式方程解答．
 

21.【答案】   

【解析】解：由题意，得，
，
项活动所在扇形的圆心角为：，
故答案为：，；
如图所示，画树状图如下：

由图可知，共有种等可能的情况，分别是：、、、、、、、、，其中，两人同时选中同一个活动有种，分别是：、，
两人同时选中同一个活动．
先求出所占的百分比，再用减去，，，所占百分比即可得，将的百分比乘以即可得到项活动所在扇形的圆心角的大小；
用列表法或树状图法得到所有等可能的结果数，再从中找出他们同时选中同一个活动的结果数，利用概率公式求解即可．
本题考查条形统计图与扇形统计图的读图与计算，列表法或树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
直线为，
令整理得，
反比例函数与直线仅有一个公共点，
，即，
解得，
反比例函数的解析式为；
由题意可知，
四边形是菱形，
，
点的纵坐标为，
把代入得，，
，
，
，
，
，
的面积为． 

【解析】利用勾股定理求得，根据旋转的性质得出，即可求得，即，利用待定系数法即可求得直线的解析式为，令整理得，与反比例函数与直线仅有一个公共点，则，解得，即可求得反比例函数的解析式为；
由题意可知，即可得出四边形是菱形，从而求得点的坐标，得到，由于，即可得出的面积为．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，旋转的性质，轴对称的性质，三角形的面积，证得四边形是菱形是解题的关键．
 

23.【答案】解：图形如图所示：

选择条件，过点作于点．
，
，
，
，，
：：，
：：，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
．
选择条件，，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】作线段的垂直平分线，垂足为，连并延长，交于点；
选择条件，过点作于点由，推出，设，则，，利用勾股定理求出，可得结论；
选择条件由，，推出，由，推出，推出，设，则，，利用面积法求出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：连接，

是的切线，且点在上，
，
，
在中，，
，
，
，
，
；
解：连接，过点作垂足为，与交于点，
是的直径，
在中，，
则，
由得，
，
，
是的中点，
即，
，
，
∽，
，
可得是的中点，，
在中，，
，
，
∽，
，
即，
，
；
在中，，
，
，
的面积；
解：过点作于，由知点是的中点，
在中，，

故E，
，，，在以为直径的上，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的上，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，，
，
当最大时，才有最大值，过作于，
在中，，
在中，，由点在劣弧上，
当点与点重合时，取最大值，最大值为，
故当为的中点时，有最大值，最大值为． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论；
连接，过点作垂足为，与交于点，根据勾股定理得到，由得，根据相似三角形的性质得到，得到是的中点，于是得到，根据相似三角形的性质得，根据勾股定理得到，根据圆的面积公式即可得到结论；
过点作于，由知点是的中点，根据直角三角形的性质得到，推出，，，在以为直径的上，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，，当最大时，才有最大值，过作于，根据勾股定理，当点与点重合时，取最大值，最大值为，当为的中点时，最大值为．
本题是圆的综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，四点共圆，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线的对称轴为，
对于，令，则，即点；

存在，理由：
将点的坐标代入抛物线表达式得：，则
故抛物线的表达式为：，
由抛物线的表达式知，，则直线和轴的夹角为
当为直角时，则直线和轴负半轴的夹角为，
故设直线的表达式为：，
联立得：，
解得：；
当为直角时，同理可得，，
当为直角时，设点，
过点作轴的平行线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，

，，
，
，即，
即，
解得：或，
综上，点的横坐标为：或或或；

当时，随的增大而减小，则，
若把图象向左平移个单位，当时，随的增大而增大，则，
则，即对称轴为，则；
联立和得：，

解得：，则该点坐标为：；
由和点代入抛物线表达式并解得：，
则抛物线的表达式为：，
二次函数的图象为，且夹在直线与抛物线之间，
则恒成立，
即且，
，则且，则成立，
解得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
由抛物线的表达式知，其对称轴为，此时，，
由得：，
则，即在对称轴为右侧，
而和对称轴的距离为：，
当在对称轴的右侧时，
则，
解得：舍去
当在对称轴的左侧时，
则抛物线在时，取得最大值，
则，
解得：舍去或；
综上，． 

【解析】用待定系数法即可求解；
当为直角时，则直线和轴负半轴的夹角为，得到直线的表达式为：，进而求解；当为直角时，同理可解；当为直角时，证明，即，即可求解；
确定抛物线的对称轴为，则，通过和点代入抛物线表达式并解得：，进而求解．
本题为二次函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．