2019年广州市白云区中考数学一模试卷

这是一份2019年广州市白云区中考数学一模试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −0.5 的相反数是
A. 0.5B. −0.5C. −2D. 2

2. 已知点 C 是线段 AB 上的一点，不能确定点 C 是 AB 中点的条件是
A. AC=CBB. AC=12ABC. AB=2BCD. AC+CB=AB

3. 下列各组的两项是同类项的为
A. 3m2n2 与 −m2n3B. 12xy 与 2yx
C. 53 与 a3D. 3x2y2 与 4x2z2

4. 如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O，若 ∠AOD=134∘，则 ∠AOC 的度数为
A. 134∘B. 144∘C. 46∘D. 32∘

5. 一个正方形的面积为 2，则它的边长是
A. 4B. ±2C. −2D. 2

6. 为了了解一批电视机的使用寿命，从中抽取 100 台电视机进行试验，这个问题的样本是
A. 这批电视机B. 这批电视机的使用寿命
C. 抽取的 100 台电视机的使用寿命D. 100 台

7. 计算 −2x+1−3x2 的结果为
A. 6x3+1B. 6x3−3C. 6x3−3x2D. 6x3+3x2

8. 若一个多边形的每个外角都等于 45∘，则它是
A. 六边形B. 八边形C. 九边形D. 十二边形

9. 如图，正比例函数 y1=k1x 和反比例函数 y2=k2x 的图象都经过点 A2,−1，若 y1>y2，则 x 的取值范围是
A. −12
C. −22D. x<−2 或 0
10. 如图，△ABC 周长为 36 cm，把其边 AC 对折，使点 C，A 重合，折痕交 BC 边于点 D，交 AC 边于点 E，连接 AD，若 AE=6 cm，则 △ABD 的周长是
A. 24 cmB. 26 cmC. 28 cmD. 30 cm

二、填空题（共6小题；共30分）
11. D，E，F 分别是 △ABC 各边的中点．若 △ABC 的周长是 12 cm，则 △DEF 的周长是 cm．

12. 平面直角坐标系下有序数对 2x−y,x+y 表示的点为 5,4，则 x= ，y= ．

13. 化简 m2−163m−12= ．

14. 直线 y=kx+b 中，k<0，b>0，则此直线经过第 象限．

15. 如果菱形两邻角之比为 1:2，较短的对角线长为 8，则其周长为 ．

16. 在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 的坐标为 3,1，若将 △OAB 绕 O 点，逆时针旋转 60∘ 后，B 点到达 Bʹ 点，则点 Bʹ 的坐标是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组 x+3<5,3x−1≥−7.

18. 如图，E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 BC，AD 上的两点，∠AEB=∠FCB．求证：BE=DF．

19. 如图是平面直角坐标系及其中的一条直线，该直线还经过点 C3,−10．
（1）求这条直线的解析式；
（2）若该直线分别与 x 轴、 y 轴交于 A，B 两点，点 P 在 x 轴上，且 S△PAB=6S△OAB，求点 P 的坐标．

20. 图 ① 是某手机生产厂第一季度三个月产量统计图，图 ② 是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图 ① 、图 ② 时漏填了部分数据．
（1）该厂二月份生产的手机产量占第一季度的比例为 %；
（2）求该厂三月份生产手机的产量；
（3）请求出图 ② 中一月份圆心角的度数．

21. 在一个不透明的袋子中装有三张分别标有 1，2，3 数字的卡片（卡片除数字外完全相同）．
（1）从袋中任意抽取一张卡片，则抽出的是偶数的概率为 ；
（2）从袋中任意抽取二张卡片，求被抽取的两张卡片构成两位数是奇数的概率．

22. 我国水资源比较缺乏，人均水量约为世界人均水量的四分之一，其中西北地区缺水尤为严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四个角各切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为 280 cm，宽为 160 cm（如图）．
（1）若水箱的底面积为 16000 cm2，请求出切去的小正方形边长；
（2）对（1）中的水箱，若盛满水，这时水量是多少升?（注：1升水=1000 cm3 水）

23. 如图1，延长 ⊙O 的直径 AB 至点 C，使得 BC=12AB，点 P 是 ⊙O 上半部分的一个动点（点 P 不与 A，B 重合），连接 OP，CP．
（1）∠C 的最大度数为 ；
（2）当 ⊙O 的半径为 3 时，△OPC 的面积有没有最大值?若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，延长 PO 交 ⊙O 于点 D，连接 DB，当 CP=DB 时，求证：CP 是 ⊙O 的切线．

24. 已知，如图，抛物线 y=−x2+ax+b 与 x 轴从左至右交于 A，B 两点，与 y 轴正半轴交于点 C．设 ∠OCB=α，∠OCA=β，且 tanα−tanβ=2，OC2=OA⋅OB．
（1）△ABC 是否为直角三角形?若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若抛物线的顶点为 P，求四边形 ABPC 的面积．

25. 如图，在 △ABC 中，∠C=45∘，点 D 在 AC 上，且 ∠ADB=60∘，AB 为 △BCD 外接圆的切线．
（1）用尺规作出 △BCD 的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；
（2）求 ∠A 的度数；
（3）求 ADDC 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】−0.5 的相反数是 0.5．
2. D【解析】A．若 AC=CB，则 C 是线段 AB 中点；
B．若 AC=12AB，则 C 是线段 AB 中点；
C．若 AB=2BC，则 C 是线段 AB 中点；
D．AC+BC=AB，C 可是线段 AB 是任意一点，所以不能确定 C 是 AB 中点；
因此不能确定点 C 是 AB 中点的条件是D．
3. B【解析】A、 3m2n2 与 −m2n3 字母 n 的指数不同不是同类项，故A错误；
B、 12xy 与 2yx 是同类项，故B正确；
C、 53 与 a3 所含字母不同，不是同类项，故C错误；
D、 3x2y2 与 4x2z2 所含的字母不同，不是同类项，故D错误．
4. C【解析】∵∠AOD+∠AOC=180∘，
∴∠AOC=180∘−134∘=46∘．
5. D
【解析】设它的边长为 x，则 x2=2，
所以 x=2．
所以它的边长是 2．
6. C【解析】本题考查的对象是了解一批电视机的使用寿命，故样本是所抽取的 100 台电视机的使用寿命．
7. C【解析】原式=6x2−3x2．
8. B【解析】360÷45=8，则正多边形的边数为 8．
9. D【解析】如图，
∵ 点 A 坐标 2,−1，又 ∵ 正比例函数 y1=k1x 和反比例函数 y2=k2x 都是关于原点对称，∴ 它们的交点 A，B 关于原点对称，∴ 点 B 坐标 −2,1，∴ 由图象可知，y1>y2 时，x<−2 或 010. A
【解析】∵ △ABC 的边 AC 对折顶点 C 和点 A 重合，
∴ AE=EC，AD=CD，
∴ △ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，
∵ AE=6 cm，
∴ AC=AE+EC=6+6=12 cm．
∵ △ABC 的周长为 36 cm，
∴ AB+BC=36−12=24 cm，
∴ △ABD 的周长是 24 cm．
第二部分
11. 6
【解析】如图所示．
∵D，E 分别是 AB，BC 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线，
∴DE=12AC，同理有 EF=12AB，DF=12BC，
∴△DEF 的周长 =12AC+BC+AB=12×12=6 cm．
12. 3，1
【解析】由题意得：2x−y=5x+y=4，解得 x=3y=1．
13. m+43
【解析】原式=m+4m−43m−4=m+43．
14. 一、二、四
【解析】因为 k<0，b>0，
所以直线 y=kx+b 经过第一、二、四象限．
15. 32
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB∥CD，
∴ ∠A+∠ADC=180∘，
∵ ∠A:∠ADC=1:2，
∴ ∠A=60∘，∠ADC=120∘，
∵ AD=AB，
∴ △ADB 为等边三角形，
∴ AD=BD=8，
∴ 菱形的周长=4×8=32．
16. 32,32
【解析】将 △OAB 绕 O 点，逆时针旋转 60∘ 后，位置如图所示，
作 BʹCʹ⊥y 轴于 Cʹ 点，
因为 A 的坐标为 3,1，
所以 OB=3，AB=1，∠AOB=30∘，
所以 OBʹ=3，∠BʹOCʹ=30∘，
所以 BʹCʹ=32，OCʹ=32，
所以 Bʹ32,32．
第三部分
17. 解不等式 x+3<5，得：
x<2.
解不等式 3x−1≥−7，得：
x≥−2.
故不等组的解集为：
−2≤x<2.
18. ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D．
又 AD∥CB，
∴∠DFC=∠FCB，
又 ∵∠AEB=∠FCB，
∴∠AEB=∠CFD．
在 △ABE 和 △CDF 中，
∠B=∠D,∠BEA=∠CFD,AB=CD,
∴△ABE≌△CDFAAS，
∴BE=DF．
19. （1） 设直线的解析式为：y=kx+b，
由图可知，直线经过点 −1,2，
又已知经过点 C3,−10，分别把坐标代入解析式中，
得：−k+b=2,3k+b=−10, 解得 k=−3,b=−1,
∴ 直线的解析式为 y=−3x−1．
（2） 由 y=−3x−1，令 y=0，解得 x=−13；
令 x=0，解得 y=−1．
∴A，B 两点的坐标分别为 A−13,0，B0,−1．
S△OAB=12OA⋅OB=12×13×1=16．
设点 P 的坐标为 Pm,0，
则 S△PAB=12PA⋅OB=12×m−−13×1=12m+13，
由 S△PAB=6S△OAB，得 12m+13=6×16，
从而得 m+13=2 或 m+13=−2，
∴m=53 或 m=−73，即点 P 的坐标为 P53,0 或 P−73,0．
20. （1） 34
【解析】该厂二月份生产的手机产量占第一季度的比例为 1−30%−36%=34%．
（2） 该厂第一季度总产量为：1500÷30%=5000（部），5000×36%=1800（部），
答：该厂三月份生产手机为 1800 部；
（3） 360∘×30%=108∘，
答：图 ② 中一月份圆心角的度数为 108∘．
21. （1） 13；
【解析】随机地抽取一张，所有可能出现的结果有 3 个，每个结果发生的可能性都相等，其中卡片上的数字为偶数的结果有 1 个．故从袋中任意抽取一张卡片，则抽出的是偶数的概率为：13；
（2） 树状图法
由树状图可知，构成的两位数共有 6 个，
分别是：12，13，21，23，31，32，
其中是奇数的为：13，21，23，31 共 4 个，
∴ P奇数=46=23．
22. （1） 设切去的小正方形的边长为 x cm．
根据题意，得：
280−2x160−2x=16000,
化简整理，得：
x2−220x+7200=0,
解得
x=40或x=180舍去.
答：切去的小正方形边长为 40 cm．
（2） 在（1）的条件下，水箱的容积=16000×40=640000 cm3．
640000÷1000=640（升）
答：这时水量为 640 升．
23. （1） 30∘
（2） 有最大值，理由：
∵ △OPC 的边 OC 是定值，
∴ 当 OC 边上的高为最大值时，△OPC 的面积最大，而点 P 在 ⊙O 上半圆上运动，
当 PO⊥OC 时，取得最大值，即此时 OC 边上的高最大，也就是高为半径长．
S△OPC=12×6×3=9 .
（3） 连接 AP，BP，如图2，
在 △OAP 与 △OBD 中，
∵ OA=OD∠AOP=∠BODOP=OB,
∴ △OAP≌△OBDSAS，
∴ AP=DB，
∵ PC=DB，
∴ AP=PC，
∵ PA=PC，
∴ ∠A=∠C，
∵ BC=12AB=OB，
∴ CO=OB+OB=AB，
在 △APB 和 △CPO 中，
∵ AP=CP∠A=∠CAB=CO,
∴ △APB≌△CPOSAS，
∴ ∠CPO=∠APB，
∵ AB 为直径，
∴ ∠APB=90∘，
∴ ∠CPO=90∘，
∴ PC 切 ⊙O 于点 P，即 CP 是 ⊙O 的切线．
24. （1） △ABC 是直角三角形．理由如下：
因为 OC2=OA⋅OB，
所以 OCOB=OAOC，
又因为 ∠BOC=∠COA=90∘，
所以 Rt△BOC∽Rt△COA，
所以 ∠OCB=∠OAC；
又因为 ∠OCA+∠OAC=90∘，
所以 ∠OCA+∠OCB=90∘，
即 ∠ACB=90∘，
所以 △ABC 是直角三角形．
（2） 因为抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，
所以方程 −x2+ax+b=0 有两个不同的实数根．
设这两个根分别 x1，x2，且 x10，
得 A，B 两点的坐标分别为 Ax1,0，Bx2,0．
由根与系数的关系，有 x1+x2=a，x1⋅x2=−b．
对于抛物线 y=−x2+ax+b，当 x=0 时，y=b，
所以 C 点的坐标为 C0,b；
由已知条件 OC2=OA⋅OB，
得 b2=−x1⋅x2，即 b2=−x1⋅x2，
所以 b2=b，
因为点 C 在 y 轴的正半轴上，
所以 b>0，从而得 b=1．
因为 tanα=OBOC，tanβ=OAOC，
由 tanα−tanβ=2，得 OBOC−OAOC=2，
即 OB−OA=2OC，得 x2−−x1=2b，x2+x1=2b，
即 a=2b，
所以 a=2．
所以抛物线的解析式为：y=−x2+2x+1．
（3） 由抛物线的解析式 y=−x2+2x+1 配方得：y=−x−12+2，
所以其顶点 P 的坐标为 P1,2．
解方程 −x2+2x+1=0，得 x1=1−2，x2=1+2，
所以 A1−2,0，B1+2,0．
过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，
则所以
S四边形ABPC=S△OAC+S梯形COFP+S△PFB=12OA⋅OC+12OC+PF⋅OF+12FB⋅PF=122−1×1+121+2×1+121+2−1×2=2+322;
即四边形 ABPC 的面积为 2+322．
25. （1） 如图所示：
（2） 方法1：设 ⊙O 为 △BCD 的外接圆，连接 OB，OD．
由切线的性质，知 ∠ABO=90∘．
∵ ∠ACB=45∘，
∴ ∠BOD=90∘（在同圆或者等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
∵ OB=OD，
∴ ∠OBD=∠ODB=45∘．
∵ ∠ABO=90∘，
∴ ∠ABD=45∘，
∴ ∠A=180∘−∠ABD−∠ADB=180∘−45∘−60∘=75∘.
【解析】方法2：设 ⊙O 为 △BCD 的外接圆，连接 OB，OC．
由切线的性质，知 ∠ABO=90∘．
∵ ∠ADB=60∘，
∴ ∠CDB=120∘．
∵ ∠CDB 为圆周角，
∴ 其所对的圆心角为 240∘，
∴ ∠BOC=360∘−240∘=120∘．
∵ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB=12180∘−120∘=30∘，
∴ ∠ABC=90∘−30∘=60∘，
∴ ∠A=180∘−45∘−60∘=75∘．
（3） 过点 B 作 BE⊥AC，垂足为 E．
在 Rt△BCE 中，
∵ ∠ACB=45∘，
∴ ∠EBC=45∘，
∴ BE=CE．
在 Rt△BDE 中，
∵ ∠DBE=90∘−∠EDB=30∘，
∴ BD=2DE，设 DE=x，则 BD=2x，
∴ BE=BD2−DE2=3x，
∴ DC=CE−DE=BE−DE=3−1x，AE=AD−DE=AD−x．
在 △ABC 和 △ADB 中，
∵ ∠ACB=∠ABD=45∘，∠A 为公共角，
∴ △ABC∽△ADB，
∴ ABAD=ACAB，
∴ AB2=AC⋅AD，即 AB2=AD+DC⋅AD=AD2+AD⋅3−1x. ⋯⋯①
在 Rt△ABE 中，由勾股定理；得 AB2=AE2+BE2=AD−x2+3x2. ⋯⋯②
综合 ①②，得 AD2+AD⋅3−1x=AD−x2+3x2，化简整理，得 AD=23−1x，
∴ ADDC=23−1x3−1x=2．