2019年广州市黄埔区中考数学一模试卷

这是一份2019年广州市黄埔区中考数学一模试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 16 等于
A. −4B. 4C. ±4D. 256

2. cs30∘ 的值是
A. 22B. 33C. 12D. 32

3. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是
A. 圆锥B. 圆柱C. 球D. 三棱柱

4. 下列四个等式，正确的是
A. 3a3⋅2a2=6a6B. 3x2⋅4x2=12x2C. 2x2⋅3x2=6x4D. 5y3⋅3y5=15y15

5. 据统计，某校某班 30 名同学 3 月份最后一周每天按时做数学“小测题”的学生数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是
A. 25 和 30B. 25 和 29C. 28 和 30D. 28 和 29

6. 下列对二次函数 y=x2+x 的图象的描述，正确的是
A. 对称轴是 y 轴B. 开口向下
C. 经过原点D. 顶点在 y 轴右侧

7. 我校举行春季运动会系列赛中，九年级（1）班、（2）班的竞技实力相当，关于比赛结果，
甲同学说：（1）班与（2）班的得分为 6:5；
乙同学说：（1）班的得分比（2）班的得分的 2 倍少 40 分；
若设（1）班的得分为 x 分，（2）班的得分为 y 分，根据题意所列方程组应为
A. 6x=5y,x=2y−40B. 6x=5y,x=2y+40C. 5x=6y,x=2y+40D. 5x=6y,x=2y−40

8. 已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是
A. ∠A=∠BB. ∠A=∠CC. AC=BDD. AB⊥BC

9. 随着“互联网 +”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢迎．打车总费用 y（单位：元）与行驶里程 x（单位：千米）的函数关系如图所示．如果小明某次打车行驶里程为 22 千米，则他的打车费用为
A. 33 元B. 36 元C. 40 元D. 42 元

10. 如图，在正方形 ABCD 中，M，N 是对角线 AC 上的两个动点，P 是正方形四边上的任意一点，且 AB=4，MN=2，设 AM=x，在下列关于 △PMN 是等腰三角形和对应 P 点个数的说法中，
①当 x=0（即 M，A 两点重合）时，P 点有 6 个；
②当 P 点有 8 个时，x=22−2；
③当 △PMN 是等边三角形时，P 点有 4 个；
④当 0其中结论正确的是
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 不等式 3x−1>0 的解集是 ．

12. 方程 1x+1=x2x+1 的根是 ．

13. 如果一次函数 y=kx−2（k 是常数，k≠0）的图象经过点 2,0，那么 y 的值随 x 的增大而 （填“减小”或“增大”）．

14. 在三角形 ABC 中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，G 是重心，则 GD= ．

15. 在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的高，BC=12，AD=8．正方形 EFGH 的顶点 E，F 分别在 AB，AC 上，H，G 在 BC 上．那么正方形 EFGH 的边长是 ．

16. 如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的 ⊙O 上滑动（点 C，D 与点 A，B 不重合），M 是 CD 的中点，过点 C 作 CP⊥AB 于点 P，若 CD=3，AB=8，PM=l，则 l 的最大值是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：
（1）12−1+π−3.140+3−8；
（2）tan260∘+2cs45∘2sin260∘−cs60∘．

18. 已知 x2a2+y2b2=1a>b>0,⋯⋯①x=my+nm≠0,n≠0.⋯⋯② 求证：a2+b2m2y2+2mnb2y+n2−a2b2=0．

19. 如图，已知 △ABC 中，AB=BC=5，tan∠ABC=34．
（1）利用直尺和圆规作线段 BC 的垂直平分线，交 AB 于点 D，交 BC 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求 BD．

20. 在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过点 A−5,85 与点 B−2,m，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0，经过原点 O，顶点是 B−2,m，且与 x 轴交于另一点 Cn,0．
（1）求反比例函数的解析式与 m 的值；
（2）求抛物线的解析式与 n 的值．

21. 如图，圆 O 的半径为 1，六边形 ABCDEF 是圆 O 的内接正六边形，从 A，B，C，D，E，F 六点中任意取两点，并连接成线段．
（1）求线段长为 2 的概率；
（2）求线段长为 3 的概率．

22. 某商店订购了A，B两种商品，A商品 28 元/千克，B商品 24 元/千克，若B商品的数量比A商品的 2 倍少 20 千克，购进两种商品共用了 2560 元，求两种商品各多少千克?

23. 如图，已知在 ⊙O 中，AB 是 ⊙O 的直径，AC=8，BC=6．
（1）求 ⊙O 的面积；
（2）若 D 为 ⊙O 上一点，且 △ABD 为等腰三角形，求 CD 的长．

24. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AD，BC 的延长线交于点 E，F 是 BD 延长线上一点，∠CDE=12∠CDF=60∘．
（1）求证：△ABC 是等边三角形；
（2）判断 DA，DC，DB 之间的数量关系，并证明你的结论．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于 A−3,0，点 B1,0 两点，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 P 是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点 P 的横坐标为 t，连接 PA，PC，AC．
①求 △ACP 的面积 S 关于 t 的函数关系式；
②求 △ACP 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. B【解析】16=4．
2. D【解析】cs30∘=32．
3. A【解析】由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．
主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥．
4. C【解析】A．3a3⋅2a2=6a5，本选项错误；
B．3x2⋅4x2=12x4，本选项错误；
C．2x2⋅3x2=6x4，本选项正确；
D．5y3⋅3y5=15y8，本选项错误．
5. D
【解析】将这组数据重新排列为 25，26，27，28，29，29，30，
则这组数据的中位数为 28，众数为 29．
6. C【解析】∵ 二次函数 y=x2+x=x+122−14，a=1，
∴ 对称轴是直线 x=−12，故选项A错误；
该函数图象开口向上，故选项B错误；
当 x=0 时，y=0，即该函数图象过原点，故选项C正确；
顶点坐标是 −12,−14，故选项D错误．
7. D【解析】设（1）班得 x 分，（2）班得 y 分，由题意得 5x=6y,x=2y−40.
8. B【解析】A．∠A=∠B，∠A+∠B=180∘，
∴∠A=∠B=90∘，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B．∠A=∠C 不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C．AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形 ABCD 是矩形，故正确；
D．AB⊥BC，
∴∠B=90∘，可以判定这个平行四边形为矩形，正确．
9. C【解析】当行驶里程 x≥8 时，设 y=kx+b，
将 8,12，11,18 代入，得：8k+b=12,11k+b=18, 解得：k=2,b=−4,
∴y=2x−4，当 x=22 时，y=2×22−4=40，
∴ 如果小明某次打车行驶里程为 22 千米，则他的打车费用为 40 元．
10. B
【解析】①如图，当 x=0（即 M，A 两点重合）时，P 点有 6 个，故正确；
②当 P 点有 8 个时，当 0③如图，当 △PMN 是等边三角形时，P 点有 4 个，故正确；
④当 0第二部分
11. x>13
【解析】3x−1>0，3x>1，x>13．
12. x=1
【解析】去分母得：x2=1，
解得：x=1 或 x=−1，
经检验 x=−1 是增根，分式方程的解为 x=1．
13. 增大
【解析】将点 2,0 代入 y=kx−2，
∴k=1，
∴y 的值随 x 的增大而增大．
14. 53
【解析】∵ 在三角形 ABC 中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵D 是 AB 的中点，
∴CD=12AB=5．
∵D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，G 是重心，
∴GD=13CD=53．
15. 4.8
【解析】∵ 四边形 EFGH 是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
又 ∵AD⊥BC，
∴AD⊥BC，EF=HG=EH，
∴AKAD=EFBC，
设 EH=x，则 AK=8−x，
∴8−x8=x12，解得：x=4.8，
∴EH=4.8．
∴ 这个正方形的边长为 4.8．
16. 4
【解析】连接 CO，MO．
∵∠CPO=∠CMO=90∘，
∴C，M，O，P 四点共圆，且 CO 为直径（E 为圆心），
连接 PM，则 PM 为 ⊙E 的一条弦，当 PM 为直径时 PM 最大，
∴PM=CO=4 时 PM 最大，即 PMmax=4．
第三部分
17. （1） 原式=2+1−2=1.
（2） 原式=32+2×222×322−12=3+232−12=3+2.
18. 把 ② 代入 ①，得 my+n2a2+y2b2=1，
∴b2m2y2+2mny+n2+a2y2=a2b2，
∴m2b2y2+2mnb2y+n2b2+a2y2−a2b2=0，
∴a2+b2m2y2+2mnb2y+n2−a2b2=0．
19. （1） 如图，DE 为所作．
（2） ∵DE 垂直平分 BC，
∴DE=CE=12BC=52，DE⊥BC，
在 Rt△BDE 中，tanB=DEBE=34，
∴DE=34×52=158，
∴BD=522+1582=258．
20. （1） 将 A−5,85 代入 y=kx 得：k=−8．
∴ 反比例函数的关系式为 y=−8x．
把 B−2,m 代入得：m=−8−2=4，
∴m=4．
因此反比例函数的关系式为：y=−8x，m=4．
（2） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 过原点 O0,0，顶点是 B−2,4，
∴c=0,−b2a=−2,4ac−b24a=4, 解得：a=−1,b=−4,c=0,
∴ 抛物线为：y=−x2−4x；
当 y=0 时，即 −x2−4x=0，解得：x1=0，x2=−4，
∴C−4,0，即 n=−4．
因此抛物线的解析式为 y=−x2−4x；n=−4．
21. （1） 连接 AE，过点 F 作 FN⊥AE 于点 N，如图 1 所示：
∵ 圆 O 的半径为 1，六边形 ABCDEF 是圆 O 的内接正六边形，
∴∠AOB=360∘6=60∘，OA=OB=1，∠AFE=120∘，AD=2，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OA=AB=BC=CD=DE=EF=AE=1，
∴∠FAE=30∘，
∴AN=32，
∴AE=3，
同理：AC=3，
画树状图如图 2 所示：
共有 30 个等可能的结果，线段长为 2 的结果有 6 个，
∴ 线段长为 2 的概率为 630=15．
（2） 由树状图可知，共有 30 个等可能的结果，线段长为 3 的结果有 12 个，
∴ 线段长为 3 的概率为 1230=25．
22. 设该商店购进A商品 x 千克，购进B商品 y 千克．
依题意，得：
2x−y=20,28x+24y=2560.
解得：
x=40,y=60.
答：该商店购进A商品 40 千克，购进B商品 60 千克．
23. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘．
∴AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∴⊙O 的面积 =π×52=25π．
（2） 作直径 DDʹ⊥AB，BH⊥CD 于 H，如图，
则 AD=BD，
∴AD=BD，∠ACD=∠BCD=45∘，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴△ADB 为等腰直角三角形，
∴DB=22AB=52，
易得 △BCH 为等腰直角三角形，
∴CH=BH=22BC=32，
在 Rt△BDH 中，DH=522−322=42，
∴CD=CH+DH=32+42=72，
∵DDʹ 是 ⊙O 的直径，
∴∠DCDʹ=90∘，
∴CDʹ=102−722=2．
综上所述，CD 的长为 2 或 72．
24. （1） ∵∠CDE=12∠CDF=60∘，
∴∠CDE=∠EDF=60∘，
∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，
∴∠CDE=∠ABC=60∘，
由圆周角定理得 ∠ACB=∠ADB=∠EDF=60∘，
∴△ABC 是等边三角形．
（2） DA+DC=DB．
理由如下：在 BD 上截取 PD=AD，
∵∠ADP=60∘，
∴△APD 为等边三角形，
∴AD=AP，∠APD=60∘，
∴∠APB=120∘，
∵∠CDE=12∠CDF=60∘，
∴∠ADC=120∘=∠APB，
由圆周角定理得 ∠ABP=∠ACD，
在 △APB 和 △ADC 中，
∠APB=∠ADC,∠ABP=∠ACD,AP=AD,
∴△APB≌△ADCAAS，
∴BP=CD，
∴BD=BP+PD=CD+AD．
25. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于 A−3,0，点 B1,0 两点，
∴−9−3b+c=0,−1+b+c=0, 解得：b=−2,c=3,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2−2x+3．
（2） ①设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，
∴−3k+b=0,b=3, 解得：k=1,b=3,
∴ 直线 AC 的解析式为 y=x+3，
过点 P 作 PQ∥y 轴交直线 AC 于点 Q，
设 Pt,−t2−2t+3，Qt,t+3，
∴PQ=−t2−2t+3−t−3=−t2−3t，
∴S=S△PQC+S△PQA=12PQ⋅OA=12×3×−t2−3t=−32t2−92t.
② ∵S=−32t+322+278，
∴t=−32 时，△ACP 的面积最大，最大值是 278．
此时 P 点坐标为 −32,154．