2019年天津市南开区中考一模数学试卷

这是一份2019年天津市南开区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 (−6)÷(−2) 的结果是 ( )
A. 3B. −3C. 4D. −4

2. 3tan60∘ 的值为 ( )
A. 36B. 3C. 332D. 33

3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.

4. 2018 年 10 月 23 日，港珠澳大桥正式开通，它是中国乃至当今世界规模最大、标准最高、最具挑战性的跨海桥梁工程，被誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，仅主体工程的主梁钢板用量就达 42000 万千克，相当于 60 座埃菲尔铁塔的重量．这里的数据 42000 万可用科学记数法表示为 ( )
A. 42×107B. 4.2×108C. 4.2×109D. 0.42×109

5. 如图是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图是 ( )
A. B.
C. D.

6. 如果实数 a=29−3，那么 a 的值在 ( )
A. 5 和 6 之间B. 4 和 5 之间C. 3 和 4 之间D. 2 和 3 之间

7. 化简 a2a−1−1−2a1−a 的结果为 ( )
A. a+1a−1B. a−1C. aD. 1

8. 方程 x2−4x=0 的解是 ( )
A. x=4B. x1=1，x2=4C. x1=0，x2=4D. x=0

9. 如图，反比例函数 y=kx 的图象经过点 A(4,1)，当 y<1 时，x 的取值范围是 ( )
A. x<0 或 x>4B. 04

10. 如图 1，点 P 从 △ABC 的顶点 A 出发，沿 A−B−C 匀速运动，到点 C 停止运动．点 P 运动时，线段 AP 的长度 y 与运动时间 x 的函数关系如图 2 所示，其中 D 为曲线部分的最低点，则 △ABC 的面积是 ( )
A. 10B. 12C. 20D. 24

11. 如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A，B 在 ⊙O 上，顶点 C，D 在 ⊙O 内，将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，使点 D 落在 ⊙O 上，若正方形 ABCD 的边长和 ⊙O 的半径均为 6 cm，则点 D 运动的路径长为
A. 2π cmB. 32π cmC. π cmD. 12π cm

12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A，B 两点，点 A 在点 B 左侧，顶点在折线 M−P−N 上移动，它们的坐标分别为 M(−1,4)，P(3,4)，N(3,1)．若在抛物线移动过程中，点 A 横坐标的最小值为 −3．则 a−b+c 的最小值是 ( )

A. −15B. −12C. −4D. −2

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 a9a3 的结果等于 ．

14. 将 3x3−6x2+3x 分解因式，其结果为 ．

15. 有一个反比例函数的图象，在第二象限内函数值随着自变量的值增大而增大，这个函数的表达式可能是（写出一个即可）： ．

16. 箱子里放有 2 个黑球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为 1 个黑球和 1 个红球的概率是 ．

17. 如图， O 为矩形 ABCD 对角线 AC ， BD 的交点， AB=6 ， M ， N 是直线 BC 上的动点，且 MN=2 ，则 OM+ON 的最小值是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，是大小相等的边长为 1 的正方形构成的网格，A，C，M，N 均为格点，AN 与 CM 交于点 P．
（1）MP:CP 的值为 ．
（2）现只有无刻度的直尺，请在给定的网格中作出一个格点三角形，要求：
① 三角形中含有与 ∠CPN 大小相等的角；
② 可借助该三角形求得 ∠CPN 的三角函数值，请并在横线上简单说明你的作图方法．

19. 解不等式组 1−1+x2≥−x, ⋯⋯①3(x+1)<2x+5. ⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 某校九年级有 900 名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次参加跳绳测试的学生人数为 ，图 ① 中 m 的值为 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中，成绩超过 3 分的学生有多少人?

21. 已知：如图 1，在 ⊙O 中，直径 AB=4，CD=2，直线 AD，BC 相交于点 E．
（1）∠E 的度数为 ；
（2）如图 2，AB 与 CD 交于点 F，请补全图形并求 ∠E 的度数；
（3）如图 3，弦 AB 与弦 CD 不相交，求 ∠AEC 的度数．

22. 如图，建筑物的高 CD 为 103 m．在其楼顶 C，测得旗杆底部 B 的俯角 α 为 60∘，旗杆顶部 A 的仰角 β 为 20∘，请你计算：
（1）建筑物与旗杆的水平距离 BD；
（2）旗杆的高度．（sin20∘≈0.342，tan20∘≈0.364，cs20∘≈0.940，3≈1.732，结果精确到 0.1 米）

23. 某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优恵凭证不能顶替货款），花 300 元买这种卡后，卡可在这家商场按标价的 8 折购物．若不够卡购物和使用优惠卡购物分别视为方式一购物和方式二购物，且设顾客购买商品的金额为 x 元．
（1）根据题意，填写下表：
商品金额(元)3006001000⋯x方式一的总费用(元)3006001000⋯ 方式二的总费用(元)540 ⋯
（2）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等?
（3）小张要买一台标价为 3500 元的冰箱，如何购买合算?小张能节省多少元钱?
（4）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果该商场还能盈利 25%，那么这台冰箱的进价是多少元?

24. 已知在平面直角坐标系中，Rt△AOB 的两个顶点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，且 ∠OBA=30∘，AB=4．将 Rt△AOB 绕点 A 顺时针方向旋转得 △ADC．
（1）如图 1 所示，若旋转过程中，O 点的对应点（点 D）恰好落在斜边 AB 上时，求点 C 的坐标；
（2）在（1）的条件下，连接 BC．点 M，N 同时从点 A 出发，在 △ABC 边上运动，点 M 以每秒 32 个单位的速度沿 A−C−B 路径匀速运动，点 N 以每秒 1 个单位的速度沿 ABC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止．
① 设运动过程中点 M 的坐标为 (x,y)，写出 y 与 x 的关系式，M 在 AC 边上时，写出自变量 x 的取值范围；
② 设运动的时间为 t 秒，设 △AMN 的面积为 S，求当 t 为何值时 S 取得最大值?最大值为多少?

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=19x2+bx 经过点 A−3,4．
（1）求 b 的值；
（2）过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 B，在直线 AB 上任取一点 P，作点 A 关于直线 OP 的对称点 C；
①当点 C 恰巧落在 x 轴上时，求直线 OP 的表达式；
②连接 BC，求 BC 的最小值．
答案
第一部分
1. A【解析】(−6)÷(−2)=3．
2. D【解析】3tan60∘=3×3=33．
3. B【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
4. B【解析】这里的数据 42000 万可用科学记数法表示为 4.2×108．
5. A
【解析】从左边看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形．
6. D【解析】∵5<29<6，
∴2<29−3<3．
7. B【解析】原式=a2a−1+1−2aa−1=(a−1)2a−1=a−1.
8. C【解析】∵x2−4x=0，
∴x(x−4)=0，
∴ 方程的解：x1=0，x2=4．
9. A【解析】∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过 A(4,1)，
∴ 当 y<1 时，x<0 或 x>4．
10. B
【解析】根据图象可知，点 P 在 AB 上运动时，此时 AP 不断增大，
由图象可知：点 P 从 A 向 B 运动时，AP 的最大值为 5，即 AB=5，
点 P 从 B 向 C 运动时，AP 的最小值为 4，即 BC 边上的高为 4，
∴ 当 AP⊥BC，AP=4，
此时，由勾股定理可知：BP=3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PC=3，
∴BC=6，
∴△ABC 的面积为：12×4×6=12．
11. C【解析】设圆心为 O，连接 AO，BO，AC，AE，OF，
∵AB=6，AO=BO=6，
∴AB=AO=BO，
∴ 三角形 AOB 是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60∘，
同理：△FAO 是等边三角形，∠FAB=2∠OAB=120∘，
∴∠EAC=120∘−90∘=30，
∵AD=AB=6，
∴ 点 D 运动的路径长为：30⋅π⋅6180=π．
12. A【解析】由题意得：当顶点在 M 处，点 A 横坐标为 −3，
则抛物线的表达式为：y=a(x+1)2+4，
将点 A 坐标 (−3,0) 代入上式得：0=a(−3+1)2+4，
解得：a=−1，
当 x=−1 时，y=a−b+c，
顶点在 N 处时，y=a−b+c 取得最小值，
顶点在 N 处，抛物线的表达式为：y=−(x−3)2+1，
当 x=−1 时，y=a−b+c=−(−1−3)2+1=−15．
第二部分
13. a6
【解析】原式=a6⋅a3a3=a6．
14. 3x(x−1)2
【解析】3x3−6x2+3x=3x(x2−2x+1)=3x(x−1)2．
15. y=−2x
【解析】∵ 反比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0），在其图象所在的每一个象限内，y 的值随着 x 的值的增大而增大，
∴k<0，
∴y=−2x．
16. 23
17. 210
【解析】如图，过点 O 作 OH⊥BC 于点 H ，
当点 M ， N 关于 OH 对称时， OM+ON 的值最小，
矩形 ABCD 中， CO=OA ， AB⊥BC ， OH∥AB ，
COOA=CHHB ，
∴CH=HB ，
∴OH=12AB ，
∵AB=6 ，
∴OH=3 ，
∵MN=2 ， MH=NH ，
∴OM+ON=OH2+MH2+OH2+NH2=32+12+32+12=210.
第三部分
18. （1） 2:3
【解析】如图，延长 AN 到 H，使得 NH=NA，连接 CH．
则 CH∥AM，可得：MP:PC=AM:CH=2:3，故答案为 2:3．
（2） △MCD 如图所示．
易知：CD∥AN，可得 ∠DCM=∠CPN，
因为 △CDM 是等腰直角三角形，
所以 ∠DCM=45∘，
所以 △DCM 符合条件．
19. （1） x≥−1
（2） x<2
（3）
（4） −1≤x<2
20. （1） 50；10
【解析】本次参加跳绳的学生人数是 10+5+25+10=50（人），
m=100×550=10．
（2） 平均数是：150(10×2+5×3+25×4+10×5)=3.7（分），
众数是：4 分；中位数是：4 分．
（3） 该校九年级跳绳测试中成绩超过 3 分的学生有 900×(50%+20%)=630（人）．
21. （1） 60∘
【解析】如图 1，连接 OD，OC，BD，
∵OD=OC=CD=2，
∴△DOC 为等边三角形，
∴∠DOC=60∘，
∴∠DBC=30∘，
∴∠EBD=30∘，
∵AB 为直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠E=90∘−30∘=60∘，
∠E 的度数为 60∘．
（2） 如图 2，直线 AD，CB 交于点 E，连接 OD，OC，AC．
∵OD=OC=CD=2，
∴△DOC 为等边三角形，
∴∠DOC=60∘，
∴∠DAC=30∘，
∴∠EBD=30∘，
∵AB 为直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠E=90∘−30∘=60∘．
（3） 如图 3，连接 OD，OC，
∵OD=OC=CD=2，
∴△DOC 为等边三角形，
∴∠DOC=60∘，
∴∠CBD=30∘，
∴∠ADB=90∘，
∴∠BED=60∘，
∴∠AEC=60∘．
22. （1） 由题意四边形 CDBE 是矩形，
∴CE=BD，BE=CD=103 m，
在 Rt△BCE 中，∠BEC=90∘，tanα=????，
∴CE=1033=10（m），
∴BD=CE=10（m）．
（2） 在 Rt△ACE 中，∠AEC=90∘，tanβ=????，
∴AE=10⋅tan20∘，
∴AB=AE+BE=10×0.364+10×1.732≈21.0（m）．
23. （1） x；780；1100；300+0.8x
【解析】方式一购物：当商品金额为 x 元时，方式一的总费用为：x（元），
方式二购物：当商品金额为 600 元时，总费用为：600×0.8+300=780（元），
当商品金额为 1000 元时，总费用为：1000×0.8+300=1100（元），
当商品金额为 x 元时，总费用为：300+0.8x（元）．
（2） 根据题意得：
300+0.8x=x.
解得：
x=1500.
答：顾客购买 1500 元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等．
（3） 根据题意得：
方式一购物的总费用为：y1=x，
方式二购物的总费用为：y2=300+0.8x，
当 x=3500 时，y1=x=3500（元），y2=300+0.8x=300+3500×0.8=3100（元），
∴y1−y2=3500−3100=400（元），
答：小张买卡（方式二购物）合算，能节省 400 元钱．
（4） 设这台冰箱的进价为 a 元，
根据题意得：3100−a=25%a，
解得：a=2480，
答：这台冰箱的进价是 2480 元．
24. （1） 如图 1，过 C 作 CE⊥x轴 于 E，
∵Rt△AOB 中 ∠OBA=30∘，AB=4，
∴∠OAB=60∘，OA=12AB=2，
∵ 旋转后 O 点的对应点（点 D）恰好落在斜边 AB 上，
∴∠BAO=60∘，AC=AB=4，
在 Rt△AEC 中，∠CAE=180∘−∠OAB−∠BAC=60∘，
∴AE=AC⋅cs∠CAE=4×12=2，CE=AC⋅sin∠CAE=4×32=23，
∴OE=OA+AE=4，
∴C(4,23)．
（2） ① 当点 M 在 AC 边上时，
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，
∵ 点 A(2,0) 和点 C(4,23) 在直线 AC 上，
∴23=4k+b,0=2k+b,
解得：k=3,b=−23,
∴y 与 x 的关系式为 y=3x−23(2≤x≤4)；
②（I）如图 2，当 0过 N 作 NE⊥AC 于 E，
则 NE=AN⋅sin60∘=32t，
S△AMN=12AM⋅NE=12×32t×32t=338t2，
当 t=38 时，S△AMN最大=338×832=833；
（II）如图 3，点 83过 M 作 MH⊥AB 于 H，则 BM=8−32t，MH=BM⋅sin60∘=328−32t，
∴S△AMN=12AN⋅MH=12t×328−32t=−338t2+23t，
当 t=83 时，S△AMN 取得最大值，
∴ 当 83（III）如图 4，当 4过 A 作 AG⊥BC 于 G，则 MN=12−52t，AG=CE=23，
S△AMN=12MN⋅AG=1212−52t×23=123−532t，
当 t=4 时，S△AMN最大=123−532×4=23，
∴ 当 4综上所述，当 t=83 时，S 取得最大值，S最大=833．
25. （1） ∵ 抛物线 y=19x2+bx 经过点 A−3,4，
代入 y=19x2+bx，则 4=19×9+b×−3，
∴b=−1．
（2） ①由对称性可知 OA=OC，AP=CP，
∵AP∥OC，
∴∠1=∠2，
又 ∵∠AOP=∠2，
∴∠AOP=∠1，
∴AP=AO，
∵A−3,4，
∴AO=5，
∴AP=5，
∴P12,4，
同理可得 P2−8,4，
∴OP 的表达式为 y=2x 或 y=−12x．
②以 O 为圆心，OA 长为半径作 ⊙O，连接 BO，交 ⊙O 于点 C，
∵B12,4，
∴OB=410，
∴BC 的最小值为 410−5．