2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷（word版 含答案）

这是一份2021年广东省广州市白云区中考数学一模试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．C．3D．
2．在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，得到点，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，，是上一点，，，垂足为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（ ）
A．160B．165C．170D．175
7．如图摆放一副三角尺，，点在上，点在的延长线上，，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．关于的方程（为常数）无实数根，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．菱形的对角线，相交于点，且，，则四边形是（ ）
A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形
10．设函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
二、填空题
11．化简：=______．
12．分解因式： =____
13．方程组的解是 ．
14．如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出，，然后沿剪下一个，展开后得到一个四边形，则这个四边形的周长为___．
15．如图，从一块直径为6的圆形铁皮上裁出一个圆心角为的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是___．
16．如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边在轴正半轴上，点在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的2倍（即），得到，同理，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到，…，依此规律，得到，则点的纵坐标为___．
三、解答题
17．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
18．如图，已知平分，．求证：．
19．已知．
（1）化简；
（2）是面积为5的正方形边长，求的值．
20．某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种票价对应的电影票分别为票和票．已知每张票的票价比票的票价少9元，且用312元购买票的张数与用420元购买票的张数相等．求每张票和票的票价各是多少元？
21．为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周，包括以下项目：①数学知识竞赛；②数学谜语；③数学手抄报；④数学计算接力赛；⑤数独游戏．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：
（1）本次随机抽查的学生人数为 人，补全图（Ⅰ）；
（2）该校共有800名学生，可估计出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 度；
（3）该校计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．
22．一次函数与反比例函数的图象都经过点．
（1）求的值；
（2）点，，，，都在反比例函数图象上，根据图象比较，，的大小．
23．如图，是四边形的外接圆，是的直径，，交的延长线于点，平分．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求点到的距离．
24．抛物线：（为常数）的顶点为．
（1）用表示点的坐标；
（2）经过探究发现，随着的变化，点始终在某一抛物线上，若将抛物线向右平移个单位后，所得抛物线顶点仍在抛物线上；
①平移距离是的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出的取值范围；如果不是，请说明理由；
②若在时，都有随的增大而增大，设抛物线的顶点为，借助图象，求直线与轴交点的横坐标的最小值．
25．不在射线上的点是边长为2的正方形外一点，且满足，以，为邻边作．
（1）如图，若点在射线上，请用尺规补全图形；
（2）若点不在射线上，且在AB的左侧，求的度数；
（3）设与交点为，当的面积最大时，求的值．
参考答案
1．C
【分析】
依据相反数的定义求解即可．
【详解】
解：-3的相反数是3．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．D
【分析】
根据向左平移横坐标减，可得结论．
【详解】
解：∵将点A（0，−1）向左平移2个单位长度，得到点B，
∴点B的横坐标为0-2=-2，纵坐标为−1，
∴B的坐标为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
3．D
【分析】
根据同底数幂的除法法则，完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方法则，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
A. ，故该选项错误，
B. ，故该选项错误，
C. 不是同类项，不能合并，故该选项错误，
D. ，故该选项正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的除法法则，完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方法则，熟练掌握上述法则，是解题的关键．
4．A
【分析】
根据题意可得该三棱柱的俯视图为三角形，进而问题可求解．
【详解】
解：由图可得三棱柱的俯视图为三角形，则其俯视图的内角和为180°；
故选A．
【点睛】
本题主要考查几何体的三视图及三角形内角和，熟练掌握几何体的三视图及三角形内角和是解题的关键．
5．C
【分析】
先证明△ADE∽△ABC，得出对应边成比例，即可求出AE的长．
【详解】
解：∵ED⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得：AE＝4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
6．B
【分析】
根据中位数的定义直接解答即可．
【详解】
解：把这些数从小到大排列，中位数是第8个数，
则这些运动员成绩的中位数为165cm．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
7．A
【分析】
由三角形内角和定理可知，∠DEF＝45°，∠ACB＝60°，再由平行线的性质可得，∠CEF＝60°，最后可得结论．
【详解】
解：∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝∠CEF−∠DEF＝15°．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目中的条件找到角之间的关系是解题关键，是一道比较简单的题目．
8．A
【分析】
关于x的方程无实数根，即判别式△＝b2−4ac＜0，即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．
【详解】
解：∵a＝1，b＝−2，c＝a，
∴△＝b2−4ac＝（−2）2−4×1×a＝4−4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a＋1）在第一象限，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的关于x的方程无实数根，即判别式△＝b2−4ac＜0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，进而得到结论．实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
9．B
【分析】
根据平行四边形的判定定理得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据矩形的判定定理证明即可．
【详解】
解：∵DE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，掌握有一个角是直角的平行四边行是矩形是解题的关键．
10．C
【分析】
首先根据k与x的取值分析函数，的增减性，根据增减性确定最值，进而求解．
【详解】
解：∵k＞0，2≤x≤3，
∴y1 随x的增大而减小，y2 随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1 取最大值，最大值为=a①；
当x＝2时，y2 取最小值，最小值为−＝a−4②；
由①②得a＝2，k＝4，
∴ak＝8，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，关键是能根据反比例函数的增减性确定最值．
11．．
【分析】
按照二次根式的性质化简二次根式即可．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，熟悉相关性质是解题的关键．
12．a（x+1）（x-1）
【分析】
所求代数式中含有公因数a，可先提取公因数，然后再运用平方差公式分解因式．
【详解】
原式=a（x2-1）=a（x+1）（x-1）．
【点睛】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行两次分解，注意要分解彻底．
13．
【详解】
运用加减消元法解方程组：
（1）+（2），得2x=4，解得x=2．
把x=2代入（1），得2+y=3，y=1．
∴原方程组的解为．
14．4
【分析】
直接利用折叠方法可得出展开的四边形是菱形，利用勾股定理求出AB，进而即可求解．
【详解】
解：由题意，四边形是菱形，
∵∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，
∴AB=
∴四边形的周长为4，
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了剪纸问题，正确得出展开的四边形是菱形是解题的关键．
15．
【分析】
连接BC，然后可得△ABC是等腰直角三角形，进而可得，然后可得扇形ABC的弧长，最后根据扇形的弧长与圆锥底面圆的周长之间的关系可进行求解．
【详解】
解：连接BC，如图所示：
∵，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC=6，
∴，
∴的长为，
∴圆锥底面圆的半径为；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查弧长计算公式及圆锥底面圆半径的求法，熟练掌握弧长计算公式及圆锥底面圆半径的求法是解题的关键．
16．3×22019
【分析】
根据余弦的定义求出OB，根据题意求出OBn，根据题意找出规律，根据规律解答即可．
【详解】
解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，
∴OB＝OA•cs∠AOB＝，
由题意得，OB1＝2OB＝×2，
OB2＝2OB1＝×22，……
OBn＝×2n＝×2n−1，
∵2021÷12＝168……5，
∴点B2021的纵坐标为：×22020×cs60°=×22020×＝3×22019，
故答案为：3×22019．
【点睛】
本题考查的是位似变换的性质、图形的变化规律、锐角三角函数的定义，正确得到图形的变化规律是解题的关键．
17．-1＜x≤2，数轴见详解
【分析】
先求出各个不等式的解，再取公共部分，最后在数轴上表示出来，即可．
【详解】
解：，
由①得：x≤2，
由②得：x＞-1，
∴不等式组的解为：-1＜x≤2，
数轴上表示如下：
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示解，熟练掌握“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，是解题的关键．
18．见详解
【分析】
根据AAS证明△ABD与△CBD全等．
【详解】
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（AAS）．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
19．（1）；（2）
【分析】
（1）根据多项式乘多项式及完全平方公式进行整式的运算即可；
（2）由题意易得，然后代入（1）中进行求解即可．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）由题意得：，把代入（1）中得：
．
【点睛】
本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算是解题的关键．
20．每张A票的票价是26元，则每张B票的票价为35元
【分析】
设每张A票的票价是x元，则每张B票的票价为（x＋9）元，根据“用312元购买A票的张数与用420元购买B票的张数相等”列出方程并解答．
【详解】
解：设每张A票的票价是x元，则每张B票的票价为（x＋9）元，
根据题意，得：，
解得：x＝26．
经检验x＝26是所列方程的解，且符合题意，
所以x＋9＝35．
答：每张A票的票价是26元，则每张B票的票价为35元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
21．（1）60，条形统计图见详解；（2）200，90；（3）
【分析】
（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校人数乘以最喜爱“①数学知识竞赛”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数，再1由360°乘以最喜爱“①数学知识竞赛”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%＝60（人），
则喜爱⑤数独游戏的人数为：60−15−18−9−6＝12（人），
故答案为：60，
补全图（Ⅰ）如下：
（2）估计该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为：800×＝200（人），
图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×＝90°，
故答案为：200，90；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，
∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为2÷12=．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22．（1）；（2）当时，；当时，．
【分析】
（1）把点代入反比例函数解析式求k的值，然后再代入一次函数解析式求b的值即可；
（2）由题意可分当时和当时进行分类讨论，然后再结合反比例函数的性质可进行求解．
【详解】
解：（1）把点代入反比例函数解析式可得：，
∴一次函数，
∴把点代入得：，
解得：；
（2）由（1）可得反比例函数解析式为，则有，
∴在每个分支上，y随x的增大而增大，
∴当时，如图，
∴由图象可得：；
当时，如图，
∴由图象可得：；
综上所述：当时，，当时，．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的性质及一次函数的性质是解题的关键．
23．（1）见详解；（2）3
【分析】
（1）连接OB，由题意易得∠OCB=∠OBC，∠ECB=∠ACB=∠OBC，进而可得∠OBC+∠EBC=90°，然后问题可求证；
（2）过点B作BF⊥AD于点F，由题意易证四边形EBFD是矩形，则有ED=BF，进而可得∠BAC=∠EBC=30°，然后由含30°的直角三角形的性质可进行求解．
【详解】
（1）证明：连接OB，如图所示：
∵是的直径，，
∴，
∴，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵平分，
∴∠ECB=∠ACB=∠OBC，
∴∠OBC+∠EBC=90°，即∠OBE =90°，
∵OB是半径，
∴是的切线；
（2）解：过点B作BF⊥AD于点F，如图所示：
由（1）可得，∠ECB=∠ACB=∠OBC，
∴四边形EBFD是矩形，
∴ED=BF，
∵，
∴∠ACB=2∠BAC，
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=30°，∠ECB=∠ACB=∠OBC =60°，
∴∠BAC=∠EBC=30°，
∵，
∴，
∴，
∵∠ECB=∠BAD=60°，
∴∠CAD=30°，
∴CD=2，
∴BF=ED=EC+CD=3．
∴点到的距离3．
【点睛】
本题主要考查切线的判定定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的判定定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．
24．（1）；（2）①平移距离是的函数，函数解析式为；②直线与轴交点的横坐标的最小值为．
【分析】
（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求解；
（2）①根据抛物线的平移可得出平移后的抛物线，并求出抛物线的顶点B，由抛物线的对称性可得出a和t之间的函数关系；②由题意可得出抛物线G的对称轴直线，并求出抛物线H的顶点C，联立，求出直线解析式，表达出直线AC与x轴的交点的横坐标，再求出它的最小值即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
，
∴顶点A的坐标为；
（2）由点A的坐标可知抛物线H的解析式为：，
抛物线G向右平移t个单位后的解析式为，
∴此时的定点，
①∵将抛物线向右平移个单位后，所得抛物线顶点仍在抛物线上，
∴，
整理得：，
∵，
∴，解得：，
∴平移距离是的函数，函数解析式为；
②由题意可得如图：
∵在时，都有随的增大而增大，
∴对称轴为直线，
∵抛物线H的解析式为：，
∴，
设直线AC的解析式为，代入点A，点C的坐标得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为，
当y=0时，则有，解得：，
∵，
∴当时，x有最小值，
∴直线与轴交点的横坐标的最小值为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
25．（1）见详解；（2）45°；（3）
【分析】
（1）以B为圆心，AB长为半径，画圆交CB于点P，连接AP，BD，即可；
（2）连接PB，QC，过点D作DH⊥DQ，交QC的延长线于点H，先证明四边形BCQP是平行四边形，再推出∠CQD=45°，从而得是等腰直角三角形，然后证明，进而即可得到结论；
（3）延长AB交PQ于点N，则AN⊥PQ，由题意得点P在以点M为圆心，AB为弦的圆上，当的面积最大时，则的面积最大，此时，点P在圆M的最下面，过点M作MH⊥AB，则AH=BH=1，四边形MPNH是矩形，进而即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）连接PB，QC，过点D作DH⊥DQ，交QC的延长线于点H，
∵在中，
∴AD=PQ，AD∥PQ，
∵在正方形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴PQ=BC，PQ∥BC，
∴四边形BCQP是平行四边形，
∴∠PQD+∠APQ=180°，∠QPB+∠PQC=180°，
又∵∠APB=∠APQ+∠BPQ=45°，
∴∠PQD+∠PQC=360°-45°=315°，
∴∠CQD=360°-（∠PQD+∠PQC）=360°-315°=45°，
∵DH⊥DQ，
∴是等腰直角三角形，
∴DQ=DH，
∵∠ADQ+∠CDQ=∠CDH+∠CDQ=90°，
∴∠ADQ=∠CDH，
又∵AD=CD，
∴，
∴∠AQD=∠H=45°，
∵AP∥DQ，
∴=45°；
（3）延长AB交PQ于点N，则AN⊥PQ，
∵，
∴点P在以点M为圆心，AB为弦的圆上，且∠AMB=2∠APB=90°，
∴MB=MA=AB=×2=，
∵当的面积最大时，则的面积最大，此时，点P在圆M的最下面，即：MP⊥PQ，
过点M作MH⊥AB，则AH=BH=1，四边形MPNH是矩形，
∴HN=MP=，AH=PN=MH=1
∴AN=+1，
延长DA、PM交于点G，则PG⊥DG，DG=2+1=3，PG=AN=+1，
∴=．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆的基本性质，锐角三角函数的定义，第（3）小题，添加辅助线，构造辅助圆，利用圆的性质，找出点P的位置，是解题的关键．