2019-2020学年北京市昌平区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市昌平区八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若分式 a+1a 的值等于 0，则 a 的值为
A. −1B. 1C. −2D. 2

2. 下列方程是关于 x 的一元二次方程的是
A. x+5y=2B. x2+5=2x
C. 3x2+x−5=3x2D. 3x+3x=7

3. 下列各式中与 3 是同类二次根式的是
A. 6B. 9C. 12D. 18

4. 下列各式正确的是
A. ab=abb2B. ab=a+cb+cC. ab=a2b2D. ab=a2ab

5. 袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有 10 cm，15 cm，20 cm 和 25 cm 四种规格，小朦同学已经取了 10 cm 和 15 cm 两根木棍，那么第三根木棍不可能取
A. 10 cmB. 15 cmC. 20 cmD. 25 cm

6. 正方体的体积为 7，则正方体的棱长为
A. 7B. 37C. 73D. 73

7. 将一副直角三角板如图放置，使含 30∘ 角的三角板的短直角边和含 45∘ 角的三角板的一条直角边对齐，则 ∠1 的度数为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘

8. 如果正整数 a，b，c 满足等式 a2+b2=c2，那么正整数 a，b，c 叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知 x+y 的值为
A. 47B. 62C. 79D. 98

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 x−1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

10. 如果一元二次方程 x2−3kx+k=0 的一个根为 x=−1，则 k 的值为 ．

11. 如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是 ．

12. 等腰三角形的周长为 20 cm，一边长为 6 cm，则底边长为 cm．

13. 如果一个无理数 a 与 8 的积是一个有理数，写出 a 的一个值是 ．

14. 已知 x，y 是实数，且满足 y=x−2+2−x+18，则 x⋅y 的值是 ．

15. 如图，已知点 D，E 分别是等边三角形 ABC 中 BC，AB 边的中点，BC=6，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF+EF 的最小值为 ．

16. 比较大小：（1）26 5；（2）6+7 22+5．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12−38−−22+∣3−1∣．

18. 解方程：x2+4x−5=0．

19. a2a−b+b2b−a．

20. 解方程：xx−3−3x2−9=1．

21. 已知：如图，E 是 BC 上一点，AB=EC，AB∥CD，BC=CD．求证：AC=ED．

22. 已知关于 x 的一元二次方程 2x2−3x−m=0．
（1）当 m=0 时，求方程的根；
（2）如果方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围．

23. 解答题：
（1）如图 1，在如下 6×6 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），画出一个面积为 17 的正方形；
（2）在如，2 所示的数轴上找到表示 −5 的点 A（保留画图痕迹）．

24. 先化简 x2−2x+1x2−x+x2−4x2+2x÷1x，再从 −2，−1，0，1，2 中选择一个合适的数代入求值．

25. 如图，已知线段 a 和 ∠EAF，点 B 在射线 AE 上．画出 △ABC，使点 C 在射线 AF 上，且 BC=a．
（1）依题意将图补充完整；
（2）如果 ∠A=45∘，AB=42，BC=5，求 △ABC 的面积．

26. “四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读．已知用 500 元购买《孟子》的数量和用 800 元购买《论语》的数量相同，《孟子》的单价比《论语》的单价少 15 元．求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元?

27. 如图，将 △ABC 分别沿 AB，AC 翻折得到 △ABD 和 △AEC，线段 BD 与 AE 交于点 F，连接 BE．
（1）如果 ∠ABC=16∘，∠ACB=30∘，求 ∠DAE 的度数；
（2）如果 BD⊥CE，求 ∠CAB 的度数．

28. 在同一平面内，若点 P 与 △ABC 三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点 P 是 △ABC 的巧妙点．
（1）如图 1，求作 △ABC 的巧妙点 P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图 2，在 △ABC 中，∠A=80∘，AB=AC，求作 △ABC 的所有巧妙点 P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出 ∠BPC 的度数是 ．
（3）等边三角形的巧妙点的个数有 ．
（A）2
（B）6
（C）10
（D）12
答案
第一部分
1. A【解析】∵ 分式 a+1a 的值等于 0，
∴a+1=0，
∴a 的值为：−1．
2. B【解析】A 、是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B 、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C 、化简后为 x−5，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D 、是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. C【解析】A、 6 与 3 不是同类二次根式，
B、 9=3 与 3 不是同类二次根式，
C、 12=23 与 3 是同类二次根式，
D、 18=32 与 3 不是同类二次根式．
故选：C．
4. A【解析】因为 b≠0，ab=a⋅bb⋅b=abb2，
所以选项A符合题意；
ab≠a+cb+c，
所以选项B不符合题意；
因为 ab≠a2b2，
所以选项C不符合题意；
因为 a＝0 时，ab=a2ab 不成立，
所以选项D不符合题意．
故选：A．
5. D
【解析】设第三根木棒的长为 x cm，
∵ 已经取了 10 cm 和 15 cm 两根木棍，
∴15−10 ∴ 四个选项中只有D不在其范围内，符合题意．
故选：D．
6. B
7. D【解析】因为 ∠2=90∘−45∘=45∘（直角三角形两锐角互余），
所以 ∠3=∠2=45∘，
所以 ∠1=∠3+30∘=45∘+30∘=75∘．
故选：D．
8. C【解析】由题可得，3=22−1，4=2×2，5=22+1，⋯⋯
∴a=n2−1，b=2n，c=n2+1，
∴ 当 c=n2+1=65 时，n=8，
∴x=63，y=16，
∴x+y=79，
故选：C．
第二部分
9. x≥1
【解析】若 x−1 在实数范围内有意义，
则 x−1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
10. −14
【解析】把 x=−1 代入方程 x2−3kx+k=0 得 1+3k+k=0，
解得 k=−14．
故答案为 −14．
11. ②，ASA
【解析】第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块不能配一块与原来完全一样的；
第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据 ASA 来配一块一样的玻璃．应带②去．
故答案为：②，ASA．
12. 6 或 8
【解析】① 6 cm 是底边时，腰长 =1220−6=7 cm，
此时三角形的三边分别为 7 cm，7 cm，6 cm，
能组成三角形，
② 6 cm 是腰长时，底边 =20−6×2=8 cm，
此时三角形的三边分别为 6 cm，6 cm，8 cm，
能组成三角形，
综上所述，底边长为 6或8 cm．
故答案为：6 或 8．
13. 2（答案不唯一）
【解析】a=2 时，
2×8＝4，
故答案为：2．（答案不唯一）
14. 12
【解析】因为 y=x−2+2−x+18，
所以 x−2≥0，2−x≥0，
所以 x=2，y=18，
则原式 =2×18=14=12，
故答案为：12．
15. 33
【解析】过 C 作 CE⊥AB 于 E，交 AD 于 F，连接 BF，则 BF+EF 最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于 C 和 B 关于 AD 对称，则 BF+EF=CF，
∵ 等边 △ABC 中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD 是 BC 的垂直平分线（三线合一），
∴C 和 B 关于直线 AD 对称，
∴CF=BF，
即 BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90∘，
在 △ADB 和 △CEB 中，∠ADB=∠CEB,∠ABD=∠CBE,AB=CB,
∴△ADB≌△CEBAAS，
∴CE=AD，
∵BC=6，
∴BD=3，
∴AD=33，
即 BF+EF=33．
故答案为：33．
16. <；>
【解析】（1）262=24，52=25，
因为 24<25，
所以 26<5．
（2）6+72=13+242，
22+52=13+240，
因为 13+242>13+240，
所以 6+7>22+5．
第三部分
17. 12−38−−22+∣3−1∣=23−2−2+3−1=33−5.
18. 原方程变形为
x−1x+5=0,
∴x1=−5,x2=1.
19. 原式=a2a−b−b2a−b=a+ba−ba−b=a+b.
20. xx−3−3x2−9=1，
去分母得：
xx+3−3=x2−9.
解得：
x=−2.
检验：把 x=−2 代入 x2−9=−5≠0，
故方程的解为 x=−2．
21. ∵AB∥CD，
∴∠B=∠DCE．
在 △ABC 和 △ECD 中，
AB=EC,∠B=∠DCE,BC=CD,
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
∴AC=ED．
22. （1） 把 m=0 代入方程中，得：2x2−3x=0，
x2x−3=0，
x1=0，x2=32．
故原方程的根为 x1=0，x2=32；
（2） ∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，
∴−32−4×2×−m>0，
∴m>−98，
∴m 的取值范围为 m>−98．
23. （1） 如图 1，正方形 ABCD 为所作；
（2） 如图 2，点 A 为所作．
24. 原式=x−12xx−1+x+2x−2xx+2÷1x=x−1x+x−2x÷1x=x−1+x−2x÷1x=2x−3x⋅x=2x−3.
当 x=2 时，原式=2×2−3=1.
25. （1） 如图，△ABC1，△ABC2 为所求．
（2） 过点 B 作 BD⊥AF 于 D．
∴∠ADB=90∘，在 △ABD 中，∠A=45∘，AB=42，
∴∠ABD=45∘，AD=BD．
∵AD2+BD2=AB2，
∴2AD2=422，
∴AD=4=BD，
由（1）作图可知：BC1=BC2=5，
在 Rt△BDC2 中，同理可得：DC2=3．
∴△BC1C2 是等腰三角形．
∴DC1=DC2=3，
∴AC1=AD−C1D=4−3=1,AC2=AD+C2D=4+3=7，
∴S△ABC1=12AC1⋅BD=12×1×4=2，
S△ABC2=12AC2⋅BD=12×7×4=14．
26. 设《孟子》这种书的单价为 x 元，则《论语》这种书的单价为 x+15 元，
依题意，得：
500x=800x+15,
解得：
x=25,
经检验，x=25 是所列方程的解，且符合题意，
∴x+15=25+15=40．
答：《论语》和《孟子》这两种书的单价分别为 40 元和 25 元．
27. （1） 因为 △ABC 沿 AC，AB 翻折得到 △AEC 和 △ABD，
所以 △AEC≌△ABC，△ABD≌△ABC．
所以 ∠2=∠1=30∘，∠4=∠3=16∘，
∠EAC=∠BAD=∠BAC=180∘−30∘−16∘=134∘，
因为 ∠DAC=360∘−∠BAD−∠BAC，
所以 ∠DAC=360∘−134∘−134∘=92∘，
所以 ∠DAE=∠EAC−∠DAC−134∘−92∘=42∘．
（2） 因为 BD⊥CE，
所以 ∠5=90∘，
所以 ∠DBC+∠ECB=90∘．
因为 ∠1=∠2，∠3=∠4，
所以 ∠DBC+∠ECB=2∠3+2∠1=90∘．
所以 ∠3+∠1=45∘，
在 △ABC 中，∠CAB=180∘−∠3+∠1=180∘−45∘=135∘．
28. （1）
∴ 点 P 为所求．
（2）
∴P1，P2，P3，P4 为所求．
∠BPC 的度数分别为：40∘，160∘，140∘，80∘．
（3） C