2019-2020学年北京市房山区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市房山区八上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 实数 3 的平方根是
A. ±3B. −3C. 3D. 9

2. 生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾管理，维护公共环境和节约资源是全社会公共的责任．2020 年 5 月 1 日起北京将全面推行生活垃圾强制分类．下列四个垃圾分类标识中的图形是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如果分式 1x−2 有意义，那么 x 的取值范围是
A. x=2B. x≠2C. x=−2D. x≠−2

4. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD 是 △ABC 的中线．若 ∠CAD=25∘，则 ∠B 的度数是
A. 25∘B. 55∘C. 65∘D. 75∘

5. 下列事件中，是必然事件的是
A. 直角三角形的两个锐角互余
B. 买一张电影票，座位号是偶数号
C. 投掷一个骰子，正面朝上的点数是 7
D. 打开“学习强国APP”，正在播放歌曲《我和我的祖国》

6. 计算 a2a−1+11−a 的结果正确的是
A. a2+1B. a2−1C. a+1D. a−1

7. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是
A. a>bB. −aC. −a<−bD. a2>b2

8. 如图，线段 AB=10，∠A=∠B=45∘，AC=BD=42．点 E，F 为线段 AB 上两点．从下面 4 个条件中：
① CE=DF=5；
② AF=BE；
③ CE=DF=7；
④ ∠CEB=∠DFA．
选择一个条件，使得 △ACE 一定和 △BDF 全等．则所有满足条件的序号是
A. ①④B. ②③C. ①②④D. ②③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 四边形的内角和等于 度．

10. 估算：17≈ （结果精确到 1）．

11. 分式 x−1x 的值为 0，则 x 的值是 ．

12. 若 x+2 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

13. 等腰三角形中，一条边的长为 4 cm，另一条边的长是 10 cm．则这个三角形的周长是 cm．

14. 一个不透明的摇奖箱内装有 20 张形状，大小，质地等完全相同的卡片，其中只有 5 张卡片标有中奖标志．在 2020 年新年联欢会的抽奖环节中，贝贝从这个摇奖箱内随机抽取一张卡片．则贝贝中奖的概率是 ．

15. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上．请按要求完成下列各题：
（1）判断 △ABC 是 三角形；
（2）计算 △ABC 的面积 S△ABC= ．

16. 已知 ∠AOB=30∘，点 C 为射线 OB 上一点，点 D 为 OC 的中点，且 OC=6．当点 P 在射线 OA 上运动时，则 PC 与 PD 和的最小值为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：22+π−30−16．

18. 计算：412−6×3+12÷3．

19. 解方程：xx−3−2x+1=1．

20. 已知：如图，点 B，D 在线段 AE 上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F．求证：BC=DF．

21. 下面是圆圆设计的“作等腰三角形一腰上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC，AB=AC．
求作：AB 边上的高线．
作法：如图，
①以点 C 为圆心，CB 为半径画弧，交 AB 于点 B 和点 D；
②分别以点 B 和点 D 为圆心，大于 12BD 长为半径画弧，两弧相交于点 M；
③作射线 CM 交 AB 于点 E．
所以线段 CE 就是所求作的 AB 边上的高线．
根据圆圆设计的尺规作图过程，完成下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面证明．
证明：
∵CB=CD，
∴ 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∵ = ，
∴ 点 M 在线段 BD 的垂直平分线上．
∴CM 是线段 BD 的垂直平分线．
∴CM⊥BD．
∴ 线段 CE 就是 AB 边上的高线．

22. 现有 A，B两个不透明的袋子，分别装有 3 个除颜色外完全相同的小球，其中A袋中装有 2 个白球，1 个红球；B袋中装有 2 个红球，1 个白球.小林和小华商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中各随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜.请用列表法或画树状图法，说明这个游戏对双方是否公平．

23. 已知 m−n=23，求代数式 m2+n22m−n÷m−nm 的值．

24. 在 △ABC 中，∠A=50∘，∠B=30∘，点 D 在 AB 边上，连接 CD，若 △ACD 为直角三角形，求 ∠BCD 的度数．

25. 列分式方程解应用题：
“5G 改变世界，5G 创造未来”．2019 年 9 月，全球首个 5G 上海虹桥火车站，完成了 5G 网络深度覆盖，旅客可享受到高速便捷的 5G 网络服务．虹桥火车站中 5G 网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍．在峰值速率下传输 7 千兆数据，5G 网络比 4G 网络快 630 秒，求 5G 网络的峰值速率．

26. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，BC=DC，∠A=60∘，点 E 为 AD 边上一点，连接 CE，BD．CE 与 BD 交于点 F，且 CE∥AB．
（1）求证：∠CED=∠ADB；
（2）若 AB=8，CE=6．求 BC 的长．

27. 阅读下列材料，然后回答问题．
已知 a>0，S1=1a，S2=−S1−1，S3=1S2，S4=−S3−1，S5=1S4，⋯．当 n 为大于 1 的奇数时，Sn=1Sn−1；当 n 为大于 1 的偶数时，Sn=−Sn−1−1．
（1）求 S3；（用含 a 的代数式表示）
（2）直接写出 S2020= ；（用含 a 的代数式表示）
（3）计算：S1+S2+S3+⋯+S2022= ．

28. 定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形 ABC 中，∠BAC>90∘，∠ACB=α，∠ABC=β，过点 A 的直线 l 交 BC 边于点 D．点 E 在直线 l 上，且 BC=BE．
（1）若 AB=AC，点 E 在 AD 延长线上．
①当 α=30∘，点 D 恰好为 BC 中点时，依据题意补全图 1．请写出图中的一个“半角三角形”： ；
②如图 2，若 ∠BAE=2α，图中是否存在“半角三角形”（△ABD 除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；
（2）如图 3，若 AB答案
第一部分
1. A【解析】∵±32=3，
∴3 的平方根是为 ±3．
2. D【解析】A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3. B【解析】由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故选：B．
4. C【解析】∵AB=AC，AD 是 △ABC 的中线，
∴∠BAD=∠CAD=25∘，∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=180∘−50∘2=65∘，
故选：C．
5. A
【解析】A．直角三角形的两个锐角互余是必然事件，符合题意；
B．买一张电影票座位号是偶数号，是随机事件，不合题意；
C．投掷一个骰子正面朝上的点数是 7，是随机事件，不合题意；
D．打开“学习强国APP”，正在播放歌曲《我和我的祖国》是随机事件，不合题意．
6. C【解析】原式=a2a−1−1a−1=a2−1a−1=a+1a−1a−1=a+1.
故选：C．
7. D【解析】由图可得：a<0b，
∴−a>b，−a>−b，a2=−a>b2=b，
∴ D正确．
8. D【解析】①如图 1，过 C 作 CM⊥AB 于 M，过 D 作 DN⊥AB 于 N，
∵∠A=∠B=45∘，
∴△ACM 和 △BDN 是等腰直角三角形，
∵AC=BD=42，
∴CM=DN=4，
∵4<5<42，
∵CE=DF=5，
∴ 符合条件的 E 和 F 在线段 AB 上各有两个点，如图 1，△ACE 不一定和 △BDF 全等，
故①不符合题意；
②如图 2，
∵AF=BE，
∴AE=BF，
在 △ACE 和 △BDF 中，
∵AC=BD,∠A=∠B,AE=BF,
∴△ACE≌△BDF（SAS），
故②符合题意；
③如图 3，过 C 作 CM⊥AB 于 M，过 D 作 DN⊥AB 于 N，
由（1）知 CM=DN，
∵CE=DF=7，且 7>42，
∴E 和 F 在线段 AB 上各存在一个点，
在 Rt△CME 和 Rt△DNF 中，
∵CM=DN,CE=DF,
∴Rt△CME≌Rt△DNF（HL），
∴∠CEM=∠DFN，
在 △ACE 和 △BDF 中，
∵∠A=∠B,∠CEM=∠DFN,AC=BD,
∴△ACE≌△BDF（AAS），
故③符合题意；
④如图 4，
∵∠CEB=∠DFA，
∴∠AEC=∠BFD，
在 △ACE 和 △BDF 中，
∵∠A=∠B,∠AEC=∠DFB,AC=BD,
∴△ACE≌△BDF（AAS），
故④符合题意；
故选：D．
第二部分
9. 360
【解析】4−2⋅180∘=360∘．
10. 4
【解析】因为 16<17<25，
所以 4<17<5，
所以 17≈4，
故答案为：4．
11. 1
【解析】∵ 分式 x−1x 的值为 0，
∴x−1=0 且 x≠0，
∴x=1．
12. x≥−2
【解析】∵x+2 在实数范围内有意义，
∴x+2≥0，
解得：x≥−2．
故答案为：x≥−2．
13. 24
【解析】当腰长为 4 cm 时，三角形的三边分别为 4 cm，4 cm，10 cm，4+4=8 不大于 10，不能组成三角形；
当腰长为 10 cm 时，三角形的三边分别为 10 cm，10 cm，4 cm，4+10>10 ，能组成三角形，
∴ 此三角形的周长为 10+10+4=24 cm．
故答案为：24．
14. 14
【解析】P中奖=520=14．
15. 直角，5
【解析】（1）∵AB2=22+12=5，AC2=42+22=20，BC2=42+32=25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC=90∘，
∴△ABC 是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）∵AB2=22+12=5，AC2=42+22=20，
∴AB=5，AC=25，
∴S△ABC=12×AB×AC=12×5×25=5，
故答案为：5．
16. 33
【解析】作 C 关于直线 OA 的对称点 E，连接 DE 交 OB 于 P，
则此时 PC+PD 的值最小，且 PC+PD 的最小值 =DE，
∵∠AOB=30∘，OC=6，
∴CE=2×12OC=6，
∵ 点 D 为 OC 的中点，
∴CD=3，
∴DE=CE2−CD2=33，
故答案为：33．
第三部分
17. 22+π−30−16=2+1−4=−1.
18. 原式=22−6×3+12÷3=22−32+2=2−2.
19. 等式两边同时乘 x−3x+1，去分母得：
xx+1−2x−3=x−3x+1.
去括号得：
x2+x−2x+6=x2−2x−3.
解得：
x=−9.
检验：当 x=−9 时，最简公分母 x−3x+1≠0，
∴x=−9 原分式方程的解．
20. ∵AD=BE，
∴AD−BD=BE−BD，
∴AB=ED，
∵AC∥EF，
∴∠A=∠E，
在 △ABC 和 △EDF 中，
∠C=∠F,∠A=∠E,AB=ED,
∴△ABC≌△EDFAAS，
∴BC=DF．
21. （1） 补全的图形如图：
（2） 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；MB；MD
【解析】证明：∵CB=CD，
∴ 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∵BM=DM，
∴ 点 M 在线段 BD 的垂直平分线上．
∴CM 是线段 BD 的垂直平分线．
∴CM⊥BD．
∴ 线段 CE 就是 AB 边上的高线．
故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；MB，MD．
22. 列表如下：
AB红1红2白白1白1,红1白1,红2白1,白白2白2,红1白2,红2白2,白红红,红1红,红2红,白
由上表或可知，一共有 9 种等可能的结果，其中颜色相同的结果有 4 种，颜色不同的结果有 5 种．
∴ P颜色相同=49，P颜色不同=59．
∵ 49<59，
∴ 这个游戏规则对双方不公平．
23. 原式=m2+n2−2mn2m÷m−nm=m−n22m⋅mm−n=m−n2.
∵m−n=23，
∴原式=m−n2=232=3．
24. 当 ∠ADC=90∘ 时，
∵∠ADC=∠B+∠BCD，∠B=30∘，
∴∠BCD=∠ADC−∠B=90∘−30∘=60∘．
当 ∠ACDʹ=90∘ 时，
∵∠A=50∘，∠B=30∘，
∴∠ACB=180∘−∠A−∠B=180∘−50∘−30∘=100∘，
∴∠BCDʹ=∠ACB−∠ACDʹ=100∘−90∘=10∘，
∴∠BCD=10∘ 或 ∠BCD=60∘．
25. 设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 千兆数据．
依题意，得
7x−710x=630.
解得
x=0.01.
经检验：x=0.01 是原方程的解，且满足实际意义．
10x=10×0.01=0.1，
答：5G 网络的峰值速率为每秒传输 0.1 千兆数据．
26. （1） ∵AB=AD，∠A=60∘，
∴△ABD 是等边三角形．
∴∠ADB=60∘，
∵CE∥AB，
∴∠CED=∠A=60∘，
∴∠CED=∠ADB．
（2） 连接 AC 交 BD 于点 O．
∵AB=AD，BC=DC，
∴AC 垂直平分 BD．
∴∠BAO=∠DAO=30∘．
∵△ABD 是等边三角形，AB=8，
∴AD=BD=AB=8，
∴BO=OD=4，
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠BAO．
∴AE=CE=6，DE=AD−AE=2．
∵∠CED=∠ADB=60∘．
∴∠EFD=60∘．
∴△EDF 是等边三角形．
∴EF=DF=DE=2，
∴CF=CE−EF=4，OF=OD−DF=2．
在 Rt△COF 中，
∴OC=CF2−OF2=23，
在 Rt△BOC 中，
∴BC=BO2+OC2=42+232=27．
27. （1） ∵S1=1a，
∴S2=−S1−1=−1a−1=−a+1a，
∴S3=1S2=−aa+1．
（2） −1a+1
【解析】∵S1=1a，
∴S2=−S1−1=−1a−1=−a+1a，
∴S3=1S2=−aa+1，
∴S4=−S3−1=aa+1−1=a−a−1a+1=−1a+1，
∴S5=1S4=−a+1，
∴S6=a+1−1=a，
∴S7=1a，
⋯，
∵2020÷6=336⋯4，
∴S2020=−1a+1，
故答案为：−1a+1．
（3） −1011
【解析】∵S1=1a，
∴S2=−S1−1=−1a−1=−a+1a，
∴S3=1S2=−aa+1，
∴S4=−S3−1=aa+1−1=a−a−1a+1=−1a+1，
∴S5=1S4=−a+1，
∴S6=a+1−1=a，
∴S7=1a，
⋯，
∴S1+S2+S3+S4+S5+S6=1a+−a+1a+−aa+1+−1a+1+−a+1+a=−3,
∵2022÷6=337，
∴S1+S2+S3+⋯+S2022=−3×337=−1011,
故答案为：−1011．
28. （1） ①如图 1．
△ABD 或 △ACD 或 △BDE 或 △ABE
②存在，“半角三角形”为 △BAE．
如图 2，延长 DA 到 F，使得 AF=AC，连接 BF．
∵AB=AC，
∴α=β．
∴∠BAC=∠180∘−2α．
∵∠BAE=2α，
∴∠BAF=180∘−2α．
∴∠BAF=∠BAC．
在 △BAF 和 △BAC 中，
AF=AC,∠BAF=∠BAC,BA=BA,
∴△BAF≌△BACSAS．
∴∠F=∠C，BF=BC．
∵BE=BC，
∴BF=BE．
∴∠BEA=∠F=∠C=α．
（2） ∠BAE=α+β 或 ∠BAE+α+β=180∘
【解析】①如图 3，延长 CA 到点 F，使得 CF=AE，
∵BC=BE，∠AEB=∠ACB=α，
∴△CBF≌△EBASAS．
∴AB=BF，∠BAE=∠F，
∴∠F=∠FAB=∠BAE，
过点 B 分别作 BG⊥CF 于点 G，BH⊥AE 于点 H，
可得 BG=BH．
∴∠FAB=∠BAE=α+β．
②如图 4，
∵∠BAC>90∘，
∴ 若以 B 为圆心，BC 长为半径作圆与直线 AD 一定有两个交点，
当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的 ∠BAEʹ．
可知：∠BAEʹ=180∘−∠BAE=180∘−α+β．
综上所述，这三个角之间的关系有两种，∠BAE=α+β 或 ∠BAE+α+β=180∘．