2019-2020学年北京市燕山区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市燕山区八上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 为庆祝首个“中国农民丰收节”，十渡镇西河村举办“西河稻作文化节”活动．西河水稻种植历史悠久，因“色白粒粗，味极香美，七煮不烂”而享誉京城．已知每粒稻谷重约 0.000035 千克，将 0.000035 用科学记数法表示应为
A. 35×10−6B. 3.5×10−6C. 3.5×10−5D. 0.35×10−4

3. 如果 x−7 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
A. x≠7B. x<7C. x>7D. x≥7

4. 下列运算正确的是
A. 4=±2B. 42=4
C. −42=−4D. −42=−4

5. 如图，Rt△ABC≌Rt△DEF，∠E=55∘，则 ∠A 的度数为
A. 25∘B. 35∘C. 45∘D. 55∘

6. 如图，△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠CAB，交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，若 CD=3，则 DE 的长为
A. 2B. 3C. 3D. 23

7. 如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为 D，DE∥AB，交 AC 于点 E，则下列结论不正确的是
A. ∠CAD=∠BADB. BD=CD
C. AE=EDD. DE=DB

8. 如图，有三种规格的卡片共 9 张，其中边长为 a 的正方形卡片 4 张，边长为 b 的正方形卡片 1 张，长，宽分别为 a，b 的长方形卡片 4 张，现使用这 9 张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为
A. 2a+bB. 4a+bC. a+2bD. a+3b

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若分式 x−4x 的值为 0，则 x 的值是 ．

10. 计算 2aa−1−2a−1 的结果是 ．

11. 计算 3+23−2 的结果是 ．

12. 在 △ABC 中，AB=AC，BC=5，∠B=60∘，则 △ABC 的周长是 ．

13. 如图，线段 AB 与 CD 相交于点 O，且 OA=OD，连接 AC，BD，要说明 △AOC≌△DOB，还需添加的一个条件是 ．（只需填一个条件即可）

14. 写出一个能用平方差公式分解因式的多项式： ．

15. 已知 x2+2x=3，则代数式 x+12−x+2x−2+x2 的值为 ．

16. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，未折抵地，去本六尺，问折者高几何?”
译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为 6 尺，问折断处离地面的高度为多少尺?
如图，我们用点 A，B，C 分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度 BC=x 尺，则可列方程为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：8×3−12÷6．

18. 分解因式：4ma2−mb2．

19. 解方程：xx+1=1−2x3x+1．

20. 如图，AB=AC，点 D，E 分别是线段 AB，AC 的中点，连接 BE，CD．
求证：∠B=∠C．

21. 下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC 的边 BC 上的高 AD．
作法：①以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，交直线 BC 于点 M，N；
②分别以点 M，N 为圆心，以大于 12MN 的长为半径画弧，两弧相交于点 P；
③作直线 AP 交 BC 于点 D，则线段 AD 即为所求 △ABC 的边 BC 上的高．
根据小芸设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵AM= ，MP= ，
∴AP 是线段 MN 的垂直平分线． （填推理的依据）．
∴AD⊥BC 于 D，即线段 AD 为 △ABC 的边 BC 上的高．

22. 如图，四边形 ABCD 中，∠B=90∘，∠ACB=30∘，AB=2，CD=3，AD=5．
（1）求证：AC⊥CD．
（2）求四边形 ABCD 的面积．

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 O0,0，A−1,2，B2,1．
（1）在图中画出 △AOB 关于 y 轴对称的 △A1OB1，并直接写出点 A1 和点 B1 的坐标．（不写画法，保留画图痕迹）
（2）在 x 轴上存在点 P，使得 PA+PB 的值最小，则点 P 的坐标为 ，PA+PB 的最小值为 ．

24. 先化简，再求值：1−2m−2÷m2−16m2−2m，其中 m=2019．

25. 下面是两位同学的一段对话：
聪聪：周末我们去国家博物馆参观“伟大的变革——庆祝改革开放 40 周年大型展览”吧．
明明：好啊，我家离国家博物馆约 30 km，我坐地铁先走，地铁的平均行驶速度是公交车的 1.5 倍呢．
聪聪：嗯，我周末住奶奶家，离国家博物馆只有 5 km，坐公交车，你出发 40 分钟后我再出发就能和你同时到达．
根据对话内容，请你求出公交车和地铁的平均行驶速度．

26. 阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小明同学用换元法对多项式 x2−4x+1x2−4x+7+9 进行因式分解的过程．
解：设 x2−4x=y，
原式=y+1y+7+9第一步=y2+8y+16第二步=y+42第三步=x2−4x+42第四步.
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小明同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
（2）老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ．
（3）请你用换元法对多项式 x2+2xx2+2x+2+1 进行因式分解．

27. 已知 BC=5，AB=1，AB⊥BC，射线 CM⊥BC，动点 P 在线段 BC 上（不与点 B，C 重合），过点 P 作 DP⊥AP 交射线 CM 于点 D，连接 AD．
（1）如图 1，若 BP=4，判断 △ADP 的形状，并加以证明．
（2）如图 2，若 BP=1，作点 C 关于直线 DP 的对称点 Cʹ，连接 ACʹ．
①依题意补全图 2．
②请直接写出线段 ACʹ 的长度．

28. 一般情况下，ba+1b=3ab+1 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a=1，b=2．我们称使得 ba+1b=3ab+1 成立的一对数 a，b 为“相伴数对”，记为 a,b．
（1）判断数对 −2,1，3,3 是否是“相伴数对”．
（2）若 k,−1 是“相伴数对”，求 k 的值．
（3）若 4,m 是“相伴数对”，求代数式 4m−3m2−24m−13mm−4 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】若一个图形演一个直线折叠后，直线两侧图形完全重合，则是轴对称图形．
选A．
2. C【解析】科学计数法的形式是 a×10n，其中 1≤a<10，n 为整数，选C．
3. D【解析】x−7 在实数范围有意义可得 x−7≥0，解得 x≥7，选D．
4. B
5. B
【解析】∵∠EFD=90∘，∠E=55∘，
∴∠EDF=90∘−55∘=35∘，
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠A=∠EDF=35∘．
6. C【解析】∵AD 平分 ∠CAB，
∴DC=DE，
∴DE=3．
7. D【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD，BD=CD．
又 ∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠DAB．
∴∠EDA=∠CAD．
∴AE=DE．
∴ 选D．
8. A【解析】大正方形的面积 S=4a2+b2+4ab=2a+b2．
∴ 大正方形的边长为 2a+b．
选A．
第二部分
9. 4
【解析】x−4x=0，去分母得 x−4=0，解得 x=4．
经检验 x=4 是原分式方程的解．
10. 2
【解析】2aa−1−2a−1=2a−2a−1=2a−1a−1=2.
11. −1
【解析】3+23−2=3−4=−1.
12. 15
【解析】∵AB=AC，∠B=60∘，
∴△ABC 是等边三角形．
∴ 周长为 3BC=15．
13. OC=OB 或 AB=CD 或 ∠A=∠D 或 ∠B=∠C
【解析】由题意知 OA=OD，∠COA=∠BOD，
∴ 可根据 AAS，SAS，ASA 等判定全等．
14. x2−1（答案不唯一）
【解析】平方差公式为 a−ba+b=a2−b2，只要符合即可．
15. 8
【解析】x+12−x+2x−2+x2=x2+2x+1−x2−4+x2=x2+2x+1−x2+4+x2=x2+2x+5.
将 x2+2x=3 代入上式可得：
原式=3+5=8.
16. x2+62=20−x2
【解析】折断处地面的高度为 x 尺，
则 AB=20−x，BC=6．
在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2，即 x2+62=20−x2．
第三部分
17. 原式=24−12÷6=24÷6−12÷6=4−2=2−2.
18. 4ma2−mb2=m4a2−b2=m2a−b2a+b.
19. 去分母得，
3x=3x+1−2x.
去括号得，
3x=3x+3−2x.
移项合并同类项得，
2x=3.
系数化 1 得，
x=32.
检验：x=32 是原方程的解．
20. ∵ 点 D，E 分别是线段 AB，AC 的中点，
∴AD=12AB，AE=12AC，
∵AB=AC，
∴AD=AE．
在 △ABE 和 △ACD 中，AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,
∴△ABE≌△ACD，
∴∠B=∠C．
21. （1） 补全的图形如图所示：
（2） AN；NP；与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【解析】由题意得，AM=AN，MP=NP．
∵ 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
∴AP 是线段 MN 的垂直平分线．
22. （1） 在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，∠ACB=30∘，AB=2，
∴ AC=2AB=4．
在 △ACD 中，AC=4，CD=3，AD=5，
∵ 42+32=52，即 AC2+CD2=AD2，
∴ ∠ACD=90∘，
∴ AC⊥CD．
（2） Rt△ABC 中，∠B=90∘，AB=2，AC=4 ，
∴ BC=42−22=23．
∴ Rt△ABC 的面积为 12AB⋅BC=12⋅2⋅23=23，
又 ∵ Rt△ACD 的面积为 12AC⋅CD=12×4×3=6，
∴ 四边形 ABCD 的面积为：23+6．
23. （1） 画出 △A1OB1 如图所示．
点 A11,2，点 B1−2,1．
（2） P1,0；32
【解析】选找到 A 关于 x 轴的对称点 Aʹ，则 Aʹ 的坐标为 −1,−2，连接 AʹB，则 PA+PB 的最小值即为 AʹB，AʹB 与 x 轴交点 1,0 即为 P 点．
24. 原式=m−2m−2−2m−2÷m−4m+4mm−2=m−4m−2⋅mm−2m−4m+4=mm+4.
当 m=2019 时，
原式=20192019+4=20192023.
25. 设公交车平均行驶速度为 x km/h，则地铁的平均行驶速度为 1.5x km/h，
根据题意，得
301.5x−5x=4060.
解这个方程，得
x=22.5.
经检验：x=24 是所列方程的解，且符合题意．
1.5x=1.5×22.5=33.75 km/h．
答：公交车和地铁的平均行驶速度分别为 22.5 km/h 和 33.75 km/h．
26. （1） C
【解析】根据完全平方公式进行分解因式，
故选C．
（2） x−24
【解析】x2−4x+1x2−4x+7+9．
设 x2−4x=y，
原式=y+1y+7+9=y2+8y+16=y+42=x2−4x+42=x−24.
故答案为：x−24．
（3） 设 x2+2x=y，
原式=yy+2+1=y2+2y+1=y+12=x2+2x+12=x+14.
27. （1） ∵BC=5，BP=4，
∴PC=1，
∵AB=1，
∴PC=AB．
∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，
∴∠B=∠C=90∘，∠APB+∠DPC+90∘，∠PDC+∠DPC=90∘．
∴∠APB=∠PDC．
在 △ABP 和 △PCD 中，
∠B=∠C,∠APB=∠PDC,AB=PC,
∴△ABP≌△PCD，
∴AP=PD，
∵∠APD=90∘，
∴△ADP 是等腰直角三角形．
（2） ①如图所示．
② ACʹ=10．
【解析】②如上图所示，过 A 作 AE∥DP 交 CCʹ 于点 E，
则 AE=12DP．
∵AB=BP=1，
∴AP=2，∠APB=45∘．
又 ∵DP⊥AP，
∴∠DPC=90∘−∠APB=45∘．
∴PC=DC=BC−BP=4．
∴DP=42．
CʹO=CO=22PC=22，CʹE=CʹO−OE=CʹO−AP=2．
ACʹ=AE2+CʹE2=222+22=10．
28. （1） ∵1−2+11≠3−2×1+1，∴−2,1 不是“相伴数对”．
∵33+13=33×3+1，∴3,3 是“相伴数对”．
（2） ∵k,−1 是“相伴数对”，
∴−1k+1−1=3−k+1，
解得 k=1．
（3） ∵4,m 是“相伴数对”，
∴m4+1m=34m+1，
∴m2−4m=−1，
∴4m−3m2−24m−13mm−4=4m−3m2−8m+23m2−4m=−3m2+12m−23m2−4m=−3m2−4m−23m2−4m=−3×−1−23×−1=−13.