2019-2020学年北京市延庆县八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市延庆县八上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 以下是某中学初二年级的学生在学习了轴对称图形之后设计的，下面这四个图形中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 若二次根式 2x−1 有意义，则 x 的取值范围是
A. x>12B. x≥12C. x≤12D. x≤2

3. 一个不透明的盒子中装有 3 个白球、 9 个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是
A. 34B. 13C. 14D. 23

4. 下列事件中，属于必然事件的是
A. 任意掷一枚硬币，落地后正面朝上
B. 小明妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签
C. 随机打开电视机，正在播报新闻
D. 地球绕着太阳转

5. 下列各式中，最简二次根式是
A. 27B. m5n2C. 12D. 6

6. 下列运算结果正确的是
A. a6a3=a2B. −a+ba−b=−1C. x+1y+1=xyD. 3ba2=6b2a2

7. 如图，数轴上 A，B，C，D 四点中，与 3 对应的点距离最近的是
A. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D

8. 如图，D，E 分别是 AB，AC 上的点，BE 与 CD 交于点 F，给出下列三个条件：
① ∠DBF=∠ECF；
② ∠BDF=∠CEF；
③ BD=CE．
两两组合在一起，共有三种组合：
（1）①②（2）①③（3）②③
问能判定 AB=AC 的组合是
A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（3）D. （1）（2）（3）

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 要使分式 x+2x−1 值为 0，则 x 的值是 ．

10. 如图，已知 AC 与 BD 交于点 E，且 AB=CD，请你再添加一个边或角的条件使 △ABC≌△DCB，添加的条件是： ．（添加一个即可）

11. 化简：a+bb−a−bb= ．

12. 如图，EC 与 DA 交于点 B，∠ACB=90∘，∠A=60∘，BD=BE，则 ∠DEB 的度数是 ．

13. 为保障冬奥会测试赛顺利进行，北京市延庆区将在 2019 年年底前基本完成冬奥会有关建设任务，其中之一的内部场馆为圆形设计，面积为 12πa2b（a，b 均为正数）平方米，请你根据所学的知识计算出此场馆内部的半径为 米．（用含有 a，b 的式子表示）

14. 如右图，在 △ABC 中，∠A=90∘，CD 是 ∠ACB 的平分线，DE 垂直平分 BC，若 DE=2，则 AB= ．

15. 用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形 ABCD 和一个小正方形 EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在 2002 年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标，若 AB=10，AF=8，则小正方形 EFGH 的面积为 ．

16. 对于任意实数 a，b，我们规定：a⊗b=b4a−b,a≥ba4a+b,a（1）计算：−12⊗−1= ．
（2）若 x−3⊗x+3=1，则 x= ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：18+2−π0−22+∣1−2∣．

18. 计算：
（1）32+12−12+27．
（2）23−3223+32．

19. 如图，点 B，F，C，E 在直线 l 上，点 A，D 在 l 异侧，AB=DE，AB∥DE，∠A=∠D．求证：△ABC≌△DEF．

20. 解方程：xx−3+6x+3=1．

21. 先化简，再求值 2m+nm2−mn+1mm2−2mn+n2，其中，m−n=1．

22. 已知，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，连接 AC，BD．
（1）请补全图形，并说明 AC，BD 的位置关系．
（2）证明（1）中的结论．

23. 小明与小志要到延庆冬奥综合训练馆参加滑冰训练，他们约定从德胜门出发自驾前往，但他们在选择路线时产生了分歧，根据导航提示小明选择方案 1 前往，小志选择方案 2 前往，由于方案 1 比方案 2 的路线长，而小明还想大家一起到达．已知小明的平均车速比小志的平均车速每小时快 8 千米，请你帮助小明算一算，他的平均车速为每小时多少千米，他们就可以同时到达．

24. 已知 ∠MAN=30∘，点 B 在射线 AM 上，且 AB=6，点 C 在射线 AN 上．
（1）若 △ABC 是直角三角形，求 AC 的长．
（2）若 △ABC 是等腰三角形，则满足条件的 C 点有 个．
（3）设 BC=x，当 △ABC 唯一确定时，直接写出 x 的取值范围．

25. 动手操作（尺规作图）：
已知：如图线段 a，线段 b，∠α．
求作：△ABC，使得 BC=a，∠ABC=α，△ABC 的平分线 BD=b．
（1）小园是这样思考的：
先画一个草图进行分析，如图 1 所示，经过分析，小园发现了一个可以确定的三角形 ，确定这个三角形的依据是 ．这样基本上就算是完成尺规作图的分析了．
（2）请你用尺规作图法将小园没有做完的完成（在图 2 中完成即可）

26. 大家都玩过“石头，剪刀，布”的游戏吧?要求参与游戏的人同时做出“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，”剪刀“胜”布“，”布“胜”石头“，若手势相同，则不分胜负．如果两个人做这个游戏，随机出手一次，求这两个人获胜的概率各是多少?

27. 如图，点 A 在直线 l 上，点 B 在直线 l 外，点 B 关于直线 l 的对称点为 C，连接 AC，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，延长 BD 至 E 使 BE=AB，连接 AE 并延长与 BC 的延长线交于点 F．
（1）补全图形．
（2）若 ∠BAC=2α，求出 ∠AEB 的大小（用含 α 的式子表示）．
（3）用等式表示线段 EF 与 BC 的数量关系，并证明．

28. 规定：m 为不大于 m 的最大值．
（1）填空：3.2= ．−4.8= ．
（2）已知：动点 C 在数轴上表示数 a，且 −2≤a≤4，则 a 的取值范围．
（3）如图：OB=1，AB⊥OB，且 AB=10，动点 D 在数轴上表示的数为 t，设 AD−BD=n，且 6≤n≤7，求 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】∵ 2x−1 有意义，
∴ 2x−1≥0，
∴ x≥12．
故选B．
3. A【解析】∵ 一个不透明的盒子中装有 3 个白球、 9 个红球，
∴ 盒子中一共有 12 个球，
∴ 摸到红球的概率 912=34．
4. D
5. D
6. B
7. D【解析】∵ 1.52=2.25，22=4，
∴ 2.25<3<4，
∴ 2.25<3>4，
∴ 1.5<3<2，
∴ 3 对应的点距离最近的是点 D．
8. C【解析】（1）∠DBF=∠ECF，∠BDF=∠CEF 不能证明三角形全等，不能判定 AB=AC．
（2）在 △BDF 和 △CEF 中，
∠DBF=∠ECF,∠DFB=∠EFC,BD=CE,
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF=EF，BF=CF，
∴DF+CF=BF+EF，
∴DC=BE，
在 △ADC 和 △AEB 中，
∠A=∠A,∠ECF=∠DBF,DC=BE,
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AB=AC．
（3）在 △BDF 和 △CEF 中，
∠BDF=∠CEF,∠DFB=∠EFC,BD=CE,
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴∠B=∠C，DF=EF，BF=CF．
∴DF+CF=BF+EF．
∴DC=BE，
在 △ADC 和 △AEB 中，
∠A=∠A,∠B=∠C,DC=BE,
∴△ADC≌△AEB，
∴AB=AC．
第二部分
9. −2
【解析】因为分式值为 0，
所以 x+2=0，
解得 x=−2．
10. AC=DB
【解析】添加 AC=DB．
在 △ABC 和 △DCB 中，
AB=DC,BC=BC,AC=DB,
∴△ABC≌△DCBSSS．
添加 ∠ABC=∠DCB，
在 △ABC 和 △DCB 中，
AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC,
∴△ABC≌△DCBSAS．
11. 2
【解析】a+bb−a−bb
=a+b−a+bb
=2bb
=2．
12. 75∘
【解析】∵ ∠ACB=90∘，∠A=60∘，
∴ ∠ABC=30∘，
∵ EC 与 AD 相交于点 B，
∴ ∠EBD=∠ABC=30∘，
∵ BD=BE，
∴ ∠DEB=180∘−∠EBD2=180∘−30∘2=75∘．
13. 2a3b
【解析】设此场馆内部的半径为 x 米，由题意得，πx2=12πa2b，x2=12a2b，
∴x=2a3b．
14. 6
【解析】∵DE 垂直平分 BC，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵CD 平分 ∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB，
∵∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180∘,∠A=90∘，
∴∠DBC+∠DCB+∠ACD=90∘，
∴∠DBC=∠DCB=∠ACD=30∘，
∴BD=2DE=4，
∵CD 平分 ∠ACB，DE⊥BC，∠A=90∘，
∴DE=DA=2，
∴AB=BD+DA=4+2=6．
15. 4
【解析】在 Rt△ABF 中，∠AFB=90∘，AB=10，AF=8，
所以 BF=AB2−AF2=102−82=6，
因为 △BCG≌△ABF，
所以 BG=AF=8，
所以 GF=BG−BF=2，
所以小正方形 EFGH 的面积为 22=4．
16. 1，32
【解析】（1）∵−12>−1，
∴−12⊗−1=−14×−12−−1=1，
故答案为：1．
（2）∵x−3 ∴x−3⊗x+3=x−34x−3+x+3=x−34x−12+x+3=x−35x−9.
∴x−35x−9=1，
解得：x=32，
故答案为：32．
第三部分
17. 42−2
【解析】原式 =32+1−2+2−1
=42−2
18. （1） 原式=42+23−22+33=42+23−22−33=722−3.
（2） 原式=232−322=12−18=−6.
19. ∵ AB∥DE（已知），
∴ ∠ABC=∠DEF（两直线平行，内错角相等），
在 △ABC 和 △DEF 中 ∠A=∠D,AB=DE,∠ABC=∠DEF.
∴ △ABC≌△DEFASA．
20. 方程两边乘 x−3x+3，得 xx+3+6x−3=x2−9，
解得 x=1，
检验：当 x=1 时，x−3x+3≠0，
∴ 原分式方程的解为 x=1．
21. 原式=2mmm−n+m−nmm−nm−n2=3mmm−nm−n2=3m−n,
∵m−n=1，
∴原式=3．
22. （1）
如图所示，AC⊥BD．
（2） ∵AB=AD，
∴ 点 A 在线段 BD 的垂直平分线上．
∵CB=CD，
∴ 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上．
∵ 两点确定一条直线，
∴AC 是线段 BD 的垂直平分线，
即 AC⊥BD．
【解析】在 △ABC 和 △ADC 中，
AB=AD,CB=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADCSSS，
∴∠BAC=∠DAC．
又 ∵AB=AD，
∴AC⊥BD（等腰三角形三线合一）．
23. 设小志的平均车速为每小时 x 千米，则小明的平均车速为每小时 x+8 千米．
85x+8=75x,
解得
x=60,
经检验，x=60 是原方程的解，且符合实际问题的意义．
∴ x+8=68．
答：小明的平均车速为每小时 68 千米．
24. （1） 当 ∠ABC=90∘ 时，
因为 ∠A=30∘，
所以 BC=12AC，
所以设 BC=x，则 AC=2x．
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 36+x2=4x2，
解得 x=23，
所以 AC=43．
当 ∠ACB=90∘ 时，
因为 ∠A=30∘，
所以 BC=12AB=3，
所以 AC=33．
（2） 3
【解析】如图，满足条件的 C 点有 3 个．
（3） x=3 或 x≥6．
【解析】当 BC⊥AN 时，点 C 唯一，此时 x=BC=3，
当 BC≥AB 时，点 C 唯一，此时 x=BC≥6．
综上，x 的取值范围为 x=3 或 x≥6．
25. （1） △BDC；SAS
【解析】小园发现可以确定的三角形是 △BDC，确定这个三角形的依据是 SAS．
（2） 作图如图所示，△ABC 即为所求．
26. 每个人获胜的概率都是 13．
游戏者2 游戏者1石头剪刀布石头石头 石头石头 剪刀石头 布剪刀剪刀 石头剪刀 剪刀剪刀 布布布 石头布 剪刀布 布
从表中可以看出，两个人每一次随机出手，每个人获胜的概率都是 13．
27. （1） 补全图形如下．
（2） ∠AEB=45∘+α．
设 BC 与直线 l 交于点 H，
∵ 点 B 与点 C 关于直线 l 对称，
∴△ABH≌△ACH，
∴AB=AC，
∠BAH=∠CAH=12∠BAC=α，
∴∠BHA=∠CHA=90∘，BH=HC．
∵BD⊥AC，
∴∠BDA=90∘，
∴∠ABE=90∘−2α．
∵AB=BE，
∴∠AEB=∠BAE=180∘−90∘−2α2=45∘+α．
（3） 线段 EF 与 BC 之间的数量关系：BC=2EF．
如图，过点 E 做 EM⊥BF 于 M，
∴∠BME=90∘，
∵∠BHA=∠CHA=90∘（已证），∠BME=∠AHC，
∵AB=AC（已证），AB=BE（已证），
∴AB=AC=BE，
在 △BHO 和 △ADO 中，
∵∠1=∠2，∠BDA=∠BHA=90∘，
∴∠HBO=∠CAH=α．
在 △AHC 和 △BME 中，
∠HBO=∠CAH,∠BME=∠AHC,AC=BE,
∴△AHC≌△BME（AAS），
∴ME=HC=12BC．
∵∠BEA=45∘+α，∠HBO=α，
∴∠F=45∘，
∴△MEF 是等腰直角三角形，
∴ME=22EF，
∴12BC=22EF，
∴BC=2EF．
28. （1） 3；−5
【解析】根据题意，小于等于 3.2 的最大的整数为 3，
小于等于 −4.8 的最大的整数为 −5．
（2） ∵−2≤a≤4，
如图所示，
a 取最小可取到 −2，最大值小于 5，
即 −2≤a<5．
（3） ∵6≤n≤7，
∴6≤n<8，
如图所示，在数轴上任取一点为 t，即为 D 点，
∵OB⊥AB，
∴AB⊥数轴，
∴AB⊥BD，
∴△ABD 是直角三角形，
则 BD=∣t−1∣．
∵AB=10，
∴AD=102+∣t+1∣2，
∵n=AD−BD=102+∣t+1∣2−∣t−1∣，
∴6≤102+∣t+1∣2−∣t−1∣<8，
①当 t>1 时，6≤102+t+12−t+1<8，
解得 133②当 t<1 时，6≤102+t+12+t−1<8，
解得 −133≤t<−54．
综上所述，133