2020-2021学年北京市昌平区八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市昌平区八上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 16 的算术平方根是
A. 2B. ±2C. 4D. ±4

2. 如图，△ABC 中，∠B=55∘，D 是 BC 延长线上一点，且 ∠ACD=130∘，则 ∠A 的度数是
A. 50∘B. 65∘C. 75∘D. 85∘

3. （唐）元稹《长庆集》十五《景中秋》诗：“帘断萤火人，窗明蝙蝠飞．”蝙蝠省称“蝠”，因“蝠”与“福”谐音，人们以蝠表示福气，福禄寿喜等祥瑞，民间绘画中画五只蝙蝠，意为《五福临门》．下列图案——蝙蝠纹样是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 如果一个三角形的三边长分别为 5，8，a．那么 a 的值可能是
A. 2B. 9C. 13D. 15

5. 下列各式是最简二次根式的是
A. 27B. 9C. 12D. 6

6. 下列事件中，属于必然事件的是
A. 小刚妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签
B. 掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于零
C. 打开“学习强国 APP”，正在播放歌曲《让爱暖人间》
D. 用长度分别是 3 cm，4 cm，8 cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形

7. 根据下列表格信息，y 可能为
x⋯−2−1012⋯y⋯0**无意义*⋯
A. x+2x−1B. x−2x+1C. x+2x+1D. x−2x−1

8. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是线段 BC 上一点（不与点 B，C 重合），连接 AD，点 E，F 分别在线段 AB，AC 的延长线上，且 DE=DF=AD，点 D 从 B 运动到 C 的过程中，△BED 周长的变化规律是
A. 不变B. 一直变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 x−3 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 计算：6a2−9÷1a+3= ．

11. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上（不与点 B，C 重合）．只需添加一个条件即可证明 △ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．

12. 请写出一个比 10 小的整数： ．

13. 口袋里有 3 个红球、 2 个白球、 5 个黄球，除颜色外都相同，从中随意摸岀一个球，摸到白球的可能性的大小是 ．

14. 如图，点 C 在 ∠AOB 的平分线上，CD⊥OA 于点 D，且 CD=2，如果 E 是射线 OB 上一点，那么 CE 长度的最小值是 ．

15. 如果等腰三角形的一个内角是 40∘，那么这个等腰三角形的顶角度数是 ．

16. 如图，△ABC 中，AB=BC，点 D 在线段 BC 上（不与点 B，C 重合）．
作法如下：
①连接 AD，作 AD 的垂直平分线分别交直线 AB，AC 于点 P，Q，连接 DP，DQ，则 △APQ≌△DPQ；
②过点 D 作 AC 的平行线交 AB 于点 P，在线段 AC 上截取 AQ，使 AQ=DP，连接 PQ，DQ，则 △APQ≌△DQP；
③过点 D 作 AC 的平行线交 AB 于点 P，过点 D 作 AB 的平行线交 AC 于点 Q，连接 PQ，则 △APQ≌△DQP；
④过点 D 作 AB 的平行线交 AC 于点 Q，在直线 AB 上取一点 P，连接 DP，使 DP=AQ，连接 PQ，则 △APQ≌△DPQ．
以上说法一定成立的是 ．（填写正确的序号）

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：8−3×6+12+∣1−2∣．

18. 计算：1x−y−2yx2−y2．

19. 解方程：2xx−2+32−x=1．

20. 已知：如图，点 B，D 在线段 AE 上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F．求证：BC=DF．

21. 已知：x2+x−4=0，求代数式 xx−1−1÷x3−xx2−2x+1 的值．

22. 在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图 1 中计算格点三角形 ABC 的面积是 ．（每个小正方形的边长为 1）
（2）△ABC 是格点三角形．
①在图 2 中画出一个与 △ABC 全等且有一条公共边 BC 的格点三角形．
②在图 3 中画出一个与 △ABC 全等且有一个公共点 A 的格点三角形．

23. 已知：如图，∠MON 为锐角，点 A 在射线 OM 上．
求作：射线 AC，使得 AC∥ON．
小静的作图思路如下：
①以点 A 为圆心，AO 为半径作弧，交射线 ON 于点 B，连接 AB；
②作 ∠MAB 的角平分线 AC．
射线 AC 即为所求的射线．
（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA=AB，
∴∠O=∠ABO（ ）．
∵∠MAB 是 △AOB 的一个外角，
∴∠MAB=∠ +∠ ．
∴∠ABO=12∠MAE．
∵AC 平分 ∠MAB，
∴∠BAC=12∠MAB．
∴∠ABO=∠BAC．
∴AC∥ON（ ）．

24. 列方程解应用题
为了提高学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于 1 小时”的文件精神，某校开展了“阳光体育天天跑活动”，初中男生、女生分别进行 1000 米和 800 米的计时跑步．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完 800 米所用时间比这名男生跑完 1000 米所用时间少 56 秒，求这名女生跑完 800 米所用时间是多少秒．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=120∘，AD⊥BC 于点 D，延长 AD 至点 E，使 DE=AD，连接 BE 和 CE．
（1）补全图形．
（2）若点 F 是 AC 的中点，请在 BC 上找一点 P 使 AP+FP 的值最小，并求出最小值．

26. 阅读理解．
材料 1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如：53=1+23=123．
类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如：x+1x=1+1x．
x+1x−1=x−1+2x−1=1+2x−1．
材料 2：为了研究字母 x 和分式 1x 值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：
x⋯−4−3−2−101234⋯1x⋯−0.25−0.3−0.5−1无意义⋯
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式：
x+2x= ；x+1x−2= ．
（2）当 x>0 时，随着 x 的增大，分式 x+2x 的值 （增大或减小）．
（3）当 x>−1 时，随着 x 的增大，分式 2x+3x+1 的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由．

27. 在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘．
（1）如图 1，点 P，Q 在线段 BC 上，AP=AQ，∠BAP=15∘，求 ∠AQB 的度数．
（2）点 P，Q 在线段 BC 上（不与点 B，C 重合），AP=AQ，点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M，连接 AM，PM．
①依题意将图 2 补全．
②用等式表示线段 BP，AP，PC 之间的数量关系，并证明．

28. 定义：点 P 是 △ABC 内部的一点，若经过点 P 和 △ABC 中的一个顶点的直线把 △ABC 平分成两个面积相等的图形，则称点 P 是 △ABC 关于这个顶点的均分点，例如图中，点 P 是 △ABC 关于顶点 A 的均分点．
（1）下列图形中，点 D 一定是 △ABC 关于点 B 的均分点的是 ；（填序号）
（2）在 △ABC 中，BC=2，AB=AC 且 AB>BC，点 P 是 △ABC 关于顶点 A 的均分点，且 2≤BP≤2，直接写出 ∠BPC 的范围；
（3）如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，BC=10，点 P 是 △ABC 关于顶点 A 的均分点，直线 AP 与 BC 交于点 D，当 BP⊥AD 时，BP=4，求 CP 的长．
答案
第一部分
1. C【解析】16=4，
故选C．
2. C【解析】∵∠B=55∘，∠ACD=130∘，∠A+∠B=∠ACD，
∴∠A=∠ACD−∠B=130∘−55∘=75∘，
故选C．
3. A【解析】A选项：蝙蝠纹样是轴对称图形，所以本选项符合题意，正确；
B选项：蝙蝠纹样不是轴对称图形，所以本选项不符合题意，错误；
C选项：蝙蝠纹样不是轴对称图形，所以本选项不符合题意，错误；
D选项：蝙蝠纹样不是轴对称图形，所以本选项不符合题意，错误．
故选：A．
4. B【解析】要构成一个三角形，任意两边之和一定大于第三边，任意两边之差一定小于第三边，故有：
5+8>a，即 a<13，
8−53，
综上：3A，C，D中的数均不在此范围，故错误，
B中 a=9 在此范围，故正确．
5. D
【解析】A选项：原式=33，二次根号下含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，所以本选项不符合题意，故A错误；
B选项：原式=3，二次根号下含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，所以本选项不符合题意，故B错误；
C选项：原式=22，二次根号下含有分母，不是最简二次根式，所以本选项不符合题意，故C错误；
D选项：是最简二次根式，所以本选项符合题意，故D正确．
故选D．
6. B【解析】A选项：小刚妈妈申请北京小客车购买指标，申请后第一次摇号时就中签，是随机事件，故A错误；
B选项：掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于零，是必然事件，故B正确；
C选项：打开“学习强国 APP”，正在播放歌曲《让爱暖人间》，是随机事件，故C错误；
D选项：用长度分别是 3 cm，4 cm，8 cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形，是不可能事件，故D错误．
7. A【解析】由表格信息可知：
∵ 当 x=1 时，y 无意义，
∴ 排除B、C两个选项．
分母为 x−1 时，x=1，y 无意义．
又 ∵ 当 x=−2 时，y=0．
∴ 代入A、D两个选项中只有A选项 x+2x−1=0．
8. D【解析】∵AD=DE，
∴∠AED=∠EAD．
∵AD=DF，
∴∠DAF=∠DFC．
在 △ABC 中，
∠BAC=∠ABC=∠ACB=60∘．
又 ∵∠EBC=180∘−∠ABC，∠DCF=180∘−∠ACB，
∴∠EBC=∠DCF，
且 ∠BAD+∠DAC=∠BAC=60∘，
∠BED+∠BDE=∠ABC=60∘，
∴∠BDE=∠CFD．
在 △BED 和 △CDF 中，
∠EBD=∠DCF,∠BDE=∠CFD,DE=DF,
∴△BED≌△CDFAAS.
∴BE=CD，
∴C△BED=BE+BD+DE=CD+BD+DE=BC+DE=2+DE.
点 D 在 BC 边上从 B 至 C 的运动过程中，DE=AD，先变小后变大，故 C△BED 先变小后变大，故D正确．
第二部分
9. x≥3
【解析】x−3 有意义，
∴x−3≥0，
∴x≥3．
10. 6a−3
【解析】6a2−9÷1a+3=6a+3a−3⋅a+3=6a−3．
11. D 为 BC 中点（答案不唯一）
【解析】因为 D 为 BC 中点，
所以 BD=CD，AB=AC，AD=AD，
所以 △ABD≌△ACDSSS．
故答案为：D 为 BC 中点（答案不唯一）．
12. 0
【解析】10 大于 0，所以可写出整数 0，满足条件．本题答案不唯一．
13. 15
【解析】2÷3+2+5=2÷10=15.
14. 2
【解析】当 CE⊥OB 时，CE 的值最小，
∵OC 平分 ∠AOB，CD⊥OA 于点 D，
∴CD=CE，
又 ∴CD=2，
∴CE=2．
故答案为：2．
15. 40∘ 或 100∘
【解析】△ABC，AB=AC．
有两种情况：
（1）顶角 ∠A=40∘，
（2）当底角是 40∘ 时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40∘，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠A=180∘−40∘−40∘=100∘，
∴ 这个等腰三角形的顶角为 40∘ 或 100∘．
故答案为：40∘ 或 100∘．
16. ①②③
【解析】①如图①所示，
∵OP=PO，OA=OD，∠POA=∠POD=90∘，
∴△POA≌△PODSAS，
∵OQ=QO，OA=OD，∠AOQ=∠DOQ=90∘，
∴△OAQ≌△DOQSAS，
∴△APQ≌△DPQ．
①正确；
②根据题意作图，如图②，
∵DP∥AQ，DP=AQ，
∴DPAQ 为平行四边形，
∴DP=AQ，AP=DQ，PQ=QP，
∴△APQ≌△DPQSSS．
②正确；
③根据题意作图，如图③，
∵DP∥AQ，DA∥DQ，
∴DPAQ 为平行四边形，
∴DP=AQ，AP=DQ，PQ=QP，（平行四边形的性质）
∴△APQ≌△DPQSSS．
③正确；
④根据题意作图，如图④，
分类讨论：
当为（a）图情况时：
∵DP∥AQ，DP=AQ，
∴DPAQ 为平行四边形，
∴DP=AQ，AP=DQ，PQ=QP，（平行四边形的性质）
∴△APQ≌△DPQSSS．
当为图（b）情况时：
△APQ 为锐角三角形，△DPA 为钝角三角形，
显然，两三角形不全等．
故④错误．
综上，各说法一定成立的是①，②，③．
第三部分
17. 原式=22−32+22+2−1=22−1.
18. 原式=x+yx+yx−y−2yx+yx−y=x+y−2yx+yx−y=x−yx+yx−y=1x+y.
19.
2xx−2−3x−2=1.
2x−3=x−2.
x=1.
经检验：x=1 是原方程的解．
20. ∵AD=BE，
∴AD−BD=BE−BD，
∴AB=ED，
∵AC∥EF，
∴∠A=∠E，
在 △ABC 和 △EDF 中，∠C=∠F,∠A=∠E,AB=ED,
∴△ABC≌△EDFAAS，
∴BC=DF．
21. 原式=1x−1÷x3−xx2−2x+1=1x−1⋅x−12xx+1x−1=1x2+x,
把 x2+x=4 代入，原式=14．
22. （1） 6
【解析】S△ABC=5×3−12×1×5−12×2×2−12×3×3=15−2.5−2−4.5=6.
（2） ①如图，△DCB 即所求．
②如图，△AMN 即所求．
23. （1） 作图如下：
（2） ∵OA=AB，
∴∠O=∠ABO（等边对等角）．
∵∠MAB 是 △AOB 的一个外角，
∴∠MAB=∠O+∠ABO．
∴∠ABO=12∠MAE．
∵AC 平分 ∠MAB，
∴∠BAC=12∠MAB．
∴∠ABO=∠BAC．
∴AC∥ON（内错角相等，两直线平行）．
24. 设这名女生跑完 800 米所用时间 x 秒，则这名男生跑完 1000 米所用时间 x+56 秒，
根据题意，得
800x=1000x+56,
解得：
x=224.
经检验，x=224 是所列方程的解，并且符合实际问题的意义，
答：这名女生跑完 800 米所用时间是 224 秒．
25. （1） 补全图形如下：
（2） 连接 EF 交 BC 于点 P，
此时 AP+FP 的值最小，
∵DE=AD，AD⊥BC，
∴BC 为 AE 的垂直平分线，
∴CA=CE=2，AP=EP，
∴AP+FP=EP+PF，
∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120∘，
∴∠BAD=∠CAD=60∘，
∴△ACE 为等边三角形．
∵ 点 F 是 AC 的中点，
∴EF⊥AC，AF=CF=1，
在 Rt△CEF 中，∠CFE=90∘，CF=1，BC=2，
∴EF=3，
∴AP+FP 的最小值为 3．
26. （1） 1+2x；1+3x−2
【解析】x+2x=1+2x．
x+1x−2=x−2+3x−2=1+3x−2．
（2） 减小
【解析】x+2x=1+2x，
当 x>0 时，随着 x 的增大，2x 的值越小，
∴ 分式 x+2x 的值也减小．
（3） 2x+3x+1=2x+2+1x+1=2x+1+1x+1=2+1x+1，
当 x>−1 时，x+1>0，
随着 x 值的增大，1x+1 的值逐渐减小，
当 x 值无限大时，1x+1 无限接近于 0，
∴ 随着 x 的值的增大，2x+3x+1 的值无限趋近于 2．
27. （1） ∵ 在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠C=45∘，
∵∠APQ 是 △ABC 的一个外角，
∴∠APQ=∠B+∠BAP，
∵∠BAP=15∘，
∴∠APQ=60∘，
∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQB=60∘．
（2） ①正确补全图形．
②连接 MC．
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠ACB=45∘，
∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠BAP=∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ，
∴BP=CQ，
∵ 点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M，
∴AQ=AM，CQ=CM，∠CAM=∠CAQ，∠ACM=∠ACQ=45∘，
∴AP=AM，∠B=∠ACM=45∘，∠BAP=∠CAM，BP=CM，
∴∠BAC=∠PAM=90∘，
在 Rt△APM 中，AP=AM，∠PAM=90∘，
∴PM=2AP，
∵∠ACQ=∠ACM=45∘，
∴∠PCM=90∘，
在 Rt△PCM 中，∠PCM=90∘，
∴PC2+CM2=PM2，
∴PC2+BP2=2AP2．
28. （1） ④
【解析】① D 点在直线 AE 上，故 D 点不是 △ABC 关于顶点 B 的均分点．
② D 点在直线 AE 上，故 D 点不是 △ABC 关于顶点 B 的均分点．
③ ∠BAE=∠CAE 不能推出 AE=EC，即不能说明 S△ABE=S△CBE，故不能证明 D 点是 △ABC 关于顶点 B 的均分点．
④由 AE=EC 可知 S△ABE=S△CBE，所以 D 点是 △ABC 关于顶点 B 的均分点．
（2） 60∘≤∠BPC≤90∘．
【解析】如图，
E 为 BC 中点，BE=1，
且 AB=AC，可知 AE⊥BC，
点 P 在线段 AE 上，若要 2≤BP≤2，则
当 BP=2 时，∠BPE=45∘，∠BPC=2×45∘=90∘，
当 BP=2 时，∠BPE=30∘，∠BPC=2×30∘=60∘，
所以 60∘≤∠BPC≤90∘．
（3） ∵D 是 BC 中点，
∴AD=BD=CD=5，（直角三角形斜边中点定理）
又 ∵BP⊥AD，BP=4，
∴PD=52−42=3，AP=5−3=2．
延长 AD，过 C 作 CE⊥AD 交其延长线于点 E，
∵S△ABD=S△ACD，
∴CE=BP=4，Rt△BDP≌Rt△CDE，
DE=DP=3，
故 CP=CE2+PE2=42+2×32=213．