2019-2020学年北京市昌平区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市昌平区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 如图，在 ⊙O 中，∠BOC=80∘，则 ∠A 等于
A. 50∘B. 20∘C. 30∘D. 40∘

3. 将二次函数表达式 y=x2−2x+3 用配方法配成顶点式正确的是
A. y=x−12+2B. y=x+12+4
C. y=x−12−2D. y=x+22−2

4. 如图，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是
A. B.
C. D.

5. 如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在小正方形的顶点上，则 tan∠CAB 的值为
A. 1B. 13C. 12D. 55

6. 如图，反比例函数 y=kx 在第二象限的图象上有一点 A，过点 A 作 AB⊥x 轴于 B，且 S△AOB=2，则 k 的值为
A. −4B. 2C. −2D. 4

7. 已知一个扇形的半径是 2，圆心角是 60∘，则这个扇形的面积是
A. 2π3B. πC. π3D. 2π

8. 在平面直角坐标系中，以点 3,2 为圆心，2 为半径的圆与坐标轴的位置关系为
A. 与 x 轴相离、与 y 轴相切B. 与 x 轴、 y 轴都相离
C. 与 x 轴相切、与 y 轴相离D. 与 x 轴、 y 轴都相切

9. 已知点 A2,y1，Bm,y2 是反比例函数 y=kx（k>0）的图象上的两点，且 y1A. −6B. −1C. 1D. 3

10. 如图，点 A，B，C，D，E 为 ⊙O 的五等分点，动点 M 从圆心 O 出发，沿 线段OA→劣弧AC→线段CO 的路线做匀速运动，设运动的时间为 t，∠DME 的度数为 y，则下列图象中表示 y 与 t 之间函数关系最恰当的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 已知 sinA=32，则锐角 A 的度数是 ．

12. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，E 为 DC 延长线上一点，∠A=70∘，则 ∠BCE 的度数为 ．

13. 将抛物线 y=2x2 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物线的表达式为 ．

14. 如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足是 E，∠A=22.5∘，OC=4，CD 的长为 ．

15. 《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括 246 个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何?”这个问题可以描述为：如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，勾为 AC 长 8 步，股为 BC 长 15 步，问 △ABC 的内切圆 ⊙O 直径是多少步?”根据题意可得 ⊙O 的直径为 步．

16. 如图，Rt△ABC 中，已知 ∠C=90∘，∠B=55∘，点 D 在边 BC 上，BD=2CD．把线段 BD 绕着点 D 逆时针旋转 α0<α<180 度后，如果点 B 恰好落在 Rt△ABC 的边上，那么 α= ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：2sin30∘−4sin45∘⋅cs45∘+tan260∘．

18. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“昌”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少?
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB 于 D，如果 AC=25，且 tan∠ACD=2．求 AB 的长．

20. 一个二次函数图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如表：
x⋯−5−4−3−2−1012⋯y⋯−720524924m0⋯
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求 m 的值．

21. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，若 ⊙O 的半径为 6，∠B=60∘，求 AC 的长．

22. 一个圆形零件的部分碎片如图所示．请你利用尺规作图找到圆心 O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

23. 昌平区南环路大桥位于南环路东段，该桥设计新颖独特，悬索和全钢结构桥体轻盈、通透，恰好与东沙河湿地生态恢复工程及龙山、蟒山等人文、自然景观相呼应；首创的两主塔间和无上横梁的设计，使大桥整体有一种开放、升腾的气势，预示昌平区社会经济的蓬勃发展，绚丽的夜景照明设计更是光耀水天，使得南环路大桥不仅是昌平新城的交通枢纽，更是一座名副其实的景观大桥，今后也将成为北京的一个新的旅游景点，成为昌平地区标志性建筑．某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在 B 点测得顶端 D 的仰角 ∠DBA=30∘，向前走了 50 米到达 C 点后，在 C 点测得顶端 D 的仰角 ∠DCA=45∘，点 A，C，B 在同一直线上，求南环大桥的高度 AD．（结果保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y=mx 的图象过点 A6,1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点 A 的直线与反比例函数 y=mx 的图象的另一个交点为 B，与 y 轴交于点 P，若 AP=3PB，求点 B 的坐标．

25. 如图，以 Rt△ABC 的 AC 边为直径作 ⊙O 交斜边 AB 于点 E，连接 EO 并延长交 BC 的延长线于点 D，点 F 为 BC 的中点，连接 EF 和 AD．
（1）求证：EF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ⊙O 的半径为 2，∠EAC=60∘，求 AD 的长．

26. 有这样一个问题：探究函数 y=x22x−2 的图象与性质．
小文根据学习函数的经验，对函数 y=x22x−2 的图象与性质进行了探究．下面是小文的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=x22x−2 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）表是 y 与 x 的几组对应值；
x⋯−3−2−1012710131032234⋯y⋯−98−23−140−14−496016960942m83⋯
则 m 的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）： ．

27. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为 1,0．
（1）在图 1 中画出 △ABC 关于 x 轴对称的 △A1B1C1；
（2）在图 1 中画出将 △ABC 绕原点 O 按逆时针方向旋转 90∘ 所得的 △A2B2C2；
（3）在图 2 中，以点 O 为位似中心，将 △ABC 放大，使放大后的 △A3B3C3 与 △ABC 的对应边的比为 2:1（画出一种即可）．直接写出点 A 的对应点 A3 的坐标．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−2x2+bx+c 经过点 A0,2，B3,−4．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点 B 关于原点的对称点为 C，点 D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 G（包含 A，B 两点）．若直线 CD 与图象 G 有公共点，结合函数图象，求点 D 纵坐标 t 的取值范围．

29. 如图 1，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，点 P 为 △ABC 内一点．
（1）连接 PB，PC，将 △BCP 沿射线 CA 方向平移，得到 △DAE，点 B，C，P 的对应点分别为点 D，A，E，连接 CE．
①依题意，请在图 2 中补全图形；
②如果 BP⊥CE，BP=3，AB=6，求 CE 的长．
（2）如图 3，连接 PA，PB，PC，求 PA+PB+PC 的最小值．
小慧的作法是：以点 A 为旋转中心，将 △ABP 顺时针旋转 60∘ 得到 △AMN，那么就将 PA+PB+PC 的值转化为 CP+PM+MN 的值，连接 CN，当点 P 落在 CN 上时，此题可解．
请你参考小慧的思路，在图 3 中证明 PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直接写出当 AC=BC=4 时，PA+PB+PC 的最小值．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. A
4. D
5. C
6. A
7. A
8. C
9. C
10. B
第二部分
11. 60∘
12. 70∘
13. y=2x−32+2
14. 42
15. 6
16. 70 或 120
第三部分
17. 2sin30∘−4sin45∘⋅cs45∘+tan260∘=2×12−4×22×22+32=1−2+3=2.
18. （1） 从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为 14．
（2） 画树状图为：
共有 12 种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的结果数为 2，
所以取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率为 212=16．
19. 在 Rt△ABC 中，
∵ ∠ACB=90∘，CD⊥AB，
∴ ∠B=90∘−∠A，∠ACD=90∘−∠A，
∴ ∠B=∠ACD，
∵ tan∠ACD=2，
∴ tanB=ACBC=2，
∴ BC=5，
由勾股定理得 AB=5．
20. （1） 设这个二次函数的表达式为 y=ax−h2+k．
依题意可知，顶点为 −1,92，
∴y=ax+12+92．
∵ 二次函数经过 0,4，
∴4=a×0+12+92．
∴a=−12．
∴ 这个二次函数的表达式为 y=−12x+12+92．
（2） 当 x=1 时，y=−12×4+92=52，
即 m=52．
21. 如图，作直径 AD，连接 CD．
∴∠ACD=90∘．
∵∠B=60∘，
∴∠D=∠B=60∘．
∵⊙O 的半径为 6，
∴AD=12．
在 Rt△ACD 中，∠CAD=30∘，
∴CD=6．
∴AC=63．
22. 如图，点 O 即为所求．
23. 由题意知，在 Rt△ACD 中，∠CAD=90∘，∠DCA=45∘，
∴ AC=AD．
设 AC=AD=x，
在 Rt△ABD 中，
∵ ∠BAD=90∘，∠DBA=30∘，
∴ BD=2AD=2x，
∴ AB=3x，
∴ BC=3−1x．
∵ BC=50，
∴ 3−1x=50，
∴ x≈68．
∴ 南环大桥的高度 AD 约为 68 米．
24. （1） 反比例函数 y=mx 的图象过点 A6,1，
所以 m=6×1=6，
所以反比例函数的表达式为 y=6x．
（2） 过 A 点作 AM⊥y 轴于点 M，AM=6，作 BN⊥y 轴于点 N，则 AM∥BN，如图所示．
因为 AM∥BN，
所以 △BPN∽△APM，
所以 BNAM=BPAP=BP3BP=13，
因为 AM=6，
所以 BN=2，
所以 B 点横坐标为 2 或 −2，
所以 B 点坐标为 2,3 或 −2,−3．
25. （1） 连接 CE，如图所示：
∵ AC 为 ⊙O 的直径，
∴ ∠AEC=90∘．
∴ ∠BEC=90∘．
∵ 点 F 为 BC 的中点，
∴ EF=BF=CF．
∴ ∠FEC=∠FCE．
∵ OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE．
∵ ∠FCE+∠OCE=∠ACB=90∘，
∴ ∠FEC+∠OEC=∠OEF=90∘．
∴ EF 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵ OA=OE，∠EAC=60∘，
∴ △AOE 是等边三角形．
∴ ∠AOE=60∘，
∴ ∠COD=∠AOE=60∘．
∵ ⊙O 的半径为 2，
∴ OA=OC=2，
在 Rt△OCD 中，
∵ ∠OCD=90∘，∠COD=60∘，
∴ ∠ODC=30∘．
∴ OD=2OC=4，
∴ CD=23．
在 Rt△ACD 中，
∵ ∠ACD=90∘，AC=4，CD=23．
∴ AD=AC2+CD2=27．
26. （1） x≠1
（2） 94
（3） 利用描点法可画出函数图象，如图：
（4） 图象有两个分支，关于点 1,1 中心对称（答案不唯一）
27. （1） 如图 1，△A1B1C1 为所作．
（2） 如图 2，△A2B2C2 为所作．
（3） 如图 3，△A3B3C3 为所作，此时点 A 的对应点 A3 的坐标是 −4,−4．
28. （1） 将点 A0,2，B3,−4 代入抛物线 y=−2x2+bx+c 得 c=2,−18+3b+c=−4,
解得：b=4,c=2.
∴ 抛物线的表达式为 y=−2x2+4x+2，
对称轴为直线 x=1．
（2） 由题意得 C−3,4，二次函数 y=−2x2+4x+2 的最大值为 4．
由函数图象得出 D 点纵坐标最大值为 4．
∵ 点 B 与点 C 关于原点对称，
∴ 设直线 BC 的表达式为 y=kx，
将点 B 或点 C 的坐标代入得，k=−43．
∴ 直线 BC 的表达式为 y=−43x．
当 x=1 时，y=−43．
∴t 的范围为 −43≤t≤4．
29. （1） ①补全图形如图 1 所示；
②如图 2，连接 BD，CD．
∵ △BCP 沿射线 CA 方向平移，得到 △DAE，
∴ BC∥AD 且 BC=AD，BP∥DE，BP=DE，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ 四边形 BCAD 是矩形，
∴ CD=AB=6，
∵ BP=3，
∴ DE=3，
∵ BP⊥CE，BP∥DE，
∴ DE⊥CE，
∴ 在 Rt△DCE 中，CE=CD2−DE2=36−9=27=33．
（2） 如图 3 所示，
以点 A 为旋转中心，将 △ABP 顺时针旋转 60∘ 得到 △AMN，连接 BN．
由旋转可得，△AMN≌△APB，∠PAM=60∘=∠BAN，
∴ MN=BP，PA=AM，AB=AN，
∴ △PAM，△ABN 都是等边三角形，
∴ PA=PM，
∴ PA+PB+PC=CP+PM+MN，
当 AC=BC=4 时，AB=42，
当 C，P，M，N 四点共线时，由 CA=CB，NA=NB 可得 CN 垂直平分 AB，
∴ AQ=12AB=22=CQ，
∴ NQ=3AQ=26，
∴ 此时 CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=22+26．