2022版高考数学大一轮复习作业本60《几何概型》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习作业本60《几何概型》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是( )
A.eq \f(1,14) B.eq \f(1,12) C.eq \f(1,7) D.eq \f(1,6)
已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为( )
A.eq \f(π,4) B.1－eq \f(π,4) C.eq \f(π,8) D.1－eq \f(π,8)
如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )

若实数k∈[－3,3]，则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－eq \f(5,4)k=0相切的概率等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使eq \r(x2＋y2)≤1成立的概率为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,5)
在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“lg0.5(4x－3)≥0”发生的概率为( ),
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4),
如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)，则以x，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为( ),
A.1－eq \f(π,4) B.1－eq \f(π,6) C.1－eq \f(π,3) D.eq \f(π,12)
在正三棱锥S－ABC内任取一点P，使得VP－ABC＜eq \f(1,2)VS－ABC的概率是( )
A.eq \f(7,8) B.eq \f(3,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8 g圆形金质纪念币，直径22 mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积是( )
A.eq \f(726π,5) mm2 B.eq \f(363π,10) mm2 C.eq \f(363π,5) mm2 D.eq \f(363π,20) mm2
如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在弧AB上任取一点C作射线OC，
则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是( A )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,6)
已知函数f(x)=x2＋tx＋t，∀x∈R，f(x)>0，函数g(x)=3x2－2(t＋1)x＋t，则“∃a，b∈(0,1)，使得g(a)=g(b)=0”为真命题的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)
如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y=x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,5)
二、填空题
在不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________.
若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3=0与x轴，y轴围成的三角形的面积小于eq \f(9,8)的概率为________.
已知圆C：(x－2)2＋y2=2，直线l：y=kx，其中k为[－eq \r(3)，eq \r(3)]上的任意一个数，
则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为 .
在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________.
\s 0 参考答案
答案为：D.
解析：由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5=240分钟，
即4个小时，所以所求的概率为eq \f(4,24)=eq \f(1,6)，故选D.
答案为：D.
解析：P=eq \f(4×4×sin150°－π×12,4×4×sin150°)=1－eq \f(π,8).
答案为：A
解析：设椭圆的面积为S，则eq \f(S,4×6)=eq \f(300－96,300)，故S=16.32.
答案为：D
解析：由点A在圆外可得k＜0，由题中方程表示圆可得k＞－1或k＜－4，
所以－1＜k＜0，故所求概率为eq \f(1,6).故选D.
答案为：B
解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，
使得eq \r(x2＋y2)≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的eq \f(1,4)与x轴正半轴，
y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P=eq \f(\f(π,4),1)=eq \f(π,4).故选B.
答案为：D.
解析：因为lg0.5(4x－3)≥0，所以0＜4x－3≤1，即eq \f(3,4)＜x≤1，
所以所求概率P=eq \f(1－\f(3,4),1－0)=eq \f(1,4).故选D.,
答案为：A,解析：连接AC，首先由x＋y＞1得构成三角形的点P在△ABC内，
若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cs α=eq \f(x2＋y2－12,2xy)＞0，
x2＋y2＞1，即点P在以原点为圆心，1为半径的圆外.
∴点P在边AB，BC及圆弧AC围成的区域内.∴所求概率为eq \f(12－\f(π,4)×12,12)=1－eq \f(π,4).故选A.
答案为：A
解析：如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点，
则满足条件的点P应在棱台DEF－ABC内，而S△DEF=eq \f(1,4)S△ABC，
∴VS－DEF=eq \f(1,8)VS－ABC.∴P=eq \f(VDEF－ABC,VS－ABC)=eq \f(7,8).故选A.
答案为：B.
解析：设军旗的面积为a mm2，则有eq \f(a,π·\f(22,2)2)=eq \f(30,100)，解得a=eq \f(363π,10)，故选B.
答案为：A.
解析：记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，
如图，记 eq \\ac(AB,\s\up15(︵))的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON=∠BOM=∠MON=30°，
则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)=eq \f(∠MON,∠AOB)=eq \f(30°,90°)=eq \f(1,3)，故选A.
答案为：C.
解析：∵函数f(x)=x2＋tx＋t，∀x∈R，f(x)>0，∴对于x2＋tx＋t=0，
Δ=t2－4t<0，∴0由“∃a，b∈(0,1)，使得g(a)=g(b)=0”为真命题，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<\f(t＋1,3)<1，,g0＝t>0，,g1＝3－2t＋1＋t>0，,Δ＝4t＋12－12t>0，))解得0∴“∃a，b∈(0,1)，使得g(a)=g(b)=0”为真命题的概率是eq \f(1－0,4－0)=eq \f(1,4).
答案为：C
解析：由题意可知，阴影部分的面积S阴影= SKIPIF 1 < 0 dx=eq \f(1,3)x3eq \\al(1,0)=eq \f(1,3)，又正方形的面积S=1，
故质点落在图中阴影区域的概率P=eq \f(\f(1,3),1)=eq \f(1,3).故选C.
答案为：eq \f(2,9).
解析：画出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，
因为S△ABC=eq \f(1,2)×3×eq \f(3,2)=eq \f(9,4)，S△AOD=eq \f(1,2)×1×1=eq \f(1,2)，
所以点P恰好落在第二象限的概率为 SKIPIF 1 < 0 =eq \f(\f(1,2),\f(9,4))=eq \f(2,9).
答案为：eq \f(2,3).
解析：对于直线方程(m＋2)x＋(3－m)y－3=0，令x=0，得y=eq \f(3,3－m)；令y=0，得x=eq \f(3,m＋2).
由题意可得eq \f(1,2)·|eq \f(3,m＋2)|·|eq \f(3,3－m)|＜eq \f(9,8)，因为m∈(0,3)，所以解得0＜m＜2，
由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是eq \f(2,3).
答案为：1－eq \f(\r(3),3).
解析：当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d=eq \f(|2k|,\r(k2＋1))>eq \r(2)，解得k>1或k<－1，又k∈[－eq \r(3)，eq \r(3)]，所以－eq \r(3)≤k<－1或1故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P=eq \f(\r(3)－1＋－1＋\r(3),2\r(3))=eq \f(3－\r(3),3).
答案为：eq \f(1,2).
解析：设AD=x，AB=y，则由三角形相似可得eq \f(x,a)=eq \f(a－y,a)，解得y=a－x，
所以矩形的面积S=xy=x(a－x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋a－x,2)))2=eq \f(a2,4)，当且仅当x=a－x，即x=eq \f(a,2)时，
S取得最大值eq \f(a2,4)，所以该点取自矩形内的最大概率为eq \f(\f(a2,4),\f(1,2)×a×a)=eq \f(1,2).