2022版高考数学大一轮复习作业本48《双曲线》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习作业本48《双曲线》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知F为双曲线C：x2－my2=3m(m＞0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线距离为( )
A.eq \r(3) B.3 C.eq \r(3)m D.3m
双曲线eq \f(x2,3)－y2=1的焦点坐标是( )
A.(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0) B.(－2,0)，(2,0)
C.(0，－eq \r(2))，(0，eq \r(2)) D.(0，－2)，(0,2)
已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)=1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)=1 C.eq \f(y2,3)－eq \f(x2,12)=1 D.eq \f(y2,12)－eq \f(x2,3)=1
设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别为A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±eq \f(1,2) B.±eq \f(\r(2),2) C.±1 D.±eq \r(2)
若双曲线C1：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)=1与C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4eq \r(5)，则b=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，
则C的方程为( )
A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)=1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)=1 C.eq \f(x2,80)－eq \f(y2,20)=1 D.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,80)=1
已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)=1(b＞0)的离心率等于eq \f(\r(3),3)b，则该双曲线的焦距为( )
A.2eq \r(5) B.2eq \r(6) C.6 D.8
已知双曲线9y2－m2x2=1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为eq \f(1,5)，则m=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)=1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)=1 C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)=1
设F1、F2分别为双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
已知A，B分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点.若双曲线C的离心率为2，PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，则k1k2k3的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),9))) B.(0，eq \r(3)) C.(0,3eq \r(3)) D.(0,8)
已知P是双曲线eq \f(x2,3)－y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为点A，B，则eq \(PA,\s\up15(→))·eq \(PB,\s\up15(→))的值是( )
A.－eq \f(3,8) B.eq \f(3,16) C.－eq \f(\r(3),8) D.不能确定
二、填空题
双曲线T：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)=1(a＞0，b＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则T的实轴长等于__________.
若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的eq \f(1,4)，则该双曲线的离心率为__________.
已知F1(－c,0)、F2(c,0)为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过双曲线C的左焦点的直线与双曲线C的左支交于Q，R两点(Q在第二象限内)，连接RO(O为坐标原点)并延长交C的右支于点P，若|F1P|=|F1Q|，∠F1PF2=eq \f(2,3)π，则双曲线C的离心率为 .
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为 .
\s 0 参考答案
答案为：A；
解析：由题意知，双曲线的标准方程为eq \f(x2,3m)－eq \f(y2,3)=1，其中a2=3m，b2=3，
故c=eq \r(a2＋b2)=eq \r(3m＋3)，
不妨取F(eq \r(3m＋3)，0)，一条渐近线为y=eq \f(1,\r(m)) x，化成一般式即为x－eq \r(m)y=0，
由点到直线的距离公式可得d=eq \f(|\r(3)·\r(m＋1)|,\r(1＋－\r(m)2))=eq \r(3)，故选A.
答案为：B.
解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2=a2＋b2=3＋1=4，所以c=2，
故焦点坐标为(－2,0)，(2,0).故选B.
答案为：C.
解析：由题意，设双曲线C的方程为eq \f(y2,4)－x2=λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，
则eq \f(22,4)－22=λ，解得λ=－3，所以双曲线C的方程为eq \f(y2,4)－x2=－3，即eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)=1.
答案为：C.
解析：由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a))).
∵A1B⊥A2C，∴eq \f(\f(b2,a),c＋a)·eq \f(－\f(b2,a),c－a)=－1，整理得a=b.
∵渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x，即y=±x，∴渐近线的斜率为±1.
答案为：B
解析：由题意得eq \f(b,a)=2⇒b=2a，C2的焦距2c=4eq \r(5)⇒c=eq \r(a2＋b2)=2 eq \r(5)⇒b=4.故选B.
答案为：A
解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝25，,1＝\f(b,a)×2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝20，,b2＝5，))∴双曲线C的方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)=1.
答案为：D
解析：设双曲线的焦距为2c.由已知得eq \f(c,2)=eq \f(\r(3),3)b，又c2=4＋b2，解得c=4，
则该双曲线的焦距为8.
答案为：D
解析：由题意知双曲线的一个顶点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，一条渐近线的方程为mx－3y=0，
则顶点到渐近线的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)×3)),\r(m2＋9))=eq \f(1,5)， 解得m=4.
答案为：C
解析：由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r=eq \r(32＋42)=5，
故c=5，a2＋b2=25，又双曲线的一条渐近线y=eq \f(b,a)x过点(3,4)，故3b=4a，
可解得b=4，a=3.故选C.
答案为：D；
解析：连接PF2，OT，则有|MO|=eq \f(1,2)|PF2|=eq \f(1,2)(|PF1|－2a)=eq \f(1,2)(|PF1|－6)
=eq \f(1,2)|PF1|－3，|MT|=eq \f(1,2)·|PF1|－|F1T|=eq \f(1,2)|PF1|－eq \r(c2－32)=eq \f(1,2)|PF1|－4，
于是有|MO|－|MT|=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|PF1|－3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|PF1|－4))=1，故选D.
答案为：C
解析：因为e=eq \f(c,a)=2，所以b=eq \r(3)a.设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，
则eq \f(x\\al(2,0),a2)－eq \f(y\\al(2,0),b2)=1，k1·k2=eq \f(y0,x0＋a)·eq \f(y0,x0－a)=eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)=eq \f(b2,a2)=3.
又双曲线的渐近线方程为y=±eq \r(3)x，
所以0＜k3＜eq \r(3).所以0＜k1k2k3＜3 eq \r(3).故选C.
答案为：A
解析：设P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线方程分别是eq \f(x,\r(3))－y=0，eq \f(x,\r(3))＋y=0，
所以可取|PA|=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x0,\r(3))－y0)),\r(\f(1,3)＋1))，|PB|=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x0,\r(3))＋y0)),\r(\f(1,3)＋1)).
又cs∠APB=－cs∠AOB=－cs 2∠AOx=－cseq \f(π,3)=－eq \f(1,2)，
所以eq \(PA,\s\up15(→))·eq \(PB,\s\up15(→))=|eq \(PA,\s\up15(→))|·|eq \(PB,\s\up15(→))|·cs∠APB=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),3)－y\\al(2,0))),\f(4,3))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))=eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))=－eq \f(3,8).故选A.
答案为：8.
解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y=eq \f(a,b)x，即ax－by=0的距离为eq \f(|5b|,\r(a2＋b2))=eq \f(5b,c)=b=3，
所以a=4,2a=8.
答案为：eq \f(2\r(3),3).
解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay=0，一个焦点坐标为(c,0).
由题意得eq \f(|bc－a×0|,\r(b2＋a2))=eq \f(1,4)×2c.所以c=2b，a=eq \r(c2－b2)=eq \r(3)b，所以e=eq \f(c,a)=eq \f(2,\r(3))=eq \f(2\r(3),3).
答案为：eq \f(\r(57),6).
解析：如图，设|PF1|=x，则|PF2|=x－2a，作Q关于原点对称的点S，连接PS，RS，SF1.
因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO|=|OR|，S在双曲线上，
所以四边形PSRQ是平行四边形，根据对称性知，F2在线段PS上，|F2S|=|QF1|=x，
则∠F1PS=eq \f(2π,3)，根据双曲线的定义，有|F1S|=x＋2a，所以在△PF1S中，
由余弦定理得(x＋2a)2=x2＋(2x－2a)2－2·x(2x－2a)·（- eq \f(1,2)），解得x=eq \f(7,3)a，
所以|PF2|=eq \f(1,3)a，所以在△PF1F2中，
由余弦定理得4c2=（eq \f(7,3)a）2＋（eq \f(1,3)a）2－2×（- eq \f(1,2)）×eq \f(7,3)a×eq \f(1,3)a，整理可得e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(57),6).
答案为：eq \f(4,3).
解析：设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，又△APQ的一个内角为60°，
所以△APQ为正三角形，则∠PFx=60°，所以PF=AF=a＋c，∴PF1=3a＋c，
在△PFF1中，由余弦定理可得PFeq \\al(2,1)=PF2＋FFeq \\al(2,1)－2PF·FF1cs120°.
故3c2－ac－4a2=0，整理得3e2－e－4=0，解得e=eq \f(4,3).