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2022版高考数学大一轮复习作业本47《椭圆》(含答案详解)
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这是一份2022版高考数学大一轮复习作业本47《椭圆》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)=1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
“2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.5
曲线C1：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1与曲线C2：eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)=1(k<9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线eq \f(x2,m)＋y2=1的离心率为( )
A.eq \f(\r(30),6) B.eq \r(7) C.eq \f(\r(30),6)或eq \r(7) D.eq \f(5,6)或eq \r(7)
已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|=( )
A.4 B.6 C.8 D.12
焦点在x轴上的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq \f(b,3)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，
∠PF1F2=30°，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
椭圆ax2＋by2=1(a＞0，b＞0)与直线y=1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为eq \f(\r(3),2)，则eq \f(b,a)的值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2 \r(3),3) C.eq \f(9 \r(3),2) D.eq \f(2 \r(3),27)
设F1，F2为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，
则eq \f(|PF2|,|PF1|)的值为( )
A.eq \f(5,14) B.eq \f(5,13) C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,9)
已知直线l：y=kx＋2过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2=4截得的弦长为L.若L≥eq \f(4\r(5),5)，则椭圆离心率e的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2 \r(5),5))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3 \r(5),5))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4 \r(5),5)))
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，
在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3－\r(5),2) C.eq \f(－1＋\r(5),2) D.eq \f(\r(3)－1,2)
二、填空题
已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)=1(0 焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________.
已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，
且eq \(PF1,\s\up15(→))·eq \(PF2,\s\up15(→))=c2，则此椭圆离心率的取值范围是__________.
椭圆eq \f(x2,4)＋y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点.若∠F1PF2为钝角，
则点P的横坐标的取值范围是__________.
\s 0 参考答案
答案为：C
解析：当m>4时，m－4=1，∴m=5；当0综上，m的值为5或3.
答案为：B
解析：若eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)=1表示椭圆，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))∴2故“2 答案为：A.
解析：由题意知|OM|=eq \f(1,2)|PF2|=3，∴|PF2|=6，∴|PF1|=2a－|PF2|=10－6=4.
答案为：D.
解析：因为ceq \\al(2,1)=25－9=16，ceq \\al(2,2)=(25－k)－(9－k)=16，所以c1=c2，
所以两个曲线的焦距相等.
答案为：C.
解析：由题意知m2=36，解得m=±6.当m=6时，该圆锥曲线表示椭圆，
此时a=eq \r(6)，b=1，c=eq \r(5)，则e=eq \f(\r(30),6)；
当m=－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a=1，b=eq \r(6)，c=eq \r(7)，则e=eq \r(7).故选C.
答案为：A.
解析：由|PF1|＋|PF2|=4，
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs60°=|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|=12，
所以|PF1|·|PF2|=4，故选A.
答案为：C.
解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，
又由三角形面积公式得eq \f(1,2)×2c·b=eq \f(1,2)(2a＋2c)·eq \f(b,3)，得a=2c，即e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2)，故选C.
答案为：D
解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|=1，因为∠PF1F2=30°，所以|PF1|=2，|F1F2|=eq \r(3).
故e=eq \f(2c,2a)=eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)=eq \f(\r(3),3).故选D.
答案为：B
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则axeq \\al(2,1)＋byeq \\al(2,1)=1，axeq \\al(2,2)＋byeq \\al(2,2)=1，
即axeq \\al(2,1)－axeq \\al(2,2)=－(byeq \\al(2,1)－byeq \\al(2,2))，eq \f(by\\al(2,1)－by\\al(2,2),ax\\al(2,1)－ax\\al(2,2))=－1，eq \f(by1－y2y1＋y2,ax1－x2x1＋x2)=－1，
∴eq \f(b,a)×(－1)×eq \f(\r(3),2)=－1.∴eq \f(b,a)=eq \f(2 \r(3),3).故选B.
答案为：B；
解析：由题意知a=3，b=eq \r(5)，c=2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，
∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|=eq \f(b2,a)=eq \f(5,3).又∵|PF1|＋|PF2|=2a=6，
∴|PF1|=2a－|PF2|=eq \f(13,3)，∴eq \f(|PF2|,|PF1|)=eq \f(5,3)×eq \f(3,13)=eq \f(5,13)，故选B.
答案为：B
解析：由题意知b=2，kc=2. 设圆心到直线l的距离为d，
则L=2eq \r(4－d2)≥eq \f(4 \r(5),5)，解得d2≤eq \f(16,5).
又因为d=eq \f(2,\r(1＋k2))，所以eq \f(1,1＋k2)≤eq \f(4,5)，解得k2≥eq \f(1,4).
于是e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(c2,b2＋c2)=eq \f(1,1＋k2)，所以0＜e2≤eq \f(4,5)，解得0＜e≤eq \f(2 \r(5),5).故选B.
答案为：B.
解析：如图，由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，
由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，
线段F1F2为直径的圆x2＋y2=c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP=c，
即点O到直线AB的距离为c.
又直线AB的方程为y=eq \f(b,a)x＋b，整理得bx－ay＋ab=0，
点O到直线AB的距离d=eq \f(ab,\r(b2＋a2))=c，
两边同时平方整理得，a2b2=c2(a2＋b2)=(a2－b2)(a2＋b2)=a4－b4，可得b4＋a2b2－a4=0，
两边同时除以a4，得(eq \f(b2,a2))2＋eq \f(b2,a2)－1=0，可得eq \f(b2,a2)=eq \f(－1＋\r(5),2)，
则e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(a2－b2,a2)=1－eq \f(b2,a2)=1－eq \f(－1＋\r(5),2)=eq \f(3－\r(5),2)，故选B.
答案为：eq \r(3).
解析：由椭圆的方程可知a=2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|=4a=8，
所以|AB|=8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，
则eq \f(2b2,a)=3，所以b2=3，即b=eq \r(3).
答案为：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)=1.
解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c＝8，,\f(c,a)＝0.8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,c＝4，))又b2=a2－c2，∴b2=9.∴b=3.
当焦点在x轴上时，椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1；
当焦点在y轴上时，椭圆的方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)=1.
答案为：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).
解析：设P(x，y)，则eq \(PF1,\s\up15(→))·eq \(PF2,\s\up15(→))=(－c－x，－y)·(c－x，－y)=x2－c2＋y2=c2，①
将y2=b2－eq \f(b2,a2)x2代入①式，解得x2=eq \f(2c2－b2a2,c2)=eq \f(3c2－a2a2,c2)，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2.∴e=eq \f(c,a)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).
答案为：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3))).
解析：设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则eq \(F1P,\s\up15(→))=(x＋eq \r(3)，y)，eq \(F2P,\s\up15(→))=(x－eq \r(3)，y).
∵∠F1PF2为钝角，∴eq \(F1P,\s\up15(→))·eq \(F2P,\s\up15(→))<0，即x2－3＋y2<0.①
∵y2=1－eq \f(x2,4)，代入①，得x2－3＋1－eq \f(x2,4)<0，即eq \f(3,4)x2<2，∴x2解得－eq \f(2\r(6),3)
一、选择题
椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)=1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
“2
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.5
曲线C1：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1与曲线C2：eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)=1(k<9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线eq \f(x2,m)＋y2=1的离心率为( )
A.eq \f(\r(30),6) B.eq \r(7) C.eq \f(\r(30),6)或eq \r(7) D.eq \f(5,6)或eq \r(7)
已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|=( )
A.4 B.6 C.8 D.12
焦点在x轴上的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq \f(b,3)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，
∠PF1F2=30°，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
椭圆ax2＋by2=1(a＞0，b＞0)与直线y=1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为eq \f(\r(3),2)，则eq \f(b,a)的值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2 \r(3),3) C.eq \f(9 \r(3),2) D.eq \f(2 \r(3),27)
设F1，F2为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，
则eq \f(|PF2|,|PF1|)的值为( )
A.eq \f(5,14) B.eq \f(5,13) C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,9)
已知直线l：y=kx＋2过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2=4截得的弦长为L.若L≥eq \f(4\r(5),5)，则椭圆离心率e的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2 \r(5),5))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3 \r(5),5))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4 \r(5),5)))
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，
在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3－\r(5),2) C.eq \f(－1＋\r(5),2) D.eq \f(\r(3)－1,2)
二、填空题
已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)=1(0
已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，
且eq \(PF1,\s\up15(→))·eq \(PF2,\s\up15(→))=c2，则此椭圆离心率的取值范围是__________.
椭圆eq \f(x2,4)＋y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点.若∠F1PF2为钝角，
则点P的横坐标的取值范围是__________.
\s 0 参考答案
答案为：C
解析：当m>4时，m－4=1，∴m=5；当0
答案为：B
解析：若eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)=1表示椭圆，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))∴2
解析：由题意知|OM|=eq \f(1,2)|PF2|=3，∴|PF2|=6，∴|PF1|=2a－|PF2|=10－6=4.
答案为：D.
解析：因为ceq \\al(2,1)=25－9=16，ceq \\al(2,2)=(25－k)－(9－k)=16，所以c1=c2，
所以两个曲线的焦距相等.
答案为：C.
解析：由题意知m2=36，解得m=±6.当m=6时，该圆锥曲线表示椭圆，
此时a=eq \r(6)，b=1，c=eq \r(5)，则e=eq \f(\r(30),6)；
当m=－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a=1，b=eq \r(6)，c=eq \r(7)，则e=eq \r(7).故选C.
答案为：A.
解析：由|PF1|＋|PF2|=4，
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs60°=|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|=12，
所以|PF1|·|PF2|=4，故选A.
答案为：C.
解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，
又由三角形面积公式得eq \f(1,2)×2c·b=eq \f(1,2)(2a＋2c)·eq \f(b,3)，得a=2c，即e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2)，故选C.
答案为：D
解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|=1，因为∠PF1F2=30°，所以|PF1|=2，|F1F2|=eq \r(3).
故e=eq \f(2c,2a)=eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)=eq \f(\r(3),3).故选D.
答案为：B
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则axeq \\al(2,1)＋byeq \\al(2,1)=1，axeq \\al(2,2)＋byeq \\al(2,2)=1，
即axeq \\al(2,1)－axeq \\al(2,2)=－(byeq \\al(2,1)－byeq \\al(2,2))，eq \f(by\\al(2,1)－by\\al(2,2),ax\\al(2,1)－ax\\al(2,2))=－1，eq \f(by1－y2y1＋y2,ax1－x2x1＋x2)=－1，
∴eq \f(b,a)×(－1)×eq \f(\r(3),2)=－1.∴eq \f(b,a)=eq \f(2 \r(3),3).故选B.
答案为：B；
解析：由题意知a=3，b=eq \r(5)，c=2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，
∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|=eq \f(b2,a)=eq \f(5,3).又∵|PF1|＋|PF2|=2a=6，
∴|PF1|=2a－|PF2|=eq \f(13,3)，∴eq \f(|PF2|,|PF1|)=eq \f(5,3)×eq \f(3,13)=eq \f(5,13)，故选B.
答案为：B
解析：由题意知b=2，kc=2. 设圆心到直线l的距离为d，
则L=2eq \r(4－d2)≥eq \f(4 \r(5),5)，解得d2≤eq \f(16,5).
又因为d=eq \f(2,\r(1＋k2))，所以eq \f(1,1＋k2)≤eq \f(4,5)，解得k2≥eq \f(1,4).
于是e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(c2,b2＋c2)=eq \f(1,1＋k2)，所以0＜e2≤eq \f(4,5)，解得0＜e≤eq \f(2 \r(5),5).故选B.
答案为：B.
解析：如图，由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，
由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，
线段F1F2为直径的圆x2＋y2=c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP=c，
即点O到直线AB的距离为c.
又直线AB的方程为y=eq \f(b,a)x＋b，整理得bx－ay＋ab=0，
点O到直线AB的距离d=eq \f(ab,\r(b2＋a2))=c，
两边同时平方整理得，a2b2=c2(a2＋b2)=(a2－b2)(a2＋b2)=a4－b4，可得b4＋a2b2－a4=0，
两边同时除以a4，得(eq \f(b2,a2))2＋eq \f(b2,a2)－1=0，可得eq \f(b2,a2)=eq \f(－1＋\r(5),2)，
则e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(a2－b2,a2)=1－eq \f(b2,a2)=1－eq \f(－1＋\r(5),2)=eq \f(3－\r(5),2)，故选B.
答案为：eq \r(3).
解析：由椭圆的方程可知a=2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|=4a=8，
所以|AB|=8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，
则eq \f(2b2,a)=3，所以b2=3，即b=eq \r(3).
答案为：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)=1.
解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c＝8，,\f(c,a)＝0.8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,c＝4，))又b2=a2－c2，∴b2=9.∴b=3.
当焦点在x轴上时，椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1；
当焦点在y轴上时，椭圆的方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)=1.
答案为：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).
解析：设P(x，y)，则eq \(PF1,\s\up15(→))·eq \(PF2,\s\up15(→))=(－c－x，－y)·(c－x，－y)=x2－c2＋y2=c2，①
将y2=b2－eq \f(b2,a2)x2代入①式，解得x2=eq \f(2c2－b2a2,c2)=eq \f(3c2－a2a2,c2)，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2.∴e=eq \f(c,a)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).
答案为：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3))).
解析：设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则eq \(F1P,\s\up15(→))=(x＋eq \r(3)，y)，eq \(F2P,\s\up15(→))=(x－eq \r(3)，y).
∵∠F1PF2为钝角，∴eq \(F1P,\s\up15(→))·eq \(F2P,\s\up15(→))<0，即x2－3＋y2<0.①
∵y2=1－eq \f(x2,4)，代入①，得x2－3＋1－eq \f(x2,4)<0，即eq \f(3,4)x2<2，∴x2
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