高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积优秀学案设计

考点24：空间几何体的体积及表面积

【题组一 体积】

1．如图，在四棱锥中，正所在平面与矩形所在平面垂直．

（1）证明：在底面的射影为线段的中点；

2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，点在线段上，且，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，求三棱锥的体积.

3．如图1，为等边三角形，分别为的中点，为的中点，，将沿折起到的位置，使得平面平面，

为的中点，如图2．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

4．如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若是线段上一点，，三棱锥的体积为，求的值.

5．在三棱柱中，，分别为，中点．

（1）求证：面；

（2）若面面， 为正三角形，，，，求四棱锥的体积．

6．如图，在三棱柱中，是棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）若是棱的中点，求三棱锥的体积与三棱柱的体积之比.

7．如图所示，正三棱锥的高为2，点是的中点，点是的中点.

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长.

8．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3.

（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD．

（2）若，求几何体ABCDEF的体积．

【题组二 表面积】

1．如图所示，四棱锥中，平面，，，，．

（1）求证：；

（2）求四棱锥的表面积．

2．如图，在四棱锥中，，，，，平面.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求四棱锥的表面积.

3．如图，在四棱锥中，为等腰三角形的底边中点，平面与等腰梯形所在的平面垂直，，，.

（1）求证：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.

【题组三 求参数】

1．在菱形中，，为线段的中点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）当四棱锥的体积为时，求的值．

2．在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，过的平面与面交于两点.

（1）求证： ；

（2）求证：平面平面；

（3）设，当为何值时四棱锥的体积等于，求的值.

【题组四 求最值】

1．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，，，圆台的侧面积为.若点C，D分别为圆，上的动点且点C，D在平面的同侧.

（1）求证：；

（2）若，则当三棱锥的体积取最大值时，求多面体的体积.

2．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点．

（1）证明：平面；

（2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积．

3．如图，将斜边长为的等腰直角沿斜边上的高折成直二面角，为中点.

（1）求二面角的余弦值；

（2）为线段上一动点，当直线与平面所成的角最大时，求三棱锥外接球的体积.

4．如图所示，在三棱柱中，平面是线段上的动点，是线段上的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，且直线所成角的余弦值为，试指出点在线段上的位置，并求三棱锥的体积.

5．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

（1）若则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？

6．如图，在四棱锥中，平面, ，，，,是线段的中点.

（1）证明：平面

（2）当为何值时，四棱锥的体积最大？并求此最大值

【题组五 历史中的空间几何体】

1．朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何？”大意为现有一个直径为10的球，从上面截一小部分，截面圆周长为8.4，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（    ）（注：）

A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8

2．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（    ）

A． B． C． D．