初中数学苏科版七年级上册6.3 余角 补角 对顶角学案

课题：6.3  余角、补角、对顶角（2）

【学习目标】能够识别对顶角，并能理解对顶角的性质。

【重点难点】理解对顶角概念并知道对顶角性质。

【导学指导】：

一、自主学习

1.如图（下左），∠AOC、∠BOD都是直角，则∠1和∠2的大小关系是          ，理由：              。

2.如图（下右），直线AB、CD相交于点O. ∠1和∠3的大小关系是          ，理由：              。

结论：如图（上右）中的∠1和∠3就是对顶角，它们不仅相等，而且还具有特殊的位置关系：角的两边分别互为                    。

3.如图,直线a、b相交,形成∠1，∠2，∠3，∠4，

∠1和∠3叫做______角，∠2和∠4也是_____角，

对顶角______.为什么?

∵∠1＋∠2=______，∠3＋∠2=______

∴∠1=∠3（               ）（填理由）

如果∠1=50°，请求出∠2、∠3、∠4的度数. 

4.说出下列图中对顶角                             

图(1)中的对顶角有:                                      

图(2)中的对顶角有:                       (1)                (2)   

二、例题评析：

例1  如图，直线AB和CD相交于点O，OE是∠DOB的平分线，如果

∠AOC=70°，求∠EOB的度数。

                                                  O

例2  下列4个图中，哪个图中的∠1和∠2是对顶角？并说明理由。

三、巩固知识

[典型问题]

1.直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠BON＝50°，

求∠BOD的度数．

2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；

（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为　　，∠BOE的补角为　　；

（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．

四基训练

1．如图，∠1和∠2是对顶角的图形有 ( )

A．1个   B．2个   C．3个   D．4个

2．下面说法中，正确的是（ ）

A．相等的两个角是对顶角          

B．有公共顶点的两个角是对顶角

C．如果∠1+∠2+∠3 =180º，那么∠1，∠2，∠3互为补角

D．对顶角的角平分线在同一条直线

3．有下列命题：①同角或等角的补角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角．正确命题的个数是（   ）

A．1个   B．2个   C．3个   D．4个

4.三条直线l1，l2，l3相交于点E，则∠1＋∠2＋∠3等于(　　)　　　

A．90°    B．120°    C．180°    D．360°

5．如图，AB、CD相交于O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是（）

A．∠AOC与∠BOD是对顶角 B．∠AOC与∠COE互为余角

C．∠BOD与∠COE互为余角 D．∠COE与∠BOE互为补角

6如图，其中共有______对对顶角．

7已知，如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠EOC=25°，则∠BOD的度数为　　．

8．如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外．如何测量（运用本章知识）？

9.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.

(1)若∠AOC＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；

(2)若OF平分∠COE，∠AOE＝150°，求∠FOE的度数．

10．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠DOE=90°，

①在∠1，∠2，∠3，∠4中，对顶角有　　，补角有　　，

②若∠1=50°，分别求出∠2、∠3、∠4的度数．

11．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．

（1）写出∠COE的邻补角；

（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；

（3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF和∠FOC的度数．

拓展提升

12.如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝　    　；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　     　；

（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；

（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；

（4）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，

请直接写出∠AOD与∠BOC的大小关系．

课题：6.3  余角、补角、对顶角（2）

【学习目标】能够识别对顶角，并能理解对顶角的性质。

【重点难点】理解对顶角概念并知道对顶角性质。

【导学指导】：

一、自主学习

1.如图（下左），∠AOC、∠BOD都是直角，则∠1和∠2的大小关系是 ∠1=∠2  ，理由：  同角的余角相等    。

2.如图（下右），直线AB、CD相交于点O. ∠1和∠3的大小关系是 ∠1=∠3  ，理由：  同角的补角相等  。

结论：如图（上右）中的∠1和∠3就是对顶角，它们不仅相等，而且还具有特殊的位置关系：角的两边分别互为 反向延长线 。

3.如图,直线a、b相交,形成∠1，∠2，∠3，∠4，

∠1和∠3叫做_对顶_角，∠2和∠4也是_对顶_角，

对顶角__相等____.为什么?

∵∠1＋∠2=_1800_，∠3＋∠2=_1800_

∴∠1=∠3（同角的补角相等 ）

小练习：如果∠1=50°，请求出∠2、∠3、∠4的度数. 

解：∵∠1=50°

∴∠3=∠1=50°（对顶角相等）

∠2=1800-∠1=1800-50°=130°

∴∠4=∠2=130°（对顶角相等）

4.说出下列图中对顶角                             

图(1)中的对顶角有:                                      

  ∠AFD与∠BFG, ∠AFG与∠BFD,                                       

  ∠CGE与∠BGF, ∠CGF与∠BGE.                               

图(2)中的对顶角有:                         (1)                (2) 

∠AME与∠BMF, ∠AMN与∠BME, ∠CNF与∠DNM, ∠CNE与∠DNF,         

二、例题评析：

例1  如图，直线AB和CD相交于点O，OE是∠DOB的平分线，如果

∠AOC=70°，求∠EOB的度数。

解：∠AOC=∠BOD=70°

       ∵ OE是∠DOB的平分线                                

       ∠EOB= ∠BOD=350                

例2  下列4个图中，哪个图中的∠1和∠2是对顶角？并说明理由。

第三个图形中∠1和∠2是对顶角，因为这两个角的边互为反向延长线.

三、巩固知识

[典型问题]

1.直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠BON＝50°，

求∠BOD的度数．

解∵∠MON＝90°．∠BON＝50°，

∴∠AOM＝90°﹣50°＝40°，

∵射线OM平分∠AOC，

∴∠AOC＝40°×2＝80°，

∴∠BOD＝∠AOC＝80°．

2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；

（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为　　，∠BOE的补角为　　；

（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．

解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；

（2）∵∠DOE=∠AOC=70°，∠DOE=∠BOE+∠EOD及∠BOE：∠EOD=2：3，

∴得，

∴，

∴∠BOE=28°，

∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°．

四基训练

1．如图，∠1和∠2是对顶角的图形有 ( A)

A．1个   B．2个   C．3个   D．4个

2．下面说法中，正确的是（ D）

A．相等的两个角是对顶角          

B．有公共顶点的两个角是对顶角

C．如果∠1+∠2+∠3 =180º，那么∠1，∠2，∠3互为补角

D．对顶角的角平分线在同一条直线

3．有下列命题：①同角或等角的补角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角．正确命题的个数是（B）

A．1个   B．2个   C．3个   D．4个

4.三条直线l1，l2，l3相交于点E，则∠1＋∠2＋∠3等于(　C　)　　　

A．90°    B．120°    C．180°    D．360°

5．如图，AB、CD相交于O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是（D）

A．∠AOC与∠BOD是对顶角 B．∠AOC与∠COE互为余角

C．∠BOD与∠COE互为余角 D．∠COE与∠BOE互为补角

6如图，其中共有___4___对对顶角．

7已知，如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠EOC=25°，则∠BOD的度数为　50°　．

8．如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外．如何测量（运用本章知识）？

解：延长AO与BO得到∠AOB的对顶角∠COD，测出∠COD的度数，

则∠AOB=∠COD．

9.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.

(1)若∠AOC＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；

(2)若OF平分∠COE，∠AOE＝150°，求∠FOE的度数．

解：(1)∵∠AOC＝68°，∴∠BOD＝68°.

∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝34°.

∵∠DOF＝90°，∴∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝90°－34°＝56°.

(2)∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE.

∵∠BOE＋∠AOE＝180°，∠COE＋∠DOE＝180°，∴∠COE＝∠AOE＝150°.

∵OF平分∠COE，∴∠FOE＝∠COE＝×150°＝75°.

10．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠DOE=90°，

①在∠1，∠2，∠3，∠4中，对顶角有　∠1和∠2　，补角有　∠1和∠4，∠2和∠4　，

②若∠1=50°，分别求出∠2、∠3、∠4的度数．

解：①在∠1，∠2，∠3，∠4中，对顶角有∠1和∠2，补角有∠1和∠4，∠2和∠4，

②∵∠1=50°，

∴∠2=∠1=50°，∠4=180°﹣∠1=130°，

∵∠DOE=90°，

∴∠EOC=90°，

∴∠3=90°﹣∠1=40°．

11．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．

（1）写出∠COE的邻补角；

（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；

（3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF和∠FOC的度数．

解：（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；

（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；

（3）∵∠BOF=90°，

∴AB⊥EF

∴∠AOF=90°，

又∵∠AOC=∠BOD=60°

∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．

拓展提升

12.如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝　    　；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　     　；

（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；

（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；

（4）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，

请直接写出∠AOD与∠BOC的大小关系．

解：（1）若∠DCE＝35°，∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACE＝90°﹣35°＝55°，

∵∠BCE＝90°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝55°+90°＝145°；

若∠ACB＝140°，∵∠BCE＝90°，∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°，

∵∠ACD＝90°，∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°，

故答案为145°；40°；

（2）∠ACB+∠DCE＝180°，

理由如下：∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+∠BCD，

∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠BCD+∠DCE＝90°+∠BCE＝180°；

（3）∠DAB+∠CAE＝120°，

理由如下：∵∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝60°+∠CAB，

∴∠DAB+∠CAE＝60°+∠CAB+∠CAE＝60°+∠EAB＝120°；

 （4）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由是：

∵∠AOD＝∠DOC+∠COA＝β+∠COA，

∴∠AOD+∠BOC＝β+∠COA+∠BOC＝β+∠AOB＝α+β．