人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课后作业题

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直线与圆锥曲线的位置关系考向一  直线与椭圆的位置关系及交点 1、直线与椭圆的交点个数为________．【答案】法一：联立直线与椭圆方程，消去变量，得 ， ，可得直线与椭圆恒有两个交点，答案为；法二：直线过定点，而点在椭圆内，因此直线 与椭圆的交点个数为 2、不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的取值范围是（     ）A.              B.             C.          D.   【答案】法一：，整理可得：即    法二：从所给含参直线入手可知直线过定点，所以若过定点的直线均与椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入后，即，因为是椭圆，所以，故的取值范围是3、已知以,为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（   ）A．       B．       C．       D．【答案】 C设椭圆方程为．由得，∵直线与椭圆有且仅有一个交点∴可得，∴．4、若椭圆 和连结 两点的线段恒有公共点，则实数的取值范围为（   ）A．  B．  C．  D．【答案】C线段与椭圆有公共点，其等价条件是点在椭圆内或边界上，点在椭圆外或边界上，由此得解之得，故选C．5、判断直线 与椭圆 的位置关系。【答案】联立直线与椭圆的方程，可得 ， ①当 即 或时，直线与椭圆相交②当即 或时，直线与椭圆相切③当 即时，直线与椭圆相离6、已知一条直线与椭圆相切于点，求切线的方程．【答案】设过点的直线的方程为，将其与椭圆的标准方程联立，消去参数可得方程，因为该直线与椭圆相切，所以其判别式，∴该直线方程为，即．7、已知椭圆，，是过点，且相互垂直的两条直线，问实数在什么范围时，直线，都与椭圆有公共点．【答案】设：，则：，与椭圆有公共点有实根，即．同理与椭圆有公共点，于是，即．由于时，，而与必有一个不超过1，这时，不可能都与椭圆有公共点．综上所述，．时，过点存在两条相互垂直的直线，都与椭圆有公共点，又与与与椭圆都有公共点．．  考向二  直线与双曲线的位置关系及交点过点且与双曲线只有一个公共点的直线有______条。答案：设直线方程为联立直线与双曲线方程，得。由得， 直线与双曲线有一个交点；当且时，解得 直线与双曲线有一个交点。共个。另解：本题也可用几何意义解，直线过定点 ，在双曲线两支之间，则与双曲线相切有两条，与渐近线平行有两条，共条。例7．若双曲线与直线有且仅有一个公共点，则这样的直线有______条．【答案】4联立直线与双曲线的方程，消掉得当即时，直线与双曲线有一个交点；当且时，即时，直线与双曲线有一个交点，的值有个，故答案为。另解：本题也可用几何意义解，直线过定点 ，在双曲线两支之间，则与双曲线相切有两条，与渐近线平行有两条，共条。例8．已知两定点 、 ，直线过点且与直线平行，则上满足 的点的个数为（    ）A．0    B．1      C．2     D．无法确定 【答案】B由可知，点的轨迹为以 为焦点，实轴长为的双曲线，问题转化为求直线与双曲线交点个数问题。双曲线方程为，渐近线为。根据条件可得直线的方程为 ，直线与渐近线平行，则满足条件的点只有一个，故选B例9．已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（     ）A.         B.       C.         D.  【答案】C 由可得渐近线方程为：，若过右焦点的直线与右支只有一个交点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即法二：由可知，设直线，联立方程可得：，整理后可得： 当时，，即位于双曲线右支，符合题意当时， 直线与双曲线必有两个交点，设为 因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点 ，即 综上所述：例10．过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若实数使得的直线恰有条，则_______【答案】4由双曲线可得    ，当斜率不存在时，的方程为   为通径，即 若直线斜率存在，不妨设为 ,则设， 联立直线与椭圆方程：消去可得：，整理可得： 可得：或   ①当时，即，则方程①的解为，只有一解，不符题意同理，当，即，则方程①的解为，只有一解，不符题意当且时，则每个方程的解为个或两个，总和无法达到个，不符题意所以若的直线恰有条，只能，方程①解得： 满足条件的直线的方程为：，，已知双曲线，直线：，试讨论实数的取值范围：⑴直线与双曲线有两个公共点；⑵直线与双曲线的两支各有一个公共点；⑶直线与双曲线的右支有两个公共点；⑷直线与双曲线的两支有两个公共点．【答案】将直线与双曲线，化简整理得   （*）⑴ 当，且，直线与双曲线有两个公共点，解得；在方程（*）有两根的情况下，记两根为，则，，⑵ 对应方程有一正根一负根，只需，解得的取值范围为．⑶ 对应方程有两个不同的正根，有，且，，解得：．⑷ 对应方程有两个不同的正根或两个不同的负根，有，且，解得的取值范围为．设双曲线与直线相交于两个不同的点,求双曲线的离心率的取值范围.【答案】由C与相交于两个不同点，故知方程组有两组不同的实根，消去并整理得.所以解得 双曲线的离心率＝，因为所以，且.即离心率的取值范围为∪(，＋∞)．  考向三  直线与抛物线的位置关系及交点 1、直线过点，且与抛物线有且只有一个公共点，这样的直线有______条。【答案】2由题意可知点在抛物线上。过抛物线上一点可做一条切线，以及垂直于准线的一条直线，与抛物线只有一个公共点，共条2、若直线与抛物线有且只有一个公共点,则的值为_________.【答案】-1或03、⑴ 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若，则的值等于______⑵ 抛物线与直线交于两点，其中点的坐标是，设抛物线的焦点，则____【答案】⑴ 。=．⑵ 。将代入抛物线，得，∴．又把代入得，直线方程．由得，，∴．4、已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（     ）A.                  B.  C.             D.  【答案】D 若，则直线与抛物线有公共点，不符题意若，则    ，与椭圆联立方程：   直线与抛物线无公共点或 5、已知点，．若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（     ）A．4        B．3        C．2         D．1【答案】A 直线的方程是设到直线的距离为，，。思路一：平面上到直线的距离为 的所有点的集合，为与直线平行且距离为 的两条直线。所以问题转化为这两条平行直线与抛物线一共有几个交点。求出两条直线方程，分别为以及。分别将两条直线方程与抛物线方程联立，可得，有两解和；， 有两解。两条直线与抛物线共个交点，故有个点满足题意，选A。思路二：设则，或.方程，判别式，方程有两个不等实根；解方程得，，故点的个数为，故选6、已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（     ）A.                  B.  C.             D.  【答案】D 若，则直线与抛物线有公共点，不符题意若，则    ，与椭圆联立方程：   直线与抛物线无公共点或7、已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率为（     ）A.                 B.               C.              D.  【答案】B思路一：从点的坐标出发，因为三点共线，从而可转化为，考虑将向量坐标化，，设，有，所以，设直线，联立抛物线方程消元后可得：，利用韦达定理可得：，再结合，消去即可得，直线，即可得到斜率为思路二：从所给线段关系恰好为焦半径出发，联系抛物线的定义，可考虑向准线引垂线，垂足分别为，便可得到直角梯形，由抛物线定义可知：，将所求斜率转化为直线的倾斜角，即为。不妨设在第一象限。考虑将角放入直角三角形，从而可过作于，则，因为而，且，利用勾股定理可得：，从而，即，当在第四象限时，同理，可得综上所述：8、设斜率为的直线过定点，判断直线与曲线 的位置关系．【答案】依题意，设直线 方程为 。由方程组 可得 ①当 时，此时 ，把它代入，得 。故此时直线与只有一个公共点②当 时，方程 的判别式 若，解得 或 ，此时直线与无公共点；若，解得 或 ，此时直线与有个公共点；若，解得 ，此时直线与有个公共点。综上，当或时，直线与无公共点；当 或时，直线与有个公共点；当时，此时直线与有个公共点。