人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆练习题

椭圆的定义

考向一  椭圆的定义

1、已知F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （    ）

A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆

答案：C

2已知定点，且，动点P满足，则点P的轨迹是（    ）

椭圆        圆         直线          线段

答案：D

3、设定点，，动点满足条件＞，则动点的轨迹是                                           （    ）

A. 椭圆       B. 线段      C. 椭圆或线段或不存在     D. 不存在

答案：C

4、已知，是定点，，动点满足，则点的轨迹是(　　)

A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段

答案：A

5、已知椭圆的焦点是,是椭圆上一动点，如果延长到，使得，那么动点的轨迹是（   ）

A．圆      B．椭圆      C．线段          D．半圆

【答案】A

6、设，动点满足条件，则动点的轨迹是________

A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段

答案：D

解析：第一步：确定，以及
第二步：确定两个数据之间的关系，，所以点的轨迹是椭圆或线段，故选。

7、设点，动点满足条件，则当取什么范围时，的轨迹是椭圆？

答案：

考向二  求椭圆的标准方程

1、椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为  （    ）

A．      B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

已知两个焦点的坐标分别是F1（-8，0），F2（8，0），

可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，

由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，

由a，b，c的关系解得b= =6∴椭圆方程是,故选B

2、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．

答案：

3、已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．

答案：当焦点在轴上时，椭圆的方程为
当焦点在轴上时，椭圆的方程为

4、（1）求焦点的坐标分别为,且过点的椭圆的方程．

（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程．

【答案】⑴⑵．

5、已知圆和圆，作动圆P与圆内切与圆外切求动点P的轨迹方程。

解析：设动圆P与圆切与E点，与圆切与F点，

由题知圆的半径为1，圆的半径为9，由圆与圆相切的性质知

又因为    所以

设其轨迹方程为，

由上分析知    

动点P的轨迹方程

易错警示：容易犯错的地方是弄不清圆与圆相切时，切点与圆心三点共线，想不到去考虑应用椭圆的定义解题。

考向三  椭圆的标准方程

1、已知方程表示椭圆，求的取值范围．

答案：且

解析：由得，且．∴满足条件的的取值范围是，且
本题易出现如下错解：由，得，故的取值范围是
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．

2、已知方程 表示的曲线是焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为(　　)

A．    B．    C．    D．

答案：D

解析： 方程表示焦点在 轴上的椭圆．

解之得 ．
故选 D

备注：此题考查了椭圆的标准方程的概念，根据焦点在 轴上，由此建立关于 的不等式组，解之即得实数 的取值范围．
3、已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围________．

答案：

解析：原方程可表示为：表示焦点在轴上的椭圆，这，解得：或
4、若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是(　　)

A．   B．   

C．   D．

答案：B

解析：由题意可得：方程 表示焦点在 轴上的椭圆．
所以 ， 并且 ．
解得 ．
故选 B

备注：本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在 轴还是在 轴，进而根据焦点在 轴推断出 ， 并且 ，求得 的范围，属基础题．

5、已知方程表示椭圆，求的取值范围．

答案：，且

解析：由得，且．∴满足条件的的取值范围是，且

备注：本题易出现如下错解：由，得，故的取值范围是．
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．

6、 (1) 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是________

 (2) 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为________

(1)答案：

解析：焦点在轴上
又该方程为椭圆方程，
联立解得
(2)答案：

解析：原方程为椭圆方程 有

焦点在轴上
，解得

考向四  线段和与差的最值计算

1、设 分别是椭圆的左、右焦点， 为椭圆上任一点，点的坐标为(6，4)，则的最大值为________．

【答案】15.

【解析】

由椭圆方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(−3,0),F2(3,0)，如图所示，

由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，

∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a−|PF2|=10+(|PM|−|PF2|)⩽10+|MF2|==15，

则|PM|+|PF1|的最大值为15.

故答案为：15.

2、已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为(　　)

A．5          B．7        C．13  D．15

【答案】B

3、已知椭圆的两个焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于两点，若 的最大值为，则的值为(    )

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】由可知，焦点在轴上，由过的直线交椭圆于两点，由椭圆的定义可得

即有,

当垂直轴时最小，值最大，

此时，

4、已知椭圆的右焦点为,是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（　　）

A．         B．      C．       D．

答案：A

解：如图所示，设椭圆的左焦点为，

，

，

，

所以的周长，

当且仅当三点共线时取等号．

所以的周长最大值等于．

故选：A．