高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积教学设计

课程目标

学科素养

A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．

B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．

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1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；

2.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；

3.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积；

4.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1.北京奥运会场馆图

2. 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？

3.学生回答下列公式

矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积

4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？

二、探索新知

探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。

思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

【答案】棱锥的侧面展开图是几个三角形。表面积是侧面展开图的面积加上底面积。

思考3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

【答案】侧面展开图为几个梯形，表面积为侧面几个梯形面积的和再加上上下底面面积。

1.结论： 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．

例1.四面体P-ABCD的各棱长均为a，求它的表面积。

解：因为是正三角形，其边长为a，

所以，

因此，四面体P-ABC 的表面积

2.一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。

3.棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一。。

棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。

思考4：根据台体的特征，如何求台体的体积？

【答案】 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式。

棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作

垂线，这点与垂足之间的距离。

思考5：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？

例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精准到0.01m3）？

解：由题意知

所以这个漏斗的容积。

通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过思考，得到棱柱的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过思考，得到棱锥、棱台的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过例题，熟悉棱柱的表面积的求法，提高学生解决问题的能力。

通过思考，推出棱台的体积公式，提高学生的分析、概括问题的能力。

通过思考，推出棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系，提高学生的分析、概括问题的能力。

通过例题巩固棱柱、棱锥的体积求法，提高解决问题的能力。

三、达标检测

1．判断正误

(1)锥体的体积等于底面积与高之积．(　　)

(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．(　　)

(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.(　　)

【答案】　(1)×　(2)√　(3)√

2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.   D．1

【答案】A　

【解析】三棱锥D1­ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.故选A。

3．已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　D

4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为        ．

【答案】18a2　

【解析】原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1＝a2×6＝a2，所以27个小正方体的表面积是a2×27＝18a2.

5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.

【解析】三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．

故V＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积；

2.棱柱、棱锥、棱台的体积。

五、作业

习题8.3   1,2题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。