北师大新版数学八年级下册专题复习《因式分解》（含答案）

这是一份北师大新版数学八年级下册专题复习《因式分解》（含答案），共38页。试卷主要包含了cm2等内容，欢迎下载使用。
北师大新版数学九年级专题复习《因式分解》
一．选择题（共10小题）
1．（2021春•沙坪坝区校级月考）多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（　　）
A．x（x+3y）2 B．x（x+3y） C．xy（x+3y） D．x（x﹣3y）
2．（2021春•高州市月考）已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2020秋•梁平区期末）已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2018秋•浦东新区期末）下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（　　）
A．x2﹣2x+2 B．2x2﹣mx+1 C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣1
5．（2018秋•海珠区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三条边长，且（a+b+c）（a﹣b）＝0，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．以上均不对
6．（2021春•西湖区校级期中）多项式x2+ax+12分解因式为（x+m）（x+n），其中a，m，n为整数，则a的取值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（2020秋•澄海区期末）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（　　）cm2．
A． B． C．15 D．16
8．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．4
9．设a为实数，且a3+a2﹣a+2＝0，则（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
10．（2019秋•乐清市期末）如果x和y是非零实数，使得|x|+y＝3和|x|y+x3＝0，那么x+y的值是（　　）
A．3 B． C． D．4﹣
二．填空题（共10小题）
11．（2021•常德模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝11，y＝12时，用上述方法产生的密码是　 　（写出一个即可）．
12．（2021春•江北区校级期中）已知a+b＝4，ab＝﹣2，则a3b﹣2a2b2+ab3＝　 　．
13．（2021春•西湖区校级期中）已知多项式x4+mx+n能分解为（x2+px+q）（x2+2x﹣3），则p＝　 　，q＝　 　．
14．（2018春•成都期末）已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝　 　．
15．（2018春•成都期中）若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为　 　．
16．（2017秋•虎林市期末）多项式kx2﹣9xy﹣10y2可分解因式得（mx+2y）（3x﹣5y），则k＝　 　，m＝　 　．
17．（2017春•大邑县期末）已知x2+x＝3，则2015+2x+x2﹣2x3﹣x4＝　 　．
18．（2015春•青羊区校级月考）若a3+3a2+a＝0，求＝　 　．
19．（2019春•西湖区校级月考）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝　 　；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝　 　．
20．（2019春•嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是　 　（写出一个即可）．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•泗水县期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以分解因式为　 　；
（2）若每块小长方形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．

22．（2021春•拱墅区校级期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；则8、16、24这三个数都是奇特数．
（1）填空：32　 　奇特数，2018　 　奇特数．（填“是”或者“不是”）
（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积．

23．（2021春•龙华区期中）（1）分解因式：﹣ax2+6ax﹣9a．
（2）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．
24．（2021春•龙泉驿区期中）综合与实践
下面是某同学对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x﹣10）+25进行因式分解的过程：
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝y（y﹣10）+25（第一步）
＝y2﹣10y+25（第二步）
＝（y﹣5）2（第三步）
＝（x2﹣4x﹣5）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了　 　．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数差的完全平方公式
D．两数和的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为　 　．
（3）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解．
25．（2021春•巴南区期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．
定义：对于三位自然数n，若各位数字都不为0，且百位上的数字与十位上的数字之和恰好能被个位上的数字整除，则称这个三位自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除，所以426是“好数”；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除，所以643不是“好数”．
（1）判断134，614是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位上的数字比十位上的数字大7的所有“好数”．
26．（2021春•九龙坡区校级月考）若一个四位正整数满足，a+b+c+d＝20，则称该数为“0萌数”．
例如：对于四位数3890，因为3+8+9+0＝20，所以3890是“0萌数”；对于四位数2983，因为2+9+8+3＝22≠20，所以2983不是“0萌数”．
（1）最小的“0萌数”是　 　；
（2）判断4579是不是“0萌数”，并说明理由；
（3）若一个四位“0萌数”S，满足S＝1010a+100b+305（1≤a≤9，0≤b≤6，a、b均为整数），请求出所有满足条件的“0萌数”S．
27．（2021春•沙坪坝区校级月考）若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如28＝（6+1）×（6﹣2）＝7×4．
（1）“十字点”为7的“十字数”为　 　；130的“十字点”为　 　；
（2）若b是a的“十字点”，且a能被（b﹣1）整除，其中b为大于2的正整数，求a的值；
（3）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值．
28．（2021春•郫都区校级期中）（1）若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，求解以下问题：
①求p，q的值；
②代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．
（2）若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求ab．
29．（2021春•望城区校级月考）若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z三构成“星城三元数”．
（1）实数4，6，9可以构成“星城三元数”吗？请说明理由；
（2）若M1（t，y1），M2（t﹣1，y2），M3（t+1，y3）三点均在函数（k为常数且k≠0）的图象上且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“星城三元数”，求实数t的值；
（3）设非负实数x1，x2，x3是“星城三元数”且满足x1＜x3＜x2，其中x1，x2是关于x的一元二次方程nx2+mx+n＝0的两个根，x3是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a＞2b＞3c）与x轴的一个交点的横坐标，求点P（，）到原点的距离OP的取值范围．
30．（2021•九龙坡区校级模拟）一个正整数p能写成p＝（m+n）（m﹣n）（m、n均为正整数，且m≠n），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若m2+n2最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时F（p）＝m2+n2．例如：24＝（7+5）（7﹣5）＝（5+1）（5﹣1），因为72+52＞52+12，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以F（24）＝74．
（1）F（32）＝　 　；
（2）若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤7），q为“平方差数”且x+y能被7整除，求F（q）的最小值．

2021年新初三数学北师大新版专题复习《因式分解》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021春•沙坪坝区校级月考）多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（　　）
A．x（x+3y）2 B．x（x+3y） C．xy（x+3y） D．x（x﹣3y）
【考点】公因式．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】分别将多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3进行因式分解，再寻找他们的公因式．
【解答】解：∵x3+6x2y+9xy2＝x（x2+6xy+9y2）＝x（x+3y）2，
x3y﹣9xy3＝xy（x2﹣9y2）＝xy（x+3y）（x﹣3y），
∴多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3的公因式是x（x+3y）．
故选：B．
【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
2．（2021春•高州市月考）已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】由题意：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，设S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，则2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，将式子的右边进行因式分解变形，结论可得．
【解答】解：∵a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1．
设S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，
则2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc．
∵2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2
＝6，
∴S＝3．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式，利用因式分解法可使运算简便．
3．（2020秋•梁平区期末）已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据题目中的式子，可以求得a﹣b、a﹣c、b﹣c的值，然后对所求式子变形，利用完全平方公式进行解答．
【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝
＝
＝
＝
＝3，
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，应用完全平方公式进行解答．
4．（2018秋•浦东新区期末）下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（　　）
A．x2﹣2x+2 B．2x2﹣mx+1 C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣1
【考点】实数范围内分解因式．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】对每个选项，令其值为0，得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断实数范围内一定能分解因式的二次三项式．
【解答】解：选项A，x2﹣2x+2＝0，△＝4﹣4×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，即x2﹣2x+2在数范围内不能分解因式；
选项B，2x2﹣mx+1＝0，△＝m2﹣8的值有可能小于0，即2x2﹣mx+1在数范围内不一定能分解因式；
选项C，x2﹣2x+m＝0，△＝4﹣4m的值有可能小于0，即x2﹣2x+m在数范围内不一定能分解因式；
选项D，x2﹣mx﹣1＝0，△＝m2+4＞0，方程有两个不相等的实数根，即x2﹣mx﹣1在数范围内一定能分解因式．
故选：D．
【点评】本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解．解题的关键是把问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题．
5．（2018秋•海珠区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三条边长，且（a+b+c）（a﹣b）＝0，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．以上均不对
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】利用因式分解法得到a+b+c＝0或a﹣b＝0，而a+b+c＞0，所以a﹣b＝0，即a＝b，从而可判断△ABC一定是等腰三角形．
【解答】解：∵（a+b+c）（a﹣b）＝0，
∴a+b+c＝0或a﹣b＝0，
∵a，b，c是△ABC的三条边长，
∴a+b+c＞0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴△ABC一定是等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题．利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
6．（2021春•西湖区校级期中）多项式x2+ax+12分解因式为（x+m）（x+n），其中a，m，n为整数，则a的取值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【专题】整式；数感．
【分析】把12分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和．
【解答】解：12＝1×12时，a＝1+12＝13；
12＝﹣1×（﹣12）时，﹣1+（﹣12）＝﹣13；
12＝2×6时，a＝2+6＝8；
12＝﹣2×（﹣6）时，﹣2+（﹣6）＝﹣8；
12＝3×4时，a＝3+4＝7；
12＝﹣3×（﹣4）时，﹣3+（﹣4）＝﹣7；
∴a的取值有6个．
故选：D．
【点评】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出m、n之积为12，m、n之和为a是解题的关键．
7．（2020秋•澄海区期末）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（　　）cm2．
A． B． C．15 D．16
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】由长方形的周长可以求出x+y＝8①，再利用完全平方公式可以得出x﹣y＝1②，联立①②，解方程组即可得出x，y的值，最后求长方形的面积即可得出结论．
【解答】解：∵长方形的周长为16cm，
∴2（x+y）＝16，
∴x+y＝8①；
∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，
∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，
∴（x﹣y﹣1）2＝0，
∴x﹣y＝1②．
联立①②，得，
解得：，
∴长方形的面积S＝xy＝＝（cm2），
故选：A．
【点评】本题考查完全平方公式，解二元一次方程组，考查学生的计算能力，本题的关键是把x﹣y看作一个整体，进行因式分解．
8．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．4
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【专题】新定义；运算能力．
【分析】先用含x的式子表示出F（s），再用含y的式子表示出F（t），然后根据x和y的取值求出最大值即可．
【解答】解：将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为s'．
∵s＝10x+3．
∴s'＝30+x
∴F（s）＝．
将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为t'．
∵t＝50+y．
∴t'＝10y+5．
∴F（t）＝．
∵F（s）+F（t）＝15．
∴3+x+5+y＝15．
∴x+y＝7．
∴y＝7﹣x．
∴．
∵x，y都是正整数．
∴x最大为6．
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的处理能力和计算能力，关键在于将F（s）和F（t）用含x和y的式子表示出来．
9．设a为实数，且a3+a2﹣a+2＝0，则（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
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【专题】计算题；分类讨论；因式分解；实数；数感；符号意识；运算能力；推理能力．
【分析】由已知等式用分组分解法，提取公因式法，整式乘法，方程等知识恒等变形，求出符合条件的a+1的值为﹣1，再将﹣1代入式子中进行运算求出值为﹣1，即答案为D．
【解答】解：∵a3+a2﹣a+2＝0，
（a3+1）+（a2﹣a+1）＝0，
（a+1）（a2﹣a+1）+（a2﹣a+1）＝0
（a2﹣a+1）（a+1+1）＝0，
（a2﹣a+1）（a+2）＝0，
∴a+2＝0，或a2﹣a+1＝0，
（1）若a2﹣a+1＝0时，
△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∵a为实数，
∴此一元二次方程在实数范围内无解；
（2）若a+2＝0时，
变形得：a+1＝﹣1…①
将①代入下列代数式得：
（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013
＝（﹣1）2011+（﹣1）2012+（﹣1）2013
＝﹣1+1+（﹣1）
＝﹣1
故选：D．
【点评】本题综合考查了因式分解中分组分解法，提取公因式法，多项式乘法法则，一元二次方程的解法，乘方运算等相关知识点，重点掌握因式分解的运用，难点是分组分解法因式分解，判定一元二次方程的根的存在性．
10．（2019秋•乐清市期末）如果x和y是非零实数，使得|x|+y＝3和|x|y+x3＝0，那么x+y的值是（　　）
A．3 B． C． D．4﹣
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；分类讨论；运算能力．
【分析】根据题意，结合2个式子可得|x|（3﹣|x|）+x3＝0，分x＞0与x＜0两种情况讨论，求出x的值，由y＝3﹣|x|，求出y的值，相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，|x|+y＝3则y＝3﹣|x|，
又由|x|y+x3＝0，则有|x|（3﹣|x|）+x3＝0，
分2种情况讨论：
①当x＞0时，由|x|（3﹣|x|）+x3＝0得到：x（3﹣x）+x3＝0，
变形可得：x2﹣x+3＝0，无解；
②当x＜0时，由|x|（3﹣|x|）+x3＝0得到（﹣x）[3﹣（﹣x）]+x3＝0，
变形可得：x2﹣x﹣3＝0，
解可得：x＝或x＝，（舍）
综合可得：x＝，则y＝3﹣|x|＝3+x，
x+y＝3+2x＝4﹣；
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用，绝对值的化简计算，注意分类讨论|x|的值．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•常德模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝11，y＝12时，用上述方法产生的密码是　113410　（写出一个即可）．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】先因式分解，再代值计算．
【解答】解：4x3﹣xy2＝x（4x2﹣y2）
＝x（2x+y）（2x﹣y）．
当x＝11，y＝12时，各因式的值为：x＝11，2x+y＝22+12＝34．
2x﹣y＝22﹣12＝10．
∴产生的密码为：113410．
故答案为：113410．
【点评】本题考查因式分解的应用，正确因式分解是求解本题的关键．
12．（2021春•江北区校级期中）已知a+b＝4，ab＝﹣2，则a3b﹣2a2b2+ab3＝　﹣48　．
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【专题】因式分解；运算能力．
【分析】因式分解后整体代换求值
【解答】解：∵a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2
＝ab[（a+b）2﹣4ab]
＝﹣2×（16+8）
＝﹣48．
故答案为﹣48．
【点评】本题考查因式分解，提公因式再分解求值是求解本题的关键．
13．（2021春•西湖区校级期中）已知多项式x4+mx+n能分解为（x2+px+q）（x2+2x﹣3），则p＝　﹣2　，q＝　7　．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【专题】方程思想；因式分解；运算能力；推理能力．
【分析】把（x2+px+q）（x2+2x﹣3）展开，找到所有x3和x2的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．
【解答】解：∵（x2+px+q）（x2+2x﹣3）＝x4+px3+qx2+2x3+2px2+2qx﹣3x2﹣3px﹣3q
＝x4+（p+2）x3+（q+2p﹣3）x2+（2q﹣3p）x﹣3q
＝x4+mx+n．
∴展开式乘积中不含x3、x2项，
∴，解得：．
故答案为：﹣2，7．
【点评】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．
14．（2018春•成都期末）已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝　15　．
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【专题】因式分解；数据分析观念．
【分析】由x2﹣2x﹣3＝0，则x2＝2x+3，原式＝x（2x+3）﹣x2﹣5x+12＝2x2+3x﹣x2﹣5x+12＝x2﹣2x+12，即可求解．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2＝2x+3，
∴原式＝x（2x+3）﹣x2﹣5x+12＝2x2+3x﹣x2﹣5x+12＝x2﹣2x+12＝3+12＝15，
故答案为15．
【点评】主要考查了分解因式的实际运用，解此类题目的关键是将分解的因式与条件比对，将条件代入后再继续分解．
15．（2018春•成都期中）若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为　3　．
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【分析】根据已知条件可得a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，再将a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca变形为[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，然后代入计算即可．
【解答】解：∵a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
＝（1+1+4）
＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及代数式求值，掌握完全平方公式以及整体代入思想是解题的关键．
16．（2017秋•虎林市期末）多项式kx2﹣9xy﹣10y2可分解因式得（mx+2y）（3x﹣5y），则k＝　9　，m＝　3　．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【分析】直接利用多项式乘法将原式化简，进而得出关于m，k的等式求出答案即可．
【解答】解：∵kx2﹣9xy﹣10y2＝（mx+2y）（3x﹣5y），
∴kx2﹣9xy﹣10y2＝3mx2﹣5mxy+6xy﹣10y2，
∴，
解得：，
故答案为：9，3．
【点评】此题主要考查了十字相乘法的应用，正确利用多项式乘法是解题关键．
17．（2017春•大邑县期末）已知x2+x＝3，则2015+2x+x2﹣2x3﹣x4＝　2012　．
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【专题】转化思想．
【分析】把代数式2015+2x+x2﹣2x3﹣x4整理成含（x2+x）的形式，进一步整体代入求得数值即可．
【解答】解：∵x2+x＝3，
∴2015+2x+x2﹣2x3﹣x4
＝﹣x2（x2+x）﹣x3+（x2+x）+x+2015
＝﹣3x2﹣x3+3+x+2015
＝﹣x（x2+x）﹣2x2+3+x+2015
＝﹣3x﹣2x2+3+x+2015
＝﹣2（x2+x）+2018
＝﹣6+2018
＝2012．
故答案是：2012．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，整理成已知条件的形式，利用整体代入求解是解题的关键．
18．（2015春•青羊区校级月考）若a3+3a2+a＝0，求＝　﹣或0　．
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【专题】计算题．
【分析】用提公因式法对方程a3+3a2+a＝0的左边因式分解得a（a2+3a+1）＝0则a＝0或a2+3a+1＝0，当a＝0时上式的值为零，当a2+3a+1＝0时，可将每一项都除以a，得到a+＝﹣3，上式分子分母中每一项都除以a3，分子为常数2，分母为a3+3+，再用立方和公式进行计算．
【解答】解：∵a3+3a2+a＝0，∴a（a2+3a+1）＝0
∴a＝0或a2+3a+1＝0
当a＝0时的值为0．
当a2+3a+1＝0时，每项都除以a得a+＝﹣3，将上式的分子分母同时除以a3，分子为常数2，分母为
a3+6+，
又∵a3+＝（a+）（a2﹣1+）＝（a+）[（a+）2﹣3]＝﹣3[9﹣3]＝﹣18，
∴＝＝﹣
故的值为﹣或0．
【点评】用因式分解法将多项式分解，使多项式化简，灵活运用立方和公式．
19．（2019春•西湖区校级月考）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝　3　；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝　﹣2022　．
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【专题】计算题；整体思想；运算能力．
【分析】根据因式分解的提公因式法分解因式，利用整体代入的方法即可求得第一个空的解；
分解第二个因式后把﹣7x写成﹣4x﹣3x再重新组合，进行提公因式，最后整体代入即可求得第二个空的解．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，2x2﹣4x＝2，
∴3x2﹣6x＝3（x2﹣2x）＝3．
2x3﹣7x2+4x﹣2019＝x（2x2﹣7x）+4x﹣2019
＝x（2x2﹣4x﹣3x）+4x﹣2019
＝x（2﹣3x）+4x﹣2019
＝2x﹣3x2+4x﹣2019
＝﹣3x2+6x﹣2019
＝﹣3（x2﹣2x）﹣2019
＝﹣3×1﹣2019
＝﹣2022．
故答案为：3，﹣2022．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是整体思想的运用．
20．（2019春•嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是　104020（答案不唯一）　（写出一个即可）．
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【专题】整式；数据分析观念．
【分析】9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），当x＝10，y＝10时，密码可以是10、40、20的任意组合即可．
【解答】解：9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），
当x＝10，y＝10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．
【点评】本题考查的是因式分解，分解后，将变量赋值，按照因式组合即可．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•泗水县期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以分解因式为　（2m+n）（m+2n）　；
（2）若每块小长方形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．

【考点】代数式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；全等图形．菁优网版权所有
【专题】阅读型；数形结合；符号意识．
【分析】（1）通过图形即可求得到；
（2）由题意可得mn＝10，2m2+2n2＝58，利用完全平方公式求出m+n的值，即可求解．
【解答】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2表示所有部分面积之和，整体来看面积为：（2m+n）（m+2n），
∴2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n），
故答案为：（2m+n）（m+2n）；
（2）由题意可知mn＝10，2m2+2n2＝58，所有裁剪线（虚线部分）长之和为：6（m+n），
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝29+20＝49，
∴m+n＝7，
∴所有裁剪线（虚线部分）长之和为：6（m+n）＝42（cm）．

【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由图形的特点求解是解题的关键．
22．（2021春•拱墅区校级期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；则8、16、24这三个数都是奇特数．
（1）填空：32　是　奇特数，2018　不是　奇特数．（填“是”或者“不是”）
（2）设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积．

【考点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）根据32＝92﹣72，以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，而2018＝2×1009，不是8的整数倍，进行判断．
（2）利用平方差公式计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数；
（3）利用阴影部分面积为：S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12，进而求出即可．
【解答】解：（1）∵8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52；则8、16、24这三个数都是奇特数，
∴奇特数是8的整数倍，即8n（n是正整数），
∵32＝8×4＝92﹣72，
∴32是奇特数，
∵2018＝2×1009，不是8的整数倍，
∴2018不是奇特数，
故答案为：是，不是；
（2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，
理由：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．
（3）S阴影部分＝992﹣972+952﹣932+912﹣892+…+72﹣52+32﹣12
＝（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+（91+89）（91﹣89）+…+（7+5）（7﹣5）+（3+1）（3﹣1）
＝（99+97+95+…+3+1）×2
＝×2
＝5000．
【点评】本题考查了正方形面积、新概念应用、平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键．
23．（2021春•龙华区期中）（1）分解因式：﹣ax2+6ax﹣9a．
（2）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）先提公因式﹣a，再用完全平方公式即可；
（2）分别解出两个不等式的解集，表示在数轴上，公共部分即为不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝﹣a（x2﹣6x+9）
＝﹣a（x﹣3）2；

（2），
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
把不等式的解集表示在数轴上如图所示，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．

【点评】本题考查了因式分解，解一元一次不等式组，考核学生的计算能力，解不等式时，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变．
24．（2021春•龙泉驿区期中）综合与实践
下面是某同学对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x﹣10）+25进行因式分解的过程：
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝y（y﹣10）+25（第一步）
＝y2﹣10y+25（第二步）
＝（y﹣5）2（第三步）
＝（x2﹣4x﹣5）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了　C　．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数差的完全平方公式
D．两数和的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为　（x﹣5）2（x+1）2　．
（3）请你模仿上述方法，对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解．
【考点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力；模型思想．
【分析】（1）由完全平方公式可得答案；
（2）根据换元法分解因式的方法进行解答即可；
（3）利用（1）（2）问中提供的方法，设x2﹣2x＝m，再逐步进行分解即可．
【解答】解：（1）由y2﹣10y+25到（y﹣5）2是利用完全平方公式所得，
故答案为：C；
（2）设x2﹣4x＝y，
原式＝y（y﹣10）+25，
＝y2﹣10y+25，
＝（y﹣5）2
＝（x2﹣4x﹣5）2，
＝[（x﹣5）（x+1）]2，
＝（x﹣5）2（x+1）2；
故答案为：不彻底，（x﹣5）2（x+1）2；
（3）设x2﹣2x＝m，
原式＝（m﹣1）（m+3）+4，
＝m2+2m+1，
＝（m+1）2
＝（x2﹣2x+1）2，
＝[（x﹣1）2]2，
＝（x﹣1）4；
即（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4＝（x﹣1）4．
【点评】本题考查换元法分解因式，掌握换元的意义，完全平方公式是解决问题的关键．
25．（2021春•巴南区期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．
定义：对于三位自然数n，若各位数字都不为0，且百位上的数字与十位上的数字之和恰好能被个位上的数字整除，则称这个三位自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除，所以426是“好数”；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除，所以643不是“好数”．
（1）判断134，614是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位上的数字比十位上的数字大7的所有“好数”．
【考点】列代数式；因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】阅读型；运算能力．
【分析】（1）根据好数的定义判断即可得出结论；
（2）设十位数数字为a，则百位数数字为a+7（0＜a≤2的整数），得出百位数字和十位数字的和为2a+7，再分别取a＝1，2，计算判断即可得出结论．
【解答】解：（1）134是“好数”．理由：
∵1，3，4都不为0，且1+3＝4，4能被4整除，
∴134是“好数”．
614不是“好数”．理由：
∵6+1＝7，7不能被4整除，
∴614不是“好数”．
（2）设十位数数字为a，则百位数数字为a+7（0＜a≤2的整数），
∴a+a+7＝2a+7．
当a＝1时，2a+7＝9．
∵9能被1，3，9整除，
∴满足条件的三位数有：811，813，819．
当a﹣2时，2a+7＝11．
∵11能被1整除，
∴满足条件的三位数有：921．
综上，百位上的数字比十位上的数字大7的所有“好数”有：811，813，819，921．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，列代数式和求代数式的值，正确理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．
26．（2021春•九龙坡区校级月考）若一个四位正整数满足，a+b+c+d＝20，则称该数为“0萌数”．
例如：对于四位数3890，因为3+8+9+0＝20，所以3890是“0萌数”；对于四位数2983，因为2+9+8+3＝22≠20，所以2983不是“0萌数”．
（1）最小的“0萌数”是　1199　；
（2）判断4579是不是“0萌数”，并说明理由；
（3）若一个四位“0萌数”S，满足S＝1010a+100b+305（1≤a≤9，0≤b≤6，a、b均为整数），请求出所有满足条件的“0萌数”S．
【考点】因式分解的应用；解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）根据a，b，c，d为正整数，最小的0萌数的千位数字和百位数字为1，根据和为20可知十位数字和个位数字都是9；
（2）根据四个数字的和是否为20进行判断；
（3）对S进行变形，得到这个四位数的千位数字为a，百位数字为b+3，十位数字为a，个位数字为5，根据四个数字的和为20得到a，b的关系，根据题中1≤a≤9，0≤b≤6，a、b均为整数确定a，b的值，进而求出S．
【解答】解：（1）∵a，b，c，d为正整数，
∴最小的0萌数的千位数字和百位数字为1，
∴a＝b＝1，
∵a+b+c+d＝20，
∴c+d＝18，
∴c＝d＝9，
∴最小的0萌数是1199．
故答案为：1199．
（2）不是，理由如下：
∵4+5+7+9＝25≠20，
∴4579不是0萌数；
（3）∵S＝1010a+100b+305
＝1000a+100（b+3）+10a+5，
∴四位数的千位数字为a，百位数字为b+3，十位数字为a，个位数字为5，
∴a+b+3+a+5＝20，
∴2a+b＝12，
∵1≤a≤9，0≤b≤6，a、b均为整数，
∴满足条件的有或或或，
∴S＝6365，5555，4745，3935．
【点评】本题考查了因式分解的应用，对S进行变形是解题的关键，注意第（1）问中，a，b，c，d为正整数，不能是0．
27．（2021春•沙坪坝区校级月考）若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如28＝（6+1）×（6﹣2）＝7×4．
（1）“十字点”为7的“十字数”为　40　；130的“十字点”为　12　；
（2）若b是a的“十字点”，且a能被（b﹣1）整除，其中b为大于2的正整数，求a的值；
（3）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值．
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【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）根据定义解答即可；
（2）根据b是a的十字点，写出a的表达式，因为a能被（b﹣1）整除，所以对表达式进行变形，得到（b﹣1）能整除2，求出b的值，进而得到a的值；
（3）根据条件写出m，n的表达式，根据m﹣n＝18写出等式，进行变形得（p+q﹣1）（p﹣q）＝18，因为18＝3×6＝2×9＝18×1，分别列出方程组即可求解．
【解答】解：（1）十字点为7的十字数a＝（7+1）（7﹣2）＝8×5＝40，
∵130＝（12+1）（12﹣2）＝13×10，
∴130的十字点为12．
故答案为：40，12；

（2）∵b是a的十字点，
∴a＝（b+1）（b﹣2）（b＞2且为正整数），
∴a＝（b﹣1+2）（b﹣1﹣1）＝（b﹣1）2+（b﹣1）﹣2，
∵a能被（b﹣1）整除，
∴（b﹣1）能整除2，
∴b﹣1＝1或b﹣1＝2，
∵b＞2，
∴b＝3，
∴a＝（3+1）（3﹣2）＝4．

（3）∵m的十字点为p，
∴m＝（p+1）（p﹣2）（p＞2且为正整数），
∵n的十字点为q，
∴n＝（q+1）（q﹣2）（q＞2且为正整数），
∵m﹣n＝18，
∴（p+1）（p﹣2）﹣（q+1）（q﹣2）＝18，
∴p2﹣p﹣2﹣q2+q+2＝18，
∴（p+q）（p﹣q）﹣（p﹣q）＝18，
∴（p+q﹣1）（p﹣q）＝18，
∵m﹣n＝18＞0，p＞2，q＞2且p、q为正整数，
∴p＞q，p+q＞4，
∴p+q﹣1＞3，
∵18＝3×6＝2×9＝18×1，
∴或或，
解得：（不合题意，舍去），或，或，
∴p+q＝10或19．
【点评】本题考查了因式分解的应用，有一定的技巧性，解题的关键是看懂定义，根据题中的条件进行变形．
28．（2021春•郫都区校级期中）（1）若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，求解以下问题：
①求p，q的值；
②代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．
（2）若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求ab．
【考点】幂的乘方与积的乘方；多项式乘多项式；整式的除法；因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】综合题；运算能力．
【分析】（1）①利用条件中积不含x项与x3项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可；
②利用第①问中的结果，代入求值；
（2）多项式整除问题，把商假设出来，转化为多项式的乘法进行计算．
【解答】解：（1）①原式＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（1+pq）x﹣q，
∵积中不含x项与x3项，
∴，
∴．
②由①得pq＝﹣1，
原式＝4p2﹣+（pq）2012q2
＝36﹣+
＝35．
（2）设2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝（x2+x﹣2）（2x2+mx+n）
＝2x4+（m+2）x3+（m+n﹣4）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∴，
解得a＝﹣12，b＝6，
∴ab＝﹣72．
【点评】本题考查了整式乘法的运算及因式分解的应用，对学生计算能力的要求比较高，是一道难度较大的综合题．
29．（2021春•望城区校级月考）若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z三构成“星城三元数”．
（1）实数4，6，9可以构成“星城三元数”吗？请说明理由；
（2）若M1（t，y1），M2（t﹣1，y2），M3（t+1，y3）三点均在函数（k为常数且k≠0）的图象上且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“星城三元数”，求实数t的值；
（3）设非负实数x1，x2，x3是“星城三元数”且满足x1＜x3＜x2，其中x1，x2是关于x的一元二次方程nx2+mx+n＝0的两个根，x3是二次函数y＝ax2+bx+c（其中a＞2b＞3c）与x轴的一个交点的横坐标，求点P（，）到原点的距离OP的取值范围．
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【专题】创新题型；解题思想；运算能力；推理能力；创新意识．
【分析】（1）此题关键是理解“三元数”的定义，来判断；（2）利用“三元数”定义，再结合反比例函数，得到关于x（自变量）的方程，再解t；（3）利用“一元二次方程根与系数的关系”，涉及“三元不等式”转化为“二元”，新的“二次函数”的最值问题．
【解答】解：（1）∵62＝4×9，
∴4，6，9可以构成“星城三元数”．
（2）∵y1，y2，y3构成“星城三元数”，
∴有三种可能
①当，可以根据条件得到，即t2＝（t﹣1）×（t+1），无解．
②当，可以根据条件得到，即（t﹣1）2＝t×（t+1），解得．
③当，可以根据条件得到，即（t+1）2＝t×（t﹣1），解得．
满足条件的或者．
（3）∵非负实数x1，x2，x3是“星城三元数”且满足x1＜x3＜x2，
∴．
又∵x1，x2是关于x的一元二次方程nx2+mx+n＝0的两个根，
∴x1×x2＝1，
∴x3＝1或者x3＝﹣1（舍去）．
当x3＝1时，就有a+b+c＝0，可以得到a＞0，c＜0．
又条件a＞2b＞3c，于是a＞2b＞3（﹣a﹣b），解得．
∵点P到原点的距离，
而a+b+c＝0，
∴＝
又∵
所以二次函数在时取得最大值，在时取得最小值（对称轴），
∴．
【点评】此题考查了一元二次方程、不等式、二次函数之间的关系，注意知识的转化．特别是第3问，涉及“三个未知数”问题，如何消元，是值得学习的地方．
30．（2021•九龙坡区校级模拟）一个正整数p能写成p＝（m+n）（m﹣n）（m、n均为正整数，且m≠n），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若m2+n2最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时F（p）＝m2+n2．例如：24＝（7+5）（7﹣5）＝（5+1）（5﹣1），因为72+52＞52+12，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以F（24）＝74．
（1）F（32）＝　130　；
（2）若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤7），q为“平方差数”且x+y能被7整除，求F（q）的最小值．
【考点】列代数式；因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】新定义；分类讨论；因式分解；整式；数感；推理能力．
【分析】（1）32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），根据F（q）的定义即可得到答案；
（2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据F（q）的定义即可得到答案．
【解答】解：（1）130；
解析：32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2）．
∵92+72＞62+22，
∴F（32）＝92+72＝130，
故答案为：130．
（2）∵x+y能被7整除，1≤x≤y≤7，
∴x+y＝7或x+y＝14，
∴或或或，
当x＝1，y＝6时，q＝16＝（5+3）（5﹣3），F（q）＝52+32＝34；
当x＝2，y＝5时，q＝25＝（13+12）（13﹣12），F（q）＝132+122＝313；
当x＝3，y＝4时，q＝34，此时q不是平方差数，不符合题意；
当x＝7，y＝7时，q＝77＝（39+38）（39﹣38）＝（9+2）（9﹣2），
∵392+382＞92+22，
∴F（q）＝392+382＝2965．
∵34＜313＜2965，
∴F（q）的最小值为34．
【点评】本题考查了因式分解在新定义题型中的应用及分类讨论思想，能根据新定义将一个正整数进行分解是解决问题的前提，会分类讨论是解决第（2）问的关键．

考点卡片
1．代数式
代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
　　例如：ax+2b，﹣13，2b23，a+2等．
注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．
②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．
2．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
5．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形

（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
6．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．

（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
7．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
8．公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
9．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
10．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
11．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
12．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
13．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）
14．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
15．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
16．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
17．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
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日期：2021/6/27 16:47:47；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867