北师大新版数学八年级下册专题复习《图形的平移与旋转》（含答案）

这是一份北师大新版数学八年级下册专题复习《图形的平移与旋转》（含答案），共56页。
北师大新版数学九年级专题复习《图形的平移与旋转》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•河西区二模）在平面直角坐标系中，将点A（5，1）向下平移3个单位，再向右平移2个单位，则平移后A的对应点A′的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（2，8） C．（7，﹣2） D．（5，﹣1）
2．（2021春•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，将点A（1，m2）沿着y轴的正方向向上平移（m2+4）个单位后得到点B．有四个点E（1，﹣m2），F（m2+4，m2），M（1，m2+3），N（1，4m2），一定在线段AB上的是（　　）
A．点E B．点F C．点M D．点N
3．（2021春•济南期中）已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（　　）

A． B． C．2 D．
4．（2021春•成都月考）如图，在△ABC中，BC＝9，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝5，则下列结论中错误的是（　　）

A．BE＝5 B．DF＝9 C．AB∥DE D．∠F＝30°
5．（2021春•碑林区校级期中）将某图形的各顶点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，则该图形（　　）
A．沿x轴向右平移3个单位 B．沿x轴向左平移3个单位
C．沿y轴向上平移3个单位 D．沿y轴向下平移3个单位
6．（2021春•鹿城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（　　）

A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）
7．（2021春•光明区期中）在平面直角坐标系中，将点（﹣1，﹣3）向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣5） B．（﹣3，﹣3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，1）
8．（2021春•龙岗区期中）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（2020春•思明区校级期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（　　）

A．（1012，1011） B．（1009，1008）
C．（1010，1009） D．（1011，1010）
10．（2020秋•金水区校级月考）如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•台江区校级月考）如图，已知线段AB＝6，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝1不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC的取值范围是　 　．

12．（2021春•历城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO．且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，则OA+OB+OC的值为　 　（提示：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B）．

13．（2021春•和平区校级月考）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为　 　．

14．（2021•于洪区一模）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为　 　．

15．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝16．动点P以每秒3个单位的速度从点A开始向点C移动，直线l从与AC重合的位置开始，以相同的速度沿CB方向平行移动，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P移动到与点C重合时，点P和直线l同时停止运动．在移动过程中，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在直线l上，点F的对应点记为点N，连接BN，当BN∥PE时，t的值为　 　．

16．（2020•莲湖区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为　 　．

17．（2020秋•武汉期中）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝2，CD＝5，∠ABC＝60°，则线段BD＝　 　．

18．（2020•江夏区模拟）△ABC为边长为6的等边三角形，点E为边BC上一点，将BE绕B点逆时针旋转120°到BD，点F为边AC上一点，AE交DF于点K，且∠DKE＝60°，若＝，则BE＝　 　．

19．（2019春•锦江区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝9，∠C＝120°，D为AC边上一点，且AD＝6，E是AB边上一动点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转30°得到DF，若F恰好在BC边上，则AE的长为　 　．

20．（2019•柯桥区模拟）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（b＞a），将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EBD，连接AE，射线CD分别交AB，AE于点F、G，则＝　 　．（用含a，b的代数式表示）
三．解答题（共10小题）
21．（2021•福州模拟）已知等边△ABC，D为BC边上一点，点E在线段AD上，且∠EBD＝∠BAD．将△ABE绕着点A逆时针旋转至△ACF，连接EF，交AC于点G．
（1）求证：B，E，F三点共线；
（2）记△CGF的面积为S1，△BDE的面积为S2，若BD＝DE，求的值．

22．（2021•硚口区模拟）在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（1，7）B（8，6）C（6，2），D是AB与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题：
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）画出点D关于AC的对称点E；
（3）在AB上画点F，使∠BCF＝0.5∠BAC；
（4）线段AB绕某个点旋转一个角度得到线段CA（A与C对应，B与A对应），直接写出这个旋转中心的坐标．

23．（2021•郴州模拟）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B＝∠E＝30°时，此时旋转角的大小为　 　；
②当∠B＝∠E＝α时，此时旋转角的大小为　 　（用含a的式子表示）．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．

24．（2020秋•前郭县期末）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．

25．（2020秋•肇源县期末）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠APB的度数．

26．（2019秋•凤山县期中）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．

27．（2018秋•鸡西期末）如图，在30°的直角三角形ABC中，∠B＝30°，D是直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接BE，DE．
（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并结合图①证明你的结论；
（2）当点E不在直线BC上时，如图②、图③，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②、图③选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论．

28．（2019•站前区校级三模）如图，△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．
（Ⅰ）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（Ⅱ）请画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称．

29．（2019•德城区一模）阅读材料：
对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．即如图①，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．

请根据阅读材料，解决下列问题：
如图②，直线CD是等边△ABC的对称轴，点D在AB上，点E是线段CD上的一动点（点E不与点C、D重合），连接AE、BE，△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合．
（I）旋转中心是点　 　，旋转了　 　（度）；
（II）当点E从点D向点C移动时，连接AF，设AF与CD交于点P，在图②中将图形补全，并探究∠APC的大小是否保持不变？若不变，请求出∠APC的度数；若改变，请说出变化情况．
30．（2018秋•天心区校级期末）综合应用题：如图，有一副直角三角板如图①放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）∠DPC＝　 　；
（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板∠PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；
（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN．处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM，求旋转的时间是多少？


2021年新初三数学北师大新版专题复习《图形的平移与旋转》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•河西区二模）在平面直角坐标系中，将点A（5，1）向下平移3个单位，再向右平移2个单位，则平移后A的对应点A′的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（2，8） C．（7，﹣2） D．（5，﹣1）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据坐标的平移规律解答即可．
【解答】解：将点A（5，1）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
那么平移后对应的点A′的坐标是（5+2，1﹣3），即（7，﹣2），
故选：C．
【点评】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减
2．（2021春•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，将点A（1，m2）沿着y轴的正方向向上平移（m2+4）个单位后得到点B．有四个点E（1，﹣m2），F（m2+4，m2），M（1，m2+3），N（1，4m2），一定在线段AB上的是（　　）
A．点E B．点F C．点M D．点N
【考点】坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；运算能力；推理能力．
【分析】首先根据横坐标上移加，下移减可得B点坐标，横坐标不变，再根据纵坐标y满足m2≤y≤2m2+4可得答案．
【解答】解：点A（1，m2）向上平移（m2+4）个单位长度得到的B的坐标为（1，m2+m2+4），即（1，2m2+4），
∵m2+4≠1，
∴F（m2+4，m2）不在直线AB上，
∵当m≠0时，﹣m2＜m2，
∴E（1，﹣m2）不在线段AB上，
∵当m＜﹣或m＞时，4m2＞2m2+4，
N（1，4m2）不在线段AB上，
∵m2＜m2+3＜2m2+4，
∴M（1，m2+3）一定在线段AB上，
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于y轴对称点的坐标，解题的关键是掌握点平移坐标的变化规律．
3．（2021春•济南期中）已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（　　）

A． B． C．2 D．
【考点】等边三角形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
【解答】解：由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝2，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝1，
∴DQ＝＝，
∴DQ的最小值是．
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
4．（2021春•成都月考）如图，在△ABC中，BC＝9，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝5，则下列结论中错误的是（　　）

A．BE＝5 B．DF＝9 C．AB∥DE D．∠F＝30°
【考点】平行线的判定；平移的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC＝9，∠A＝80°，∠B＝70°，
∴CF＝BE＝5，∠F＝∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣70°＝30°，AB∥DE，
∴A、C、D正确，B错误，
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．
5．（2021春•碑林区校级期中）将某图形的各顶点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，则该图形（　　）
A．沿x轴向右平移3个单位 B．沿x轴向左平移3个单位
C．沿y轴向上平移3个单位 D．沿y轴向下平移3个单位
【考点】坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【分析】平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加，据此求解即可．
【解答】解：将某图形的各顶点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，即为将该图形沿x轴向左平移3个单位，
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化—平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．
6．（2021春•鹿城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（　　）

A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）
【考点】坐标与图形变化﹣对称；中心对称；关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力．
【分析】根据点D是线段AA′的中点以及中点坐标公式解答．
【解答】解：设点A'的坐标是（a，b），
根据题意知：＝﹣1，＝0．
解得a＝1，b＝2．
即点A'的坐标是（1，2），
故选：B．
【点评】本题综合考查了中心对称，坐标与图形的变化，难度不大，掌握对称中心的性质是解题的关键．
7．（2021春•光明区期中）在平面直角坐标系中，将点（﹣1，﹣3）向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣5） B．（﹣3，﹣3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，1）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【分析】横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得对应点的坐标．
【解答】解：将点（﹣1，﹣3）向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（﹣1﹣2，﹣3），即（﹣3，﹣3），
故选：B．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
8．（2021春•龙岗区期中）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），
∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．

【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（2020春•思明区校级期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（　　）

A．（1012，1011） B．（1009，1008）
C．（1010，1009） D．（1011，1010）
【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】规律型；平移、旋转与对称；数感．
【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．
【解答】解：因为A1（﹣1，1），A2（2，1）
A3（﹣2，2）A4（3，2）
A5（﹣3，3）A6（4，3）
A7（﹣4，4）A8（5，4）
…
A2n﹣1（﹣n，n） A2n（n+1，n）（n为正整数）
所以2n＝2020，
n＝1010
所以A2020（1011，1010）
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．
10．（2020秋•金水区校级月考）如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】等边三角形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】连接BF，判定△ACE≌△BCF，即可得到∠CBF＝∠CAE＝30°，进而得出点F的运动轨迹为直线BF，依据当DF⊥BF时，DF最短，即可得到DF的最小值是2．
【解答】解：如图，连接BF，
由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE，
∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，
∴∠CAE＝30°，BD＝4，
∴∠CBF＝30°，
即点F的运动轨迹为直线BF，
∴当DF⊥BF时，DF最短，
此时，DF＝BD＝×4＝2，
∴DF的最小值是2，
故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•台江区校级月考）如图，已知线段AB＝6，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝1不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC的取值范围是　2≤AC≤4　．

【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】以O为坐标原点建立坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC＝PF＝y，FB＝EP＝3﹣x，从而得到点C（x+y，y+3﹣x），最后依据两点间的距离公式可求得AC的范围．
【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．

∵AB＝6，O为AB的中点，
∴A（﹣3，0），B（3，0）．
设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．
∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，
∴∠ECP＝∠FPB．
由旋转的性质可知：PC＝PB．
在△ECP和△FPB中,
，
∴△ECP≌△FPB(AAS)．
∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝3﹣x．
∴C（x+y，y+3﹣x）．
∵AB＝6，O为AB的中点，
∴AC＝＝．
∵x2+y2＝1，
∴AC＝．
∵﹣1≤y≤1，
∴2≤AC≤4．
故答案为:2≤AC≤4．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，两点间的距离公式的应用，列出AC的长度与点P的坐标之间的关系式是解题的关键．
12．（2021春•历城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO．且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，则OA+OB+OC的值为　　（提示：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B）．

【考点】含30度角的直角三角形；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠A′BC，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C．
【解答】解：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B，如图：

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∠ABC＝30°，
∴∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∴A′B⊥CB，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后一问求出C、O、A′、O′四点共线是解题的关键．
13．（2021春•和平区校级月考）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为　2　．

【考点】坐标与图形性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】以OA为对称轴作等边△AMN，由“SAS”可证△ANC≌△AMB，可得∠AMB＝∠ANC＝60°，由直角三角形的性质可求∠AEN＝30°，EO＝ON＝6，则点C在EN上移动，当OC'⊥EN时，OC'有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△AMN，延长CN交x轴于E，

∵△ABC是等边三角形，△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠AMN＝60°＝∠ANM，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△ANC≌△AMB（SAS），
∴∠AMB＝∠ANC＝60°，
∴∠ENO＝60°，
∵AO＝4，∠AMB＝60°，AO⊥BO，
∴MO＝NO＝，
∵∠ENO＝60°，∠EON＝90°，
∴∠AEN＝30°，EO＝ON＝4，
∴点C在EN上移动，
∴当OC'⊥EN时，OC'有最小值，
此时，O'C＝EO＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，确定点C的运动轨迹是解题的关键．
14．（2021•于洪区一模）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为　﹣1或1　．

【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】分两种情形：如图1中，当AG＝AH时，如图2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当AG＝AH时，

∵AG＝AH，
∴∠AHG＝∠AGH，
∵∠A＝∠A1，∠AGH＝∠A1GB，
∴∠AHG＝∠A1BG，
∴∠A1GB＝∠A1BG，
∴AB＝AG＝5，
∴GC1＝A1G﹣C1G＝1，
∵∠BC1G＝90°，
∴BG＝＝＝，
∴AH＝AG＝AB﹣BG＝5﹣，
∴CH＝AC﹣AH＝4﹣（5﹣）＝﹣1．

如图2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．

同法可证，GB＝GA1，设GB＝GA1＝x，则有x2＝32+（4﹣x）2，
解得x＝，
∴BG＝，AG＝5﹣＝，
∵GM∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝，
∵GA＝GH，GM⊥AH，
∴AM＝HM，
∴AH＝3，
∴CH＝AC﹣AM＝1．
综上所述，满足条件的CH的值为﹣1或1．
【点评】考查了旋转变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论使得思想思考问题，属于中考常考题型．
15．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝16．动点P以每秒3个单位的速度从点A开始向点C移动，直线l从与AC重合的位置开始，以相同的速度沿CB方向平行移动，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P移动到与点C重合时，点P和直线l同时停止运动．在移动过程中，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在直线l上，点F的对应点记为点N，连接BN，当BN∥PE时，t的值为　　．

【考点】平行线的性质；平移的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】作NH⊥BC于H．首先证明∠PEC＝∠NEB＝∠NBE，推出EH＝BH，根据cos∠PEC＝cos∠NEB，推出＝，由此构建方程解决问题即可．
【解答】解：作NH⊥BC于H．

∵EF⊥BC，∠PEF＝∠NEF，
∴∠FEC＝∠FEB＝90°，
∵∠PEC+∠PEF＝90°，∠NEB+∠FEN＝90°，
∴∠PEC＝∠NEB，
∵PE∥BN，
∴∠PEC＝∠NBE，
∴∠NEB＝∠NBE，
∴NE＝NB，
∵HN⊥BE，
∴EH＝BH，
∴cos∠PEC＝cos∠NEB，
∴＝，
∵EF∥AC，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝EN＝（16﹣3t），
∴＝，
整理得：63t2﹣960t+1600＝0，
解得t＝或（舍弃），
故答案为．
【点评】本题考查旋转的性质，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．（2020•莲湖区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为　　．

【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】过点A作AD⊥PP'于D，依据旋转的性质以及等腰三角形的性质，即可得到PP'＝2PD，当PD最短时，PP'最短，且PD＝AP×cos30°，再根据AP的长，即可得到线段PP′的最小值．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥PP'于D，
由旋转可得，AP＝AP'，∠PAP'＝120°，
∴PP'＝2PD，∠APD＝30°，
当PD最短时，PP'最短，且PD＝AP×cos30°，
∵P为BC边上一动点，
∴当AP⊥BC时，AP最短，
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
∴∠C＝30°，
∴当AP⊥BC时，AP＝AC×sin30°＝2×＝1，
此时，PP'＝2PD＝2×AP×cos30°＝2×1×＝，
故答案为：．

【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、垂线段最短等知识，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到PP'＝2PD．
17．（2020秋•武汉期中）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝2，CD＝5，∠ABC＝60°，则线段BD＝　3　．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】对余四边形的定义得出∠ADC＝30°，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，则△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°，得出BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，则△BFD是等边三角形，得出BF＝BD＝DF，易证∠BFA+∠ADB＝30°，由∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，得出∠AFD+∠ADF＝90°，则∠FAD＝90°，由勾股定理即可得出结果．
【解答】解：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图所示，
∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°
∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF＝BD＝DF，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADB+∠BDC＝30°，
∴∠BFA+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠FAD＝90°，
∴AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+CD2＝BD2，
∴BD2＝（2）2+52＝45，
∵BD＞0，
∴BD＝3，
故答案为：3．

【点评】本题考查了对余四边形的定义、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握对余四边形的定义和旋转的性质是解题的关键．
18．（2020•江夏区模拟）△ABC为边长为6的等边三角形，点E为边BC上一点，将BE绕B点逆时针旋转120°到BD，点F为边AC上一点，AE交DF于点K，且∠DKE＝60°，若＝，则BE＝　　．

【考点】等边三角形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】如图，作BH∥DF交AC于H，交AE于J．想办法证明四边形BDFH是平行四边形，证明BE＝CH，构建方程求解即可．
【解答】解：如图，作BH∥DF交AC于H，交AE于J．

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵DF∥BH，
∴∠∠DKE＝∠AJH＝60°，
∴∠ABJ+∠BAJ＝60°，
∵∠ABJ+∠CBH＝60°，
∴∠BAE＝∠CBH，
∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴BE＝CH，
∵BE＝BD，∠EBD＝120°，
∴BD＝CH，∠DBA＝∠BAC＝60°，
∴BD∥FH，
∵BH∥DF，
∴四边形BDFH是平行四边形，
∴BD＝FH＝CH，
∵AF：EC＝3：4，
∴可以假设AF＝3k，CE＝4k，
∴BE＝BD＝CH＝FH＝6﹣4k，
∴CF＝2（6﹣4k）＝6﹣3k，
∴k＝，
∴BE＝6﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．（2019春•锦江区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝9，∠C＝120°，D为AC边上一点，且AD＝6，E是AB边上一动点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转30°得到DF，若F恰好在BC边上，则AE的长为　3+4　．

【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；模型思想．
【分析】由∠C＝120°，AC＝BC可知∠A＝30°，又有∠EDF＝30°，联想一线三等角模型，延长DC到G，使DG＝AE，得△DFG≌△EDA，进而可得GF＝6，∠G＝30°，由于∠FCG＝60°，即可得△CFG是直角三角形，易求CG，由DG＝AE即可解题．
【解答】解：如图，延长DC到G，使DG＝AE，连接FG，
∵AC＝BC，∠C＝120°，
∴∠A＝30°，∠FCG＝60°，
∵∠A+∠1＝∠EDF+∠2，
又∵∠EDF＝30°，
∴∠1＝∠2，
在△EDA和△DFG中，
，
∴△EDA≌△DFG（SAS）
∴AD＝GF＝6，∠A＝∠G＝30°，
∵∠G+∠FCG＝90°，
∴∠CFG＝90°，
设CF＝x，则CG＝2x，由CF2+FG2＝CG2得：
x2+62＝（2x）2，
解得x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去），
∴CG＝4，
∴AE＝DG＝3+4，
故答案为：3+4．

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质．本题解题关键是通过一线三等角模型构造全等三角形，从而得到Rt△CFG．
20．（2019•柯桥区模拟）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（b＞a），将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EBD，连接AE，射线CD分别交AB，AE于点F、G，则＝　　．（用含a，b的代数式表示）
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称．
【分析】如图作FJ⊥AC于J，FK⊥BC于K，GN⊥AC于N，GM⊥CB交CB的延长线于M，连接BG．想办法求出CF，DG即可解决问题．
【解答】解：如图作FJ⊥AC于J，FK⊥BC于K，GN⊥AC于N，GM⊥CB交CB的延长线于M，连接BG．

由题意：BC＝BD，∠CBD＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠FCB＝45°，
∵FJ⊥AC，FK⊥BC，
∴FJ＝FK，设FJ＝FK＝x，
∵S△ACB＝S△ACF+S△BCF，
∴ab＝（a+b）x，
∴x＝，
∴FC＝FJ＝，
∵BA＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠BAG＝∠BCG＝45°，
∴A，C，B，G四点共圆，
∴∠AGB+∠ACB＝180°，
∴∠AGB＝90°，
∴BG⊥AE，
∴AG＝GE，
∴BG＝AG，
∵GC平分∠ACM，GN⊥AC，GM⊥CM，
∴GN＝GM，
∴△GNA≌△GMB（HL），
∴AN＝BM，
易证四边形CNGM是正方形，
∴CM＝CN，
∴CN+CM＝AC﹣AN+BC+BM＝AC+BC＝a+b．
∴CM＝，
∴CG＝CM＝（a+b），
∵CD＝a，
∴DG＝CG﹣CD＝（b﹣a），
∴＝＝．
故答案为：
【点评】本题考查旋转变换，解直角三角形，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•福州模拟）已知等边△ABC，D为BC边上一点，点E在线段AD上，且∠EBD＝∠BAD．将△ABE绕着点A逆时针旋转至△ACF，连接EF，交AC于点G．
（1）求证：B，E，F三点共线；
（2）记△CGF的面积为S1，△BDE的面积为S2，若BD＝DE，求的值．

【考点】等边三角形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】(1)证明∠AEB+∠AEF＝180°,可得结论．
(2)设DE＝x,则BD＝x,过点D作DH⊥BE于H,作CJ⊥BF于J．想办法求出S1,S2(用x表示），即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°,
∴∠ABE+∠EBD＝60°,
∵∠EBD＝∠BAD,
∴∠ABE+∠BAE＝60°,
∴∠AEB＝180°﹣60°＝120°,
∵AE＝AF,∠EAF＝∠BAC＝60°,
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°,
∴∠AEB+∠AEF＝180°,
∴B,E,F共线．

（2）解：设DE＝x,则BD＝x,过点D作DH⊥BE于H,作CJ⊥BF于J．

在Rt△DHE中，∠DEH＝60°,DE＝x,
∴EH＝DE•cos60°＝,DH＝EH＝x,
∴BH＝＝＝x,
∴BE＝BH+EH＝3x,
由旋转得到△BAE≌△CAF,
∴BE＝CF＝3x,∠ABE＝∠ACF,
∵∠AGB＝∠CGF,
∴∠CFG＝∠BAG＝60°,
∴∠AEF＝∠CG＝60°,
∴AD∥CF,
∴＝＝3,
∴BF＝9x,
∴AE＝EF＝AF＝6x,
∵＝＝2,
∴EG＝4x,GF＝2x,
∵CJ⊥FG,
∴CJ＝CF•sin60°＝3x×＝x,
∴S1＝•FG•CJ＝×2x×x＝x2,S2＝•BE•DH＝×3x×x＝x2,
∴＝．
【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
22．（2021•硚口区模拟）在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（1，7）B（8，6）C（6，2），D是AB与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题：
（1）直接写出△ABC的形状；
（2）画出点D关于AC的对称点E；
（3）在AB上画点F，使∠BCF＝0.5∠BAC；
（4）线段AB绕某个点旋转一个角度得到线段CA（A与C对应，B与A对应），直接写出这个旋转中心的坐标．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图﹣轴对称变换；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，AC，可得结论．
（2）取格点Q，使得△ACQ≌△ACB，线段AQ与格线的交点E，即为所求作．
（3）取格点W，连接CW交AB于点F，点F即为所求作．
（4）线段AC，AB的中垂线的交点J，即为所求作，构建一次函数，利用方程组确定交点坐标即可．
【解答】解：（1）如图，∵AB＝＝5，AC＝＝5，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．

（2）如图，点E即为所求作．
（3）如图，点F即为所求作．
（4）由题意，线段AC的中垂线为y＝x+1，线段AB的中垂线y＝7x﹣25，
由，解得，
∴旋转中心J的坐标为（，）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（2021•郴州模拟）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B＝∠E＝30°时，此时旋转角的大小为　60°　；
②当∠B＝∠E＝α时，此时旋转角的大小为　2α　（用含a的式子表示）．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．

【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称．
【分析】（1）①证明△ADC是等边三角形即可．
②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD＝2∠B即可解决问题．
（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．
【解答】解：（1）①∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣30°＝60°，
∵CA＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴旋转角为60°，
故答案为60°．

②如图2中，作CH⊥AD于H．

∵CA＝CD，CH⊥AD，
∴∠ACH＝∠DCH，
∵∠ACH+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，
∴∠ACH＝∠B，
∴∠ACD＝2∠ACH＝2∠B＝2α，
∴旋转角为2α．
故答案为2α．
（2）小扬同学猜想是正确的，证明如下：
过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，
∴∠BNC＝∠EMC＝90°，
∵△ACB≌△DCE，
∴BC＝EC，
在△CBN和△CEM中，
∠BNC＝∠EMC，∠1＝∠3，BC＝EC，
∴△CBN≌△CEM（AAS），
∴BN＝EM，
∵S△BDC＝•CD•BN，S△ACE＝•AC•EM，
∵CD＝AC，
∴S△BDC＝S△ACE．
【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（2020秋•前郭县期末）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．

【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由AB＝BC得到∠A＝∠C，再根据旋转的性质得AB＝BC＝BC1，∠A＝∠C＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，则可证明△ABE≌△C1BF，于是得到BE＝BF；
（2）根据等腰三角形的性质得∠A＝∠C＝30°，利用旋转的性质得∠A1＝∠C1＝30°，∠ABA1＝∠CBC1＝30°，则利用平行线的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判断四边形BC1DA是平行四边形，然后加上AB＝BC1可判断四边形BC1DA是菱形．
【解答】解：（1）BE＝BF．理由如下：
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，
∴AB＝BC＝BC1，∠A＝∠C＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，
在△ABE和△C1BF中
，
∴△ABE≌△C1BF，
∴BE＝BF
（2）四边形BC1DA是菱形．理由如下：
∵AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠A1＝∠C1＝30°，
∵∠ABA1＝∠CBC1＝30°，
∴∠ABA1＝∠A1，∠CBC1＝∠C，
∴A1C1∥AB，AC∥BC1，
∴四边形BC1DA是平行四边形．
又∵AB＝BC1，
∴四边形BC1DA是菱形．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的判定方法．
25．（2020秋•肇源县期末）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠APB的度数．

【考点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由旋转的性质可以证明△PBQ是等边三角形，即可解决问题．
（2）利用勾股定理的逆定理证明∠PQC＝90°，由∠BQC＝∠APB，即可解决问题．
【解答】解：（1）连接PQ，

由旋转性质有：
BQ＝BP＝8，QC＝PA＝6，∠QBC＝∠ABP，∠BQC＝∠BPA，
∴∠QBC+∠PBC＝∠ABP+∠PBC
即∠QBP＝∠ABC，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠QBP＝60°，
∴△BPQ是正三角形，
∴PQ＝BP＝BQ＝8．

（2）在△PQC中，PQ＝8，QC＝6，PC＝10
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°．
【点评】本题考查旋转变换、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（2019秋•凤山县期中）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）若BD＝1，求AD，CD的长．

【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出△ADE是等边三角形即可；
（2）利用四边形的内角和即可求出结论；
（3）先求出CD，再用勾股定理即可求出结论．
【解答】（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE
∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，
∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAC＝60°
∴∠DAE＝60°
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE，
（2）∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°
∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，
（3）∵△ADE为等边三角形
∴∠ADE＝60°
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°
又∵∠DCE＝90°
∴DE＝2CE＝2BD＝2，
∴AD＝DE＝2
在Rt△DCE中，．
【点评】此题是旋转的性质，主要考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是判断出△ADE是等边三角形．
27．（2018秋•鸡西期末）如图，在30°的直角三角形ABC中，∠B＝30°，D是直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接BE，DE．
（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并结合图①证明你的结论；
（2）当点E不在直线BC上时，如图②、图③，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②、图③选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】（1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，结合直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半解决问题；
【解答】解：（1）DE＝BE． 理由如下：
∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，∠AED＝60°．
∵∠ABC＝30°，∠AED＝∠ABC+∠EAB，
∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABC＝∠EAB，
∴EB＝AE，
∴EB＝DE；

（2）图②、图③中结论不变．

如图②中，过点E作EF⊥AB，垂足为F，
在△ABC中，∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠DAE＝∠CAB，
∴∠DAE﹣∠CAE＝∠BAC﹣∠CAE，
则∠CAD＝∠EAF．
又∵AD＝AE，∠ACD＝∠AFE，
∴△ADC≌△AEF（AAS），
∴AC＝AF．
在△ABC中，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB，
∴AF＝BF，
∴EA＝EB，
∴DE＝EB．
图③中 证明方法类似．
【点评】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．（2019•站前区校级三模）如图，△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1．
（Ⅰ）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（Ⅱ）请画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称．

【考点】作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【专题】作图题．
【分析】（Ⅰ）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（Ⅱ）直接利用关于点O对称点的性质得出对应点位置．
【解答】解：（Ⅰ）所画△A1B1C1如图所示．
（Ⅱ）所画△△A2B2C2如图所示．

【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，得出对应点位置是解题关键．
29．（2019•德城区一模）阅读材料：
对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．即如图①，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．

请根据阅读材料，解决下列问题：
如图②，直线CD是等边△ABC的对称轴，点D在AB上，点E是线段CD上的一动点（点E不与点C、D重合），连接AE、BE，△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合．
（I）旋转中心是点　 　，旋转了　60　（度）；
（II）当点E从点D向点C移动时，连接AF，设AF与CD交于点P，在图②中将图形补全，并探究∠APC的大小是否保持不变？若不变，请求出∠APC的度数；若改变，请说出变化情况．
【考点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【分析】（Ⅰ）根据旋转变换的性质即可解决问题；
（Ⅱ）根据∠CPA＝∠PCB+∠CQP，分别求出∠PCB，∠CQP即可；
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：旋转中心是B，旋转角为60°．
故答案为B，60；

（Ⅱ）补全图形如图所示；

结论：∠APC的大小保持不变，
理由如下：设AF与BC交于点Q．
∵直线CD是等边△ABC的对称轴，
∴AE＝BE，，
∵△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合
∴BE＝BF，AE＝CF，
∴BF＝CF，
∴点F在线段BC的垂直平分线上
∵AC＝AB
∴点A在线段BC的垂直平分线上
∴AF垂直平分BC，即∠CQP＝90°，
∴∠CPA＝∠PCB+∠CQP＝120°．
【点评】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，利用旋转不变性解决问题，属于中考常考题型．
30．（2018秋•天心区校级期末）综合应用题：如图，有一副直角三角板如图①放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）∠DPC＝　75°　；
（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板∠PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；
（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN．处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM，求旋转的时间是多少？

【考点】平行线的判定与性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）根据平角的定义即可得到结论；
（2）如图1，2）如图1，根据平行线的性质得到∠CPN＝∠DBP＝90°，求得∠APN＝30°，于是得到结论；如图2，根据平行线的性质得到∠CPB＝∠DBP＝90°，根据三角形的内角和得到∠CPA＝60°，求得∠APM＝30°，于是得到结论；
（3）设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，根据周角的定义得到∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°，
∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为：75°；
（2）如图1，此时，BD∥PC成立，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，PC∥BD，
∵PC∥BD，∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立；
（3）设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，
∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°，
∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，
当∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°，
解得：t＝25，
∴当∠CPD＝∠BPM，求旋转的时间是25秒．


【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，之前的识别图形是解题的关键．

考点卡片
1．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
4．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
7．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
8．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

9．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
10．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
11．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
12．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
13．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
14．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
15．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
16．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
17．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
18．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
19．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
20．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
22．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
23．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
24．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
25．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
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日期：2021/6/27 16:44:37；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867