人教新版数学八年级下册专题复习《二次根式》（含答案）

这是一份人教新版数学八年级下册专题复习《二次根式》（含答案），共34页。试卷主要包含了阅读下面的文字后，回答问题等内容，欢迎下载使用。
人教新版数学九年级专题复习《二次根式》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•荆门）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣x3）2＝x5 B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
2．（2021春•海淀区校级期末）下列各组中互为有理化因式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
3．（2021春•龙口市期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
4．（2021春•龙口市期中）下列计算中，正确的是（　　）
A．+＝
B．（）2020•（）2021＝+
C．＝﹣5
D．2﹣2＝
5．（2020春•德阳期末）已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．25 D．5或﹣5
6．（2019秋•永嘉县期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）

A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm
7．（2019春•济宁期中）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（　　）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
8．（2018春•涿州市期末）阅读下面的文字后，回答问题：
小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中a＝9时，得出了不同的答案．
小强的解答是：原式＝；
小芳的解答是：原式＝．
请你判断，解答正确的是（　　）
A．小强 B．小芳
C．小强和小芳 D．小强与小芳均错误
9．（2020秋•崇川区校级月考）若x2+y2＝1，则++的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（　　）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•海淀区校级期末）已知x＝﹣3，y＝，则＝　 　．
12．（2021春•江夏区校级月考）已知实数a，b满足|2a﹣3|+|b+2|+＝1，则a+b等于　 　．
13．（2021春•江油市月考）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为　 　．
14．（2020秋•宜阳县期中）已知＝z，＝3，则多项式2x2z﹣4xyz+2zy2的值为　 　．
15．（2019秋•温江区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则的值为　 　．
16．（2020•浙江自主招生）化简＝　 　．
17．（2018秋•金牛区校级期中）若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝　 　．
18．（2019秋•港南区期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝　 　．
19．（2019秋•嘉定区期中）已知a，b是实数，且（+a）（+b）＝1，问a，b之间有怎样的关系：　 　．
20．（2014秋•资中县月考）实数a、b满足+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为　 　．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•商河县期中）阅读下面计算过程：﹣1；.﹣2
请解决下列问题
（1）根据上面的规律，请直接写出＝　 　．
（2）利用上面的解法，请化简：．
（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．
22．（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝
＝＝
＝＝＝﹣1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：+++…+．
23．（2020秋•浦东新区月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
24．（2020春•孟村县期末）观察下列各式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
25．（2020春•泗水县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
26．（2019秋•峨眉山市月考）计算：
（1）2（4﹣3+2）；
（2）+﹣（﹣π）0+3﹣2
（3）若a＝+1，b＝﹣1，求a2b+ab2的值．
（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|

27．（2019•随县模拟）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
28．（2019春•宁波期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．
根据上述方法化简：
（1）．
（2）．
29．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与　 　互为有理化因式，将分母有理化得　 　；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
30．（2017春•江津区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设x+y＝（a+b）2（其中x、y、a、b均为整数），则有x+y＝a2+2b2+2ab，
∴x＝a2+2b2，y＝2ab，这样小明就找到了一种把类似x+y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x、y、a、b均为正整数时，若x+y＝（a+b）2，用含a、b的式子分别表示x、y，得x＝　 　，y＝　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数x、y、a、b填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　）2；
（3）若x+8＝（a+b）2，且x、a、b均为正整数，求x的值．

2021年新初三数学人教新版专题复习《二次根式》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•荆门）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣x3）2＝x5 B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数乘方，二次根式化简及整式乘法分别计算求解．
【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，错误，不满足题意．
B.＝|x|，错误，不满足题意．
C．（﹣x）2+x＝x2+x，错误，不满足题意．
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正确，满足题意．
故选：D．
【点评】本题考查实数的运算，解题关键是熟练掌握实数运算的方法．
2．（2021春•海淀区校级期末）下列各组中互为有理化因式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【考点】分母有理化．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据有理化因式的意义，结合各个选项的两个代数式求积后作出判断即可．
【解答】解：A．（+）•（﹣﹣）＝﹣（+）2，因此+和﹣﹣不是有理化因式，故选项A不符合题意；
B．（2﹣）•（﹣2）＝﹣（2﹣）2，所以2﹣和﹣2不是有理化因式，因此选项B不符合题意；
C．（a+）（﹣a）＝（）2﹣（a）2＝3﹣2a2，所以a+和﹣a是有理化因式，因此选项C符合题意；
D．•＝a，因此．和不是有理化因式，所以选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分母有理化，正确判断有理化因式是正确解答的前提．
3．（2021春•龙口市期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【考点】二次根式有意义的条件；分式方程的解．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式 有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程 +2＝的解为x＝，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【解答】解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝，
∵关于x的分式方程+2＝有正数解，
∴＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故选：D．
【点评】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，整数m的意义是正确解答的关键．
4．（2021春•龙口市期中）下列计算中，正确的是（　　）
A．+＝
B．（）2020•（）2021＝+
C．＝﹣5
D．2﹣2＝
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据同类二次根式的概念、二次根式的运算法则和性质逐一判断即可．
【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．（）2020•（）2021＝[（）（）]2020•（+）＝（﹣1）2020•（+）＝+，此选项正确；
C．＝|﹣5|＝5，此选项错误；
D．2与2不是同类二次根式，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
5．（2020春•德阳期末）已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．25 D．5或﹣5
【考点】二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先把+进行化简，再把a+b＝﹣5，ab＝1代入，即可求出答案．
【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
+＝﹣﹣＝﹣，
又∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴原式＝﹣＝5；
故选：A．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是把要求的式子进行化简，再进行计算．
6．（2019秋•永嘉县期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）

A．4cm B．16cm C．2（+4）cm D．4（﹣4）cm
【考点】整式的加减；二次根式的应用．菁优网版权所有
【专题】二次根式；几何直观．
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
根据题意得：x+2y＝，
则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
7．（2019春•济宁期中）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（　　）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
【考点】二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】二次根式．
【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
【点评】此题考查二次根式和绝对值问题，此题难点是由绝对值和二次根式的化简求得x的取值范围，要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质灵活掌握．
8．（2018春•涿州市期末）阅读下面的文字后，回答问题：
小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：，其中a＝9时，得出了不同的答案．
小强的解答是：原式＝；
小芳的解答是：原式＝．
请你判断，解答正确的是（　　）
A．小强 B．小芳
C．小强和小芳 D．小强与小芳均错误
【考点】二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质：＝|a|，可得答案．
【解答】解：原式＝a+＝a+|1﹣a|＝a+（a﹣1）＝2a﹣1＝2×9﹣1＝17,
∴小芳的解答正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟记二次根式的性质是解题关键．
9．（2020秋•崇川区校级月考）若x2+y2＝1，则++的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】二次根式．
【分析】先根据x2+y2＝1，可得﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，再根据二次根式有意义的条件得到x＝﹣1，进一步求出y＝0，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵x2+y2＝1，
∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，
∵＝＝，
x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴y＝0，
∴++
＝2+1+0
＝3．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的化简求值，关键去求出x、y的取值范围，根据二次根式有意义的条件得到x＝﹣1．
10．（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（　　）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
【考点】无理数；平方差公式；二次根式的性质与化简；分母有理化．菁优网版权所有
【专题】二次根式．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：设x＝﹣，且＞，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝，
∵＝5﹣2，
∴原式＝5﹣2﹣
＝5﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于较难题型．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•海淀区校级期末）已知x＝﹣3，y＝，则＝　3　．
【考点】二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】把x与y的值代入并化简求解．
【解答】解：＝＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质与化简方法．
12．（2021春•江夏区校级月考）已知实数a，b满足|2a﹣3|+|b+2|+＝1，则a+b等于　0　．
【考点】二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【分析】根据≥0，b2≥0，可得a≥2，进而可得a和b的值．
【解答】解：∵≥0，b2≥0，
∴a﹣2≥0，
∴a≥2，
∴|2a﹣3|≥1，|b+2|≥0，≥0，
∵|2a﹣3|+|b+2|+＝1，
∴|2a﹣3|＝1，|b+2|＝0，
∴a＝2，b＝﹣2，
∴a+b＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质．
13．（2021春•江油市月考）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为　4　．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，
，
解得：a＝，
则b＝﹣2，
故ab的值为（）﹣2＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a，b的值是解题关键．
14．（2020秋•宜阳县期中）已知＝z，＝3，则多项式2x2z﹣4xyz+2zy2的值为　486　．
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【专题】整式；二次根式；运算能力．
【分析】先根据算术平方根的定义求出z＝3，x﹣y＝9，再把2x2z﹣4xyz+2zy2分解因式，最后求出答案即可．
【解答】解：∵＝z，＝3，
∴z＝3，x﹣y＝9，
∴2x2z﹣4xyz+2zy2
＝2z（x2﹣2xy+y2）
＝2z（x﹣y）2
＝2×3×92
＝486，
故答案为：486．
【点评】本题考查了算术平方根，分解因式和二次根式的化简求值等知识点，灵活运用知识点进行计算和变形是解此题的关键．
15．（2019秋•温江区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则的值为　　．
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【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据a+b＝3，ab＝2，可以判断出a＞0，b＞0，将所求数字化简，然后a+b＝3，ab＝2代入即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵a+b＝3，ab＝2，
∴a＞0，b＞0，
∴原式＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
16．（2020•浙江自主招生）化简＝　　．
【考点】分母有理化；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先利用完全平方公式得到4﹣2＝（﹣1）2，则原式可化为简为，再利用2+＝，则原式可化简为，然后就计算二次根式的除法运算．
【解答】解：∵4﹣2＝（﹣1）2，
∴原式＝＝，
∵2+＝＝，
∴原式＝
＝
＝．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．（2018秋•金牛区校级期中）若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝　4030　．
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【专题】二次根式．
【分析】由于2015＝2016﹣1，可利用平方差公式把m化简，然后代入多项式求值．
【解答】解：∵m＝＝
＝
＝，
∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015
＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015
＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015
＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015
＝4032﹣2
＝4030
【点评】本题考查了平方差公式、二次根式的化简求值．解决本题的关键是利用平方差公式化简m．
18．（2019秋•港南区期末）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝　2018　．
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【专题】二次根式．
【分析】根据二次根式的性质求出m≥2018，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案．
【解答】解：∵|2017﹣m|+＝m，
∴m﹣2018≥0，
m≥2018，
由题意，得m﹣2017+＝m．
化简，得＝2017，
平方，得m﹣2018＝20172，
m﹣20172＝2018．
故答案为：2018．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键．
19．（2019秋•嘉定区期中）已知a，b是实数，且（+a）（+b）＝1，问a，b之间有怎样的关系：　a+b＝0　．
【考点】二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】二次根式．
【分析】等式的两边分别乘以（﹣a）、（﹣b）得两个等式，两式相加可得a、b间关系．
【解答】解：∵（+a）（+b）＝1，
等式的两边都乘以（﹣a），得+b＝﹣a①，
等式的两边都乘以（﹣b）得+a＝﹣b②，
①+②，得+b++a＝﹣b+﹣a，
整理，得2a+2b＝0
所以a+b＝0
故答案为：a+b＝0
【点评】本题考查了二次根式的乘法和加减．解决本题的关键是发现（+a）与（﹣a）的关系，找到解决问题的办法．
20．（2014秋•资中县月考）实数a、b满足+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a2+b2的最大值为　41　．
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【专题】计算题．
【分析】首先化简+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，可得：|a﹣1|+|a﹣5|+|b+4|+|b﹣2|＝10；然后根据|a﹣1|+|a﹣5|≥4，|b+4|+|b﹣2|≥6，判断出a、b的取值范围，求出a2+b2的最大值是多少即可．
【解答】解：∵+＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，
∴|a﹣1|+|a﹣5|＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，
∴|a﹣1|+|a﹣5|+|b+4|+|b﹣2|＝10，
∵|a﹣1|+|a﹣5|≥4，|b+4|+|b﹣2|≥6，
∴|a﹣1|+|a﹣5|＝4，|b+4|+|b﹣2|＝6，
∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，
∴a2+b2的最大值为：
52+（﹣4）2＝41．
故答案为：41．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•商河县期中）阅读下面计算过程：﹣1；.﹣2
请解决下列问题
（1）根据上面的规律，请直接写出＝　﹣　．
（2）利用上面的解法，请化简：．
（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．
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【专题】阅读型．
【分析】（1）利用前面的计算结果可得到两相邻非负整数的算术平方根的和的倒数等于它们的算术平方根的差；
（2）利用（1）中的规律易得原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，然后合并即可；
（3）把分子分母都乘以+，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）＝＝﹣．
（2）
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9；
（3）
＝
＝+．
故答案为：+．
【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
22．（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝
＝＝
＝＝＝﹣1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：+++…+．
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【专题】计算题．
【分析】（1）分子分母分别乘即可；
（2）分子分母分别乘﹣即可；
（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；
【解答】解：（1）＝＝
（2）化简＝＝﹣
（3）化简：+++…+
＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣1）
【点评】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型．
23．（2020秋•浦东新区月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
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【专题】计算题；二次根式．
【分析】（1）将3分成2+1，利用完全平方公式即可求出结论；
（2）结合（1）将原式变形为，将18分成16+2，利用完全平方公式即可求出结论；
（3）将3分成2+1、5分成2+3、7分成3+4、9分成4+5、11分成5+6，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论．
【解答】解：（1）＝＝＝＝+1；
（2）＝＝＝＝＝＝4+；
（3）原式＝++++，
＝++++，
＝++++，
＝﹣1+﹣+2﹣+﹣2+﹣，
＝﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键．
24．（2020春•孟村县期末）观察下列各式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上各式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
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【专题】规律型．
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得﹣，然后分母有理化，求出结果即可．
【解答】解：（1）﹣＝﹣＝﹣＝﹣1，
＝﹣＝﹣2，
＝＝﹣3，
＝﹣＝﹣4，
（2）﹣＝﹣5，
（3）﹣＝﹣＝﹣n．
【点评】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．
25．（2020春•泗水县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：
例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
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【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，
∴＝＝1+；
（2）＝＝＝﹣．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
26．（2019秋•峨眉山市月考）计算：
（1）2（4﹣3+2）；
（2）+﹣（﹣π）0+3﹣2
（3）若a＝+1，b＝﹣1，求a2b+ab2的值．
（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|

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【专题】计算题；整体思想；应用意识．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算顺序进行计算即可求解；
（2）利用分母有理化、零指数幂、负整数指数幂的知识即可求解；
（3）根据二次根式混合运算知识和平方差公式即可求解；
（4）根据数轴和绝对值的意义确定每个式子的取值进而化简求解．
【解答】解：（1）原式＝2（8﹣9+2）
＝2×
＝10；
（2）原式＝+1+3﹣1+
＝4；
（3）∵a＝+1，b＝﹣1，
∴a+b＝2，ab＝4，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝4×2
＝8；
（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．
∴﹣|a+b|++|b+c|
＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值、实数与数轴、零指数幂、负整数指数幂、分母有理化，解决本题的关键是对基础知识的掌握．
27．（2019•随县模拟）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　7　+　4　＝（　2　+　1　 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
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【专题】计算题．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
28．（2019春•宁波期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．
根据上述方法化简：
（1）．
（2）．
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【专题】二次根式．
【分析】（1）直接利用完全平方公式化简求出答案；
（2）直接利用完全平方公式化简求出答案．
【解答】解：（1）＝＝；
（2）＝＝2+．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
29．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与　3+　互为有理化因式，将分母有理化得　　；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
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【专题】阅读型．
【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；
（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；
（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．
【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，
故答案为：3，；
（2）
＝﹣2
＝2﹣；
（3）∵，
∴（﹣1）a+b＝﹣1+2，
∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，
∴﹣a＝﹣1，a+＝2，
解得，a＝1，b＝2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
30．（2017春•江津区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设x+y＝（a+b）2（其中x、y、a、b均为整数），则有x+y＝a2+2b2+2ab，
∴x＝a2+2b2，y＝2ab，这样小明就找到了一种把类似x+y的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x、y、a、b均为正整数时，若x+y＝（a+b）2，用含a、b的式子分别表示x、y，得x＝　a2+3b2　，y＝　2ab　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数x、y、a、b填空：　4　+　2　＝（　1　+　1　）2；
（3）若x+8＝（a+b）2，且x、a、b均为正整数，求x的值．
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【专题】计算题．
【分析】（1）利用完全平方公式把（a+b）2展开后合并即可得到x、y的值；
（2）先取a、b的值，再计算x和y的值；
（3）把右边展开得到a2+3b2＝x，2ab＝8，再利用整除性求出a、b，然后计算x、y的值．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+3b2）+2ab，
所以x＝a2+3b2，y＝2ab；
（2）x、y、a、b的值分别取4，2，1，1；
故答案为a2+3b2，2ab；4，2，1，1；
（3）由题意得 a2+3b2＝x，2ab＝8，
∵ab＝4，且a、b为正整数，
∴a＝2，b＝2或a＝1，b＝4或a＝4，b＝1，
∴当a＝2，b＝2时，x＝22+3×22＝16
当a＝1，b＝4时，x＝12+3×42＝49
当a＝4，b＝1时，x＝42+3×12＝19．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

考点卡片
1．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
2．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
4．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
5．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
6．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
7．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
8．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
9．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
10．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
11．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
12．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
13．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
14．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
16．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
17．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
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