北师大新版数学八年级下册专题复习《分式与分式方程》（含答案）

这是一份北师大新版数学八年级下册专题复习《分式与分式方程》（含答案），共39页。试卷主要包含了设x＜0，x﹣＝，则代数式的值等内容，欢迎下载使用。
北师大新版数学九年级专题复习《分式与分式方程》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•十堰）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣＝50 D．﹣＝50
2．（2021•嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝20 D．﹣＝20
3．（2021•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．5 B．8 C．12 D．15
4．（2021春•沙坪坝区校级月考）已知关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程＝4﹣有正整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021春•茅箭区月考）某施工队计划修建一个长为600米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的1.5倍修建，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划一周修建隧道x米，则可列方程为（　　）
A．＝+2 B．＝﹣2
C．＝+1 D．＝﹣1
6．（2021•铜梁区校级一模）若整数a使关于x的不等式组有且只有两个整数解，且关于y的分式方程﹣＝﹣2的解为正数，则满足上述条件的a的和为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2021•九龙坡区校级模拟）若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2021春•重庆月考）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程+＝1有正数解，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．（2018春•温州期末）甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息

如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　）
A．13小时 B．13小时 C．14小时 D．14小时
10．设x＜0，x﹣＝，则代数式的值（　　）
A．1 B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2020秋•锦江区校级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　 　．
12．（2020秋•沙坪坝区校级月考）中秋、国庆“双节”前，某酒店推出甲，乙两种包装的月饼，其中甲种包装有五仁饼3个，莲蓉饼3个，豆沙饼2个，乙种包装有五仁饼1个，莲蓉饼1个，豆沙饼2个，每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和．已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为5：4，每盒乙包装月饼售价98元，利润率是40%，两种包装的月饼共50盒总价6123元，总利润率是30%．中秋节后，为降价促销，甲种包装每盒每类月饼各少装一个，乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半，利润率不变，那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是　 　元（其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同，当然乙种包装盒数也相同）．
13．（2019•雨城区校级模拟）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为　 　．
14．（2014春•青羊区期末）已知x2﹣5x+1＝0，则的值是　 　．
15．（2009春•营山县期末）已知，则＝　 　．
16．已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，且xyz＝6，则代数式++﹣﹣﹣的值等于　 　．
17．“非洲猪瘟”本是一种只在家畜之间传播的瘟疫，但最近已严重威胁到广大人民群众的生命安全，现我市有一组检疫工作人员（工作人员每人每天生猪检疫的效率相等），需对甲、乙两个生猪养殖场的所有生猪逐一检疫，已知，甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍．上午全部工作人员在甲养殖场检疫，为了尽快完成检疫，下午所有工作人员的平均工作效率提高了20%，但下午有一人因事离开，剩下的工作人员的一半仍留在甲养殖场（上、下午的工作时间相等），到下班前刚好把甲养殖场的生猪检疫完毕，另一半工作人员去乙养殖场检疫，到下班前还剩下一小部分生猪未检疫，最后由6人以提高前的检疫速度，再用不到半天的工作时间就完成了检疫．则这组工作人员最多有　 　人．
18．（2021•九龙坡区模拟）临近端午，甲、乙两生产商分别承接制作白粽，豆沙粽和蛋黄粽的任务（三种粽子都有成品，甲生产商安排200名工人制作白粽和豆沙粽，每人只能制作其中一种粽子，乙生产商安排100名工人制作蛋黄粽，其中豆沙粽的人均制作数量比白粽的人均制作数量少15个，蛋黄粽的人均制作数量比豆沙粽的人均制作数量少20%，若本次制作的白粽、豆沙粽和蛋黄粽三种粽子的人均制作数量比白粽的人均制作数用少20%，且豆沙粽的人均制作量为偶数个，则本次可制作的粽子数量最多为　 　个．
19．（2020秋•北京期末）依据如图流程图计算﹣，需要经历的路径是　 　（只填写序号），输出的运算结果是　 　．

20．设2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且＝++，则++＝　 　
三．解答题（共10小题）
21．（2021•包河区三模）市政府为美化城市环境，计划在某区城种植树木2000棵，由于青年志愿者的加入，实际每天植树棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务．求实际每天植树多少棵？
22．（2021•平房区三模）某体育用品商店计划购进一些篮球和排球．已知每个篮球的进价和每个排球的进价的和为200元，用2400元购进的篮球数量是用800元购进排球数量的2倍．
（1）求每个篮球和每个排球的进价各是多少元；
（2）若该体育用品商店计划购进篮球和排球共40个，且购进的总费用不超过3800元，则该体育用品商店最多可以购进篮球多少个？
23．（2021•岳阳二模）岳阳市区某中学为了创建“书香校园”，今年春季购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用20000元购买的科普类图书的本数与用15000元购买的文学类图书的本数相等．
（1）求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
（2）学校计划在五月份再添置600本这两类图书，且费用不超过10000元，问最多可以购买科普类图书多少本？
24．（2021•宝安区模拟）为了抗击“新型肺炎”，我市某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务，任务要求在30天之内（含30天）生产A型和B型两种型号的口罩共200万只．在实际生产中，由于受条件限制，该工厂每天只能生产一种型号的口罩．已知该工厂每天可生产A型口罩的个数是生产B型口罩的2倍，并且加工生产40万只A型口罩比加工生产50万只B型口罩少用6天．
（1）该工厂每天可加工生产多少万只B型口罩？
（2）若生产一只A型口罩的利润是0.8元，生产一只B型口罩的利润是1.2元，在确保准时交付的情况下，如何安排工厂生产可以使生产这批口罩的利润最大？
25．（2020秋•香洲区期末）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
（1）若a＝﹣3，b＝2，则m＝　 　，n＝　 　；
（2）若m＝﹣2，，求的值；
（3）若n＝﹣1，当时，求m的值．
26．（2021春•滨湖区期中）小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难．
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦．
小明说：可将分式与分数进行类比．本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和．比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）．类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题．
27．（2021春•大兴区期中）已知非零实数a、b满足等式，求的值．
28．（2020秋•连山区期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，
所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．
所以，解得．

所以＝＝﹣＝3x+1﹣．

这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．
根据你的理解解决下列问题：
（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．
29．（2020秋•乌苏市期末）近年来，安全快捷、平稳舒适的中国高铁，为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆．随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：
（1）普通列车的行驶路程为多少千米？
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．
30．（2021•禅城区校级一模）先化简（1﹣）÷，再从0，2，﹣1，1中选择一个合适的数代入并求值．

2021年新初三数学北师大新版专题复习《分式与分式方程》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•十堰）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣＝50 D．﹣＝50
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可．
【解答】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，
根据题意，得﹣＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
2．（2021•嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝20 D．﹣＝20
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”列方程即可．
【解答】解：若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，
根据题意可得：﹣＝20．
故选：B．
【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
3．（2021•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．5 B．8 C．12 D．15
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x＞，
∵不等式组的解集为x≥6，
∴6，
∴a＜7；
分式方程两边都乘（y﹣1）得：y+2a﹣3y+8＝2（y﹣1），
解得：y＝，
∵方程的解是正整数，
∴＞0，
∴a＞﹣5；
∵y﹣1≠0，
∴1，
∴a≠﹣3，
∴﹣5＜a＜7，且a≠﹣3，
∴能使是正整数的a是：﹣1，1，3，5，
∴和为8，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，注意解分式方程一定要检验．
4．（2021春•沙坪坝区校级月考）已知关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程＝4﹣有正整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用；推理能力．
【分析】分别求出满足不等式有解与分式方程的解为正数的a的取值范围，再求出其中满足使分式方程的解为正整数的a的整数值，注意舍去增根的情况．
【解答】解：
解不等式①得x＜2，
解不等式②得x＞﹣1，
∵不等式组有解，
∴﹣1＜2，
解得a＜9，
解分式方程＝4﹣得y＝，
∵方程的解为正数，
∴＞0且≠3，
∴a＞﹣且a≠3，
∴﹣＜a＜9且a≠3，
满足使方程的解为正整数的整数a的值有0，6两个．
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式组与分式方程的解，解题关键是求解过程要注意分式方程的增根情况．
5．（2021春•茅箭区月考）某施工队计划修建一个长为600米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的1.5倍修建，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划一周修建隧道x米，则可列方程为（　　）
A．＝+2 B．＝﹣2
C．＝+1 D．＝﹣1
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】设原计划一周修建隧道x米，则提速后的速度为一周修建1.5x米，根据“结果比原计划提前一周完成任务”即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原计划一周修建隧道x米，则提速后的速度为一周修建1.5x米，
根据题意，得：＝+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
6．（2021•铜梁区校级一模）若整数a使关于x的不等式组有且只有两个整数解，且关于y的分式方程﹣＝﹣2的解为正数，则满足上述条件的a的和为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据有且只有两个整数解列出不等式求出a的范围；解分式方程，根据解为正数，且y﹣1≠0，得到a的范围；然后得到a的范围，再根据a为整数得到a的值，最后求和即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x≥，
∴不等式组的解集为≤x≤2，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴0＜≤1，
∴0＜a≤3；
分式方程两边都乘以（y﹣1）得：1﹣3y+2a＝﹣2（y﹣1），
解得：y＝2a﹣1，
∵分式方程的解为正数，
∴2a﹣1＞0，
∴a＞；
∵y﹣1≠0，
∴y≠1，
∴2a﹣1≠1，
∴a≠1，
∴＜a≤3，且a≠1，
∵a是整数，
∴a＝2或3，
∴2+3＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解分式方程时别忘记检验．
7．（2021•九龙坡区校级模拟）若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多3个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得m的值
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
∴﹣1≤x＜，
∵不等式组有解且至多3个整数解，
∴﹣1＜＜2，
∴﹣3＜m＜6，
分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1），
∴（m﹣2）x＝3，
当m≠2时，x＝，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
∴≠1，
∴m≠5，
∵方程有整数解，
∴m﹣2＝±1，±3，
解得：m＝3，1，5，﹣1，
∵m≠5，
∴，m＝3，1，﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，考核学生的计算能力，解分式方程时一定要检验．
8．（2021春•重庆月考）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程+＝1有正数解，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解，得到a的范围；解分式方程，根据分式方程有意义和方程有正数解求得a的范围，从而得到2＜a≤6，且a≠5，所以a的整数解为3，4，6，和为13．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜5，
解不等式②得：x≥，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴1＜≤2，
∴2＜a≤6；
分式方程两边都乘以（x﹣1）得：ax﹣2﹣3＝x﹣1，
解得：x＝，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
∵方程有正数解，
∴0，≠1，
∴a＞1，a≠5，
∴2＜a≤6，且a≠5，
∴a的整数解为3，4，6，和为13，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解分式方程不要忘记检验．
9．（2018春•温州期末）甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息

如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　）
A．13小时 B．13小时 C．14小时 D．14小时
【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用．
【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．
【解答】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则
＝．
解得x＝20
经检验x＝20是原方程的根，且符合题意．
则丙的工作效率是．
所以一轮的工作量为：++＝．
所以4轮后剩余的工作量为：1﹣＝．
所以还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：﹣﹣＝．
所以丙还需要工作小时．
故一共需要的时间是：3×4+2+＝14小时．
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10．设x＜0，x﹣＝，则代数式的值（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】分式的值；分式的加减法．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想．
【分析】根据完全平方公式以及立方和公式即可求出答案．
【解答】解：∵x﹣＝，
∴（x）2＝5，
∴x2+＝7，
∴（x+）2＝x2+2+＝9，
∵x＜0，
∴x+＝﹣3，
∴x2+1＝﹣3x，
∴x4+1＝7x2，
∵（x2+）2＝x4+2+，
∴x4+＝47，
∴x8+1＝47x4，
∵x3+＝（x+）（x2﹣1+），
∴x3+＝﹣18，
∴x6+1＝﹣18x3，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝
故选：B．
【点评】本题考查学生的整体的思想，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及立方和公式，本题属于难题．
二．填空题（共10小题）
11．（2020秋•锦江区校级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为　﹣2　．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为x≥5，列出不等式求得a的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且y﹣2≠0列出不等式，求得a的范围；综上所述，求得a的范围．根据a为整数，求出a的值，最后求和即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥5，
解不等式②得：x＞a+2，
∵解集为x≥5，
∴a+2＜5，
∴a＜3；
分式方程两边都乘以（y﹣2）得：y﹣a＝﹣（y﹣2），
解得：y＝，
∵分式方程有非负整数解，
∴≥0，
∴a≥﹣2，
∵≠2，
∴a≠2，
综上所述，﹣2≤a＜3且a≠2，
∴符合条件的所有整数a的数有：﹣2，﹣1，0，1，
和为﹣2﹣1+0+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，解分式方程时一定记得要检验．
12．（2020秋•沙坪坝区校级月考）中秋、国庆“双节”前，某酒店推出甲，乙两种包装的月饼，其中甲种包装有五仁饼3个，莲蓉饼3个，豆沙饼2个，乙种包装有五仁饼1个，莲蓉饼1个，豆沙饼2个，每种包装每盒月饼的成本价为该盒中所有月饼的成本价之和．已知每个五仁饼与每个莲蓉饼的成本价之比为5：4，每盒乙包装月饼售价98元，利润率是40%，两种包装的月饼共50盒总价6123元，总利润率是30%．中秋节后，为降价促销，甲种包装每盒每类月饼各少装一个，乙种包装每盒少装月饼后售价降为原来的一半，利润率不变，那么这样包装的两种月饼共50盒的总成本是　4710　元（其中甲种包装少装月饼后的盒数与节前50盒中甲种包装月饼的盒数相同，当然乙种包装盒数也相同）．
【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】设乙的成本价为a，然后根据题意列出90﹣s＝40%a，求得a，设五仁饼的成本价为x，则一个莲蓉饼的成本价，则两豆沙饼成本价为（70﹣），设五仁饼的成本价为x，则一个莲蓉饼的成本价，则两豆沙饼成本价为（70﹣），设甲礼盒和乙礼盒分别为m盒和n盒，然后列式计算即可．
【解答】解：设乙的成本价为a，
根据题意列出90﹣s＝40%a，
解得a＝70，
设五仁饼的成本价为x，则一个莲蓉饼的成本价，则两豆沙饼成本价为（70﹣），
设甲礼盒和乙礼盒分别为m盒和n盒，m+n＝50
则有70n+m（3x+3×）＝6213÷（1+30%）
70n+70m+mx＝4710．
xm＝，
节后乙每盒成本98÷2÷（1+40%）＝35，
甲每盒成本2x+2×x+35﹣x＝35+x，
总成本35n+m（35+x）＝35×50+×＝2657.5．
故答案为：2657.5．
【点评】本题考查了列代数式和一元一次方程，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
13．（2019•雨城区校级模拟）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为　1　．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程与不等式；应用意识．
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
【解答】解：，
解①得，x＜5；
解②得，
∴不等式组的解集为；
∵不等式有且只有四个整数解，
∴，
解得，﹣2＜a≤2；
解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）；
∵方程的解为非负数，
∴2﹣a≥0即a≤2且a≠1
综上可知，﹣2＜a≤2且a≠1，
∵a是整数，
∴a＝﹣1，0，2；
∴﹣1+0+2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，本题易错，易忽视分式方程有意义的条件．
14．（2014春•青羊区期末）已知x2﹣5x+1＝0，则的值是　　．
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【分析】先根据题意得出x2＝5x﹣1，再根据分式混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：∵x2﹣5x+1＝0，
∴x2＝5x﹣1，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
15．（2009春•营山县期末）已知，则＝　﹣　．
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【专题】探究型．
【分析】先根据题意得出x﹣y＝﹣2xy，再代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：∵﹣＝2，
∴＝2，即x﹣y＝﹣2xy，
原式＝
＝
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
16．已知实数x，y，z，a满足x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，且xyz＝6，则代数式++﹣﹣﹣的值等于　　．
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【专题】分式；运算能力；推理能力．
【分析】根据xyz＝6，可以先将所求式子化简，然后根据x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，可以得到x﹣y＝﹣1，y﹣z＝﹣1，x﹣z＝﹣2，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：∵xyz＝6，
∴++﹣﹣﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝[（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2]，
∵x+a2＝2010，y+a2＝2011，z+a2＝2012，
∴x﹣y＝﹣1，y﹣z＝﹣1，x﹣z＝﹣2，
∴原式＝×[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]＝×（1+1+4）＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
17．“非洲猪瘟”本是一种只在家畜之间传播的瘟疫，但最近已严重威胁到广大人民群众的生命安全，现我市有一组检疫工作人员（工作人员每人每天生猪检疫的效率相等），需对甲、乙两个生猪养殖场的所有生猪逐一检疫，已知，甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍．上午全部工作人员在甲养殖场检疫，为了尽快完成检疫，下午所有工作人员的平均工作效率提高了20%，但下午有一人因事离开，剩下的工作人员的一半仍留在甲养殖场（上、下午的工作时间相等），到下班前刚好把甲养殖场的生猪检疫完毕，另一半工作人员去乙养殖场检疫，到下班前还剩下一小部分生猪未检疫，最后由6人以提高前的检疫速度，再用不到半天的工作时间就完成了检疫．则这组工作人员最多有　27　人．
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【专题】一元一次不等式(组)及应用；应用意识．
【分析】设每人每天可检疫x头猪，该组检疫工作人员有y人，则每人半天检疫头猪，由甲养殖场的生猪比乙养殖场的生猪多1倍，根据题意可得不等式，从而得解．
【解答】解：设每人每天可检疫x头猪，该组检疫工作人员有y人，由题意得：
xy+x（1+20%）×＜2[x（1+20%）×+6×]，
化简得：0.4y＜11.4
∴y＜28.5，
∵y只能为正整数，且有一人离开后，人数平分
∴y的最大值为27．
故答案为：27．
【点评】本题是较复杂的不等式应用题，题目中有两个变量，但是列完之后，每个因式中都含有x，从而可以消掉，变成一元一次不等式，从而得解，本题的难点在于变量较多，不等关系的得出较为复杂．
18．（2021•九龙坡区模拟）临近端午，甲、乙两生产商分别承接制作白粽，豆沙粽和蛋黄粽的任务（三种粽子都有成品，甲生产商安排200名工人制作白粽和豆沙粽，每人只能制作其中一种粽子，乙生产商安排100名工人制作蛋黄粽，其中豆沙粽的人均制作数量比白粽的人均制作数量少15个，蛋黄粽的人均制作数量比豆沙粽的人均制作数量少20%，若本次制作的白粽、豆沙粽和蛋黄粽三种粽子的人均制作数量比白粽的人均制作数用少20%，且豆沙粽的人均制作量为偶数个，则本次可制作的粽子数量最多为　23760　个．
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【专题】方程思想；推理能力．
【分析】总共参与制作的人数为200+100＝300人，由于粽子是有成品的，且甲只制作白粽子和豆沙粽子，所以可以设生产豆沙粽的有x人，白粽子的有（200﹣x）人．再设人均未知数，即豆沙粽人均y个，白粽子人均（y+15）个，蛋黄粽子人均y（1﹣20%）个．由三种人均个数的关系列方程即可．由于豆沙粽的人均制作量为偶数个，且每种粽子都有人制作，因此可以确定未知数的取值范围，再代入求值．
【解答】解：设生产豆沙粽的有x人，白粽子的有（200﹣x）人；生产豆沙粽人均y个，白粽子人均（y+15）个，则蛋黄粽子人均y（1﹣20%）＝0.8y个．
由题意得[xy+（y+15）（200﹣x）+100×0.8y]×＝（y+15）×（1﹣20%），
∴（xy+200y+3000﹣xy﹣15x+80y）×＝0.8y+12，
∴y+10﹣x＝0.8y+12，
∴y﹣x＝2，
∴x＝y﹣40．
又∵200﹣x＞0，y＞0，
∴0＜y＜90．
∵需要制作的粽子最多，而粽子总数为300（0.8y+12），y是偶数
∴y＝84时，x＝184，制作的粽子最多为23760．
故答案为：23760．
【点评】此题考查了二元一次方程的解法，用一个未知数表示另一个未知数，根据未知数的取值范围来确定最后的值，掌握分式方程的解法和不等式求解是关键．
19．（2020秋•北京期末）依据如图流程图计算﹣，需要经历的路径是　②　（只填写序号），输出的运算结果是　　．

【考点】有理数的混合运算；代数式求值；分式的加减法．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据流程图可得需经历路径为②，然后按照流程计算得出结果．
【解答】解：∵两个分式分母不同，
∴经历路径为②．
根据路径②计算如下：
原式＝，
＝﹣，
＝，
故答案为：②，．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的基本性质．
20．设2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且＝++，则++＝　1　
【考点】立方根；分式的加减法．菁优网版权所有
【专题】计算题；开放型；分式．
【分析】充分利用2016a3＝2017b3＝2018c3这个关系，对＝++中的a、b都用c进行替换即可求解．
【解答】解：＝＝＝（），
++＝+＝（），
即：＝，解得：＝1．
故答案为1．
【点评】此题主要考查了分式的加减，用替换的方法，把a、b用c替换，再化简，本题难度很大．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•包河区三模）市政府为美化城市环境，计划在某区城种植树木2000棵，由于青年志愿者的加入，实际每天植树棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务．求实际每天植树多少棵？
【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵数是2x棵，根据“提前4天完成任务”列出方程并解答．
【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵数是2x棵，
根据题意，得﹣＝4．
解得x＝250．
经检验x＝250是原方程的解，且符合题意．
所以2x＝500．
答：实际每天植树500棵．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
22．（2021•平房区三模）某体育用品商店计划购进一些篮球和排球．已知每个篮球的进价和每个排球的进价的和为200元，用2400元购进的篮球数量是用800元购进排球数量的2倍．
（1）求每个篮球和每个排球的进价各是多少元；
（2）若该体育用品商店计划购进篮球和排球共40个，且购进的总费用不超过3800元，则该体育用品商店最多可以购进篮球多少个？
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【专题】经济问题；运算能力；应用意识．
【分析】（1）设每个篮球的进价为x元，则每个排球的进价为（200﹣x）元，根据“用2400元购进的篮球数量是用800元购进排球数量的2倍”得到方程；即可解得结果；
（2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（40﹣a）个，根据题意得不等式组即可得到结果．
【解答】解：（1）设每个篮球的进价为x元，则每个排球的进价为（200﹣x）元．
根据题意得．
解得x＝120．
经检验x＝120是原分式方程的解．
∴200﹣x＝200﹣120＝80（元）．
答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．
（2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（40﹣a）个，
根据题意，得120a+80（40﹣a）≤3800．
解得a≤15．
答：该体育用品商店最多可以购进篮球15个．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，找准数量关系是解题的关键．
23．（2021•岳阳二模）岳阳市区某中学为了创建“书香校园”，今年春季购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用20000元购买的科普类图书的本数与用15000元购买的文学类图书的本数相等．
（1）求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
（2）学校计划在五月份再添置600本这两类图书，且费用不超过10000元，问最多可以购买科普类图书多少本？
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【专题】分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用；应用意识．
【分析】（1）首先设科普类书的单价为x元/本，则文学类书的单价为（x﹣5）元/本，根据题意可得等量关系：20000元购买的科普类图书的本数＝用15000元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
（2）设科普类书购a本，则文学类书购（600﹣a）本，根据“费用不超过10000元”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设科普类书的单价为x元/本，则文学类书的单价为（x﹣5）元/本，
依题意：，
解之得：x＝20．
经检验，x＝20是所列分程的根，且合实际，
∴x﹣5＝15．
答：科普类书单价为20元/本，文学类书单价为15元/本；
（2）设科普类书购a本，则文学类书购（600﹣a）本，
依题意：20a+15（600﹣a）≤10000，
解之得：a≤200．
答：最多可购科普类图书200本．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出方程（不等式），注意分式方程不要忘记检验．
24．（2021•宝安区模拟）为了抗击“新型肺炎”，我市某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务，任务要求在30天之内（含30天）生产A型和B型两种型号的口罩共200万只．在实际生产中，由于受条件限制，该工厂每天只能生产一种型号的口罩．已知该工厂每天可生产A型口罩的个数是生产B型口罩的2倍，并且加工生产40万只A型口罩比加工生产50万只B型口罩少用6天．
（1）该工厂每天可加工生产多少万只B型口罩？
（2）若生产一只A型口罩的利润是0.8元，生产一只B型口罩的利润是1.2元，在确保准时交付的情况下，如何安排工厂生产可以使生产这批口罩的利润最大？
【考点】分式方程的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）设工厂每天可加工生产x万只B型口罩，则每天可加工生产2x万只A型口罩，根据“加工生产40万只A型口罩比加工生产50万只B型口罩少用6天”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设获得的总利润为w万元，根据总利润＝每只的利润×生产数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设工厂每天可加工生产x万只B型口罩，则
．
解得x＝5．
经检验x＝5是原方程的根．
答：该工厂每天可生产5万只B型口罩．
（2）设安排工厂生产A型口罩a万只，则生产B型口罩（200﹣a）万只，这批口罩的总利润为W万元，则有：
W＝0.8a+1.2（200﹣a）＝﹣0.4a+240．
∵要确保准时交付，
∴．
∵k＝﹣0.4＜0，W随a的增大而减小，
∴当a＝100时，W最大＝200万元．
答：应该安排该工厂生产100万只A型口罩，100万只B型口罩时利润最大．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
25．（2020秋•香洲区期末）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
（1）若a＝﹣3，b＝2，则m＝　﹣1　，n＝　﹣6　；
（2）若m＝﹣2，，求的值；
（3）若n＝﹣1，当时，求m的值．
【考点】多项式乘多项式；分式的加减法．菁优网版权所有
【专题】因式分解；分式方程及应用；推理能力．
【分析】（1）将a与b的值代入求解．
（2）由（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n得，然后将化简代入m，n求值．
（3）将化简，然后代入a+b＝m，ab＝n＝﹣1，进而求解．
【解答】解：（1）将a＝﹣3，b＝2代入（x+a）（x+b）得：
（x+a）（x+b）＝（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，
∴m＝﹣1，n＝﹣6．
故答案为：﹣1，﹣6．
（2）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n．
∴，
∴+＝＝＝＝﹣4．
（3）∵a+b＝m，ab＝n＝﹣1，，
∴，
∴，
∴，
∴m2﹣2×（﹣1）+4m+2＝0，
∴m2+4m+4＝0，
∴（m+2）2＝0，
∴m＝﹣2．
【点评】本题考查分式与整式乘法及因式分解的综合应用，解题关键是熟练掌握分式的基本性质及整式的运算法则及因式分解的方法．
26．（2021春•滨湖区期中）小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难．
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦．
小明说：可将分式与分数进行类比．本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和．比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）．类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】（1）只要3是x+1的倍数即可；
（2）将分式化成一个整式与一个真分式的和，5是x+1的倍数即可．
【解答】解：（1）当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，
∴x＝0，﹣2，2，﹣4．

（2）＝3﹣，
当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，
∴x＝0，﹣2，4，﹣6．
【点评】本题考查了分式的整数值，考查学生的计算能力，看懂题意是解题的关键．
27．（2021春•大兴区期中）已知非零实数a、b满足等式，求的值．
【考点】实数的运算；分式的加减法．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】首先把已知等式去掉分母，整理成（b﹣1）2+（a﹣2）2＝0，根据非负式的性质得到a、b的值，代入化简计算即可．
【解答】解：等式两边都乘以ab得：b2+a2+5＝4a+2b，
整理得：（b﹣1）2+（a﹣2）2＝0，
∴a＝2，b＝1，
代入得：
原式＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值、非负式的性质、完全平方公式以及等式的性质综合运用，根据等式性质和配方求出a、b的值是解决问题的关键．
28．（2020秋•连山区期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，
所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b．
所以，解得．

所以＝＝﹣＝3x+1﹣．

这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式．
根据你的理解解决下列问题：
（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值．
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【专题】分式；运算能力．
【分析】（1）根据材料中提供的方法，将2x2+3x+6转化为2x2+（a﹣2）x﹣a+b，进而利用方程组求出a、b，最后再将转化为，从而得出答案；
（2）根据（1）的方法可得＝5x﹣1﹣，进而得到5m﹣11+＝5x﹣1﹣，然后用含有x的代数式表示m、n，代入m2+n2+mn后，写成m2+n2+mn＝（x﹣1）2+27，进而求出最小值．
【解答】解：（1）由分母为x﹣1，可设2x2+3x+6＝（x﹣1）（2x+a）+b．
因为（x﹣1）（2x+a）+b＝2x2+ax﹣2x﹣a+b＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，
所以2x2+3x+6＝2x2+（a﹣2）x﹣a+b，
因此有，
解得，
所以＝＝2x+5+；
（2）由分母为x+2，可设5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b，
因为（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b，
所以5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b，
因此有，
解得，
所以＝＝5x﹣1﹣，
所以5m﹣11+＝5x﹣1﹣，
因此5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2，
所以m＝x+2，n＝﹣x+4，
所以m2+n2+mn＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+27≥27，
所以m2+n2+mn的最小值为27．
【点评】本题考查分式的加减法，理解题目中所提供的求解方法是解决问题的关键．
29．（2020秋•乌苏市期末）近年来，安全快捷、平稳舒适的中国高铁，为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆．随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：
（1）普通列车的行驶路程为多少千米？
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．
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【专题】分式方程及应用．
【分析】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案；
（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）普通列车的行驶路程为：400×1.3＝520（千米）；

（2）设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度为2.5千米/时，则题意得：
＝﹣3，
解得：x＝120，
经检验x＝120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5＝300（千米/时），
答：普通列车的平均速度是120千米/时，高铁的平均速度是300千米/时．
【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．
30．（2021•禅城区校级一模）先化简（1﹣）÷，再从0，2，﹣1，1中选择一个合适的数代入并求值．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】先把分式的分子和分母因式分解，并且把除法运算转化为乘法运算，由于x不能取±1，2，所以可以把x＝0代入计算．
【解答】解：原式＝×＝．
因为x不能取±1，2，
所以把x＝0代入，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．

考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
5．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
6．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
7．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
8．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
9．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
10．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
11．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
12．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
13．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
14．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
16．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
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日期：2021/6/27 16:50:04；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867