北师大新版数学八年级下册专题复习《平行四边形》（含答案）

这是一份北师大新版数学八年级下册专题复习《平行四边形》（含答案），共50页。
北师大新版数学九年级专题复习《平行四边形》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•荆门）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　）

A．55° B．65° C．75° D．85°
2．（2021•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接BE．若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（　　）

A． B．3 C．2 D．3
3．（2021•瑶海区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（　　）

A．2 B．4 C．3 D．2.5
4．（2021•双流区模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线交DC于点E，且点E恰好是DC的中点，过点D作DF⊥AE，垂足为F．若AE＝2，则DF的长为（　　）

A． B． C．1 D．
5．（2021•无锡模拟）平面直角坐标系xOy中，▱OABC的顶点O为坐标原点，A，B的坐标分别为（m，m﹣1），（2，2），则▱OABC的面积为（　　）
A．1 B．2
C．3 D．随m的变化而变化
6．（2021•沙坪坝区校级一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC
7．（2021•黄埔区二模）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）米．

A．60 B．72 C．48 D．36
8．（2021•宁波模拟）如图，已知E，F为▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF，过E，F将▱ABCD分制成9个小的平行四边形，则已知下列哪个选项中的图形面积，就可以求出△GIN的面积（　　）

A．△AHF B．△GHN C．四边形AHPI D．四边形IPFJ
9．（2020•邵阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（　　）

A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
10．（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）

A．1 B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•铁东区模拟）如图，平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，交CD于点F，若△CBF的面积为8cm2，则△DEF的面积为　 　．

12．（2021•雁塔区校级模拟）将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝　 　．

13．（2021•金台区一模）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、CF，则∠ACF的度数为　 　．

14．（2020•隆回县二模）如图平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为24cm，则△DEO的周长是　 　cm．

15．（2020•邵阳县模拟）如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，若AB＝12，AE＝5，则EF＝　 　．

16．（2020•江岸区模拟）如图所示，▱DEFG顶点分别在△ABC的三边上，若BE＝BD，CF＝FG，∠GDE＝64°，则∠A的度数为　 　．

17．（2020•吉林）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为　 　．

18．（2020•武侯区模拟）如图，在▱ABCD中，∠C＝30°，过D作DE⊥BC于点E，延长CB至点F，使BF＝CE，连接AF．若AF＝4，CF＝10，则▱ABCD的面积为　 　．

19．（2021•姜堰区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（0，﹣1），点P为y轴正半轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝2AP，以AB，AD为边作▱ABCD，连接OC，则OC长度的最小值为　 　．

20．（2020•锦州二模）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，分别连接DF，EF，DE，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列四个结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③CE＝2AG；④△DBF≌△EFA．其中结论正确的是　 　（填序号即可）．

三．解答题（共10小题）
21．（2021•南岗区校级模拟）已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过点A作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F，连BE．
（1）如图1，求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如图2，若AC＝3AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与∠ADB相等的角（∠ADB除外）．

22．（2021•道外区三模）如图，在平行四边形ABCD中．点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF，连接AF、BE相交于点M，连接CE、DF相交于点．
（1）如图1，求证：四边形EMFN为平行四边形；
（2）如图2，连接MN，若E是AD的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以MN为边的所有平行四边形．

23．（2021•南岗区校级二模）已知，在平行四边形ABCD中，点E、F在分别边BC、AD上，且BE＝DF，EH⊥CF于点H，FG⊥AE于点G．
（1）求证：GE＝FH；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠AFG互余的所有角．

24．（2021•邵阳模拟）如图．在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，发现四边形ABDE是平行四边形．如图2，小华继续将图1中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连接AE，BD，当点F与点C重合时停止平移．
（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由．
（2）如图3，若BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，当AF＝cm时，请判断四边形ABDE的形状，并说明理由．

25．（2021•合川区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　 　；
（2）当t＝　 　时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．

26．（2021•南岗区模拟）已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．
（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．
（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．

27．（2020•丰泽区校级模拟）已知：如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，CE＝AF．请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明．

28．（2016•鱼峰区一模）已知：▱ABCD中，E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F．求证：BC＝CF．

29．（2016•黄浦区二模）如图，在△ABC上，点D、E分别是AC、BC边上的点，AE与BD交于点O，且CD＝CE，∠1＝∠2．
（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；
（2）若EC＝2，BE＝1，∠AOD＝2∠1，求AB的长．

30．（2016•临朐县一模）在平面直角坐标系中，已知等腰梯形ABCD的三个顶点A（﹣2，0），B（6，0），C（4，6），对角线AC与BD相交于点E．
（1）求E的坐标；
（2）若M是x轴上一动点，求MC+MD的最小值；
（3）在y轴正半轴上求点P，使以P、B、C为顶点的三角形为等腰三角形．


2021年新初三数学北师大新版专题复习《平行四边形》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•荆门）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（　　）

A．55° B．65° C．75° D．85°
【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB＝105°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据平行线的性质得出∠2+∠HNB＝180°，带哦求出答案即可．
【解答】解：延长EH交AB于N，

∵△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE＝45°，
∴∠NHB＝∠FHE＝45°，
∵∠1＝30°，
∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2+∠HNB＝180°，
∴∠2＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识点，能根据平行四边形的性质得出CD∥AB是解此题的关键．
2．（2021•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接BE．若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（　　）

A． B．3 C．2 D．3
【考点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由折叠的性质得到AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再根据平行四边形的性质及邻补角的定义得到BC＝DE，∠DCB＝∠CDB，从而得到BD＝BC＝DE＝AD，进而得到AB＝2BC，最后根据勾股定理即可求解．
【解答】解：根据折叠的性质得到，
△ADC≌△EDC，
∴∠ADC＝∠EDC，AD＝ED，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，BC＝DE，
∴∠EDC+∠DCB＝180°，
∵∠ADC+∠CDB＝180°，
∴∠DCB＝∠CDB，
∴BD＝BC，
∵BC＝DE，
∴BD＝BC＝DE＝AD，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AD+BD＝2BC，
∵AC＝3，
∴AC＝＝＝BC，
∴BC＝，
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题的关键．
3．（2021•瑶海区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（　　）

A．2 B．4 C．3 D．2.5
【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据勾股定理求出AD，根据直角三角形的性质求出CE，再根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵AD为中线，BC＝12，
∴CD＝BC＝×12＝6，
在Rt△ACD中，AD＝＝＝10，
∵∠ACB＝90°，E为AD的中点，
∴CE＝AD＝5，
∵DF∥CE，D为BC的中点，
∴DF＝CE＝2.5，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
4．（2021•双流区模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线交DC于点E，且点E恰好是DC的中点，过点D作DF⊥AE，垂足为F．若AE＝2，则DF的长为（　　）

A． B． C．1 D．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由等腰三角形的性质可求AF＝EF＝，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵AB＝4，点E是DC的中点，
∴DE＝EC＝2，
∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝ED＝2，
∵DF⊥AE，
∴AF＝EF＝AE＝，
∴DF＝＝＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
5．（2021•无锡模拟）平面直角坐标系xOy中，▱OABC的顶点O为坐标原点，A，B的坐标分别为（m，m﹣1），（2，2），则▱OABC的面积为（　　）
A．1 B．2
C．3 D．随m的变化而变化
【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由面积和差关系可求解．
【解答】解：如图，

▱OABC的面积＝2×[﹣m（m﹣1）﹣（2﹣m）（2﹣m+1）﹣（2﹣m）（m﹣1）]＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，利用面积和差公式可求解．
6．（2021•沙坪坝区校级一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC
【考点】平行四边形的判定．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不合题意；
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不合题意；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不合题意；
∵AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是本题的关键．
7．（2021•黄埔区二模）如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）米．

A．60 B．72 C．48 D．36
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，
所以一共走了8×6＝48（米）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．
8．（2021•宁波模拟）如图，已知E，F为▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF，过E，F将▱ABCD分制成9个小的平行四边形，则已知下列哪个选项中的图形面积，就可以求出△GIN的面积（　　）

A．△AHF B．△GHN C．四边形AHPI D．四边形IPFJ
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行四边形的性质，可以得到阴影部分的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：连接IM、EN、GP，
由图可得，
S△IEN＝S△IEM，S△GEN＝S△GEP，
则阴影部分的面积＝S△IGP+S△IEM＝S▱AHPI+S▱IEMD，
∵AE＝CF，过E，F将▱ABCD分制成9个完全相同的小的平行四边形，
∴S▱AGEI＝S▱JQMD＝S▱HBKP＝S▱FLCN，
∴S▱IEMD＝S▱GEKB＝S▱AHPI，
∴阴影部分的面积＝S▱AHPI，
故选：C．

【点评】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（2020•邵阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（　　）

A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF
【考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD＝∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
A．若添加AE＝CF，则无法证明△ABE≌△CDF，故选项A符合题意；
B．若添加∠AEB＝∠CFD，运用AAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项B不符合题意；
C．若添加∠EAB＝∠FCD，运用ASA可以证明△ABE≌△CDF，故选项C不符合题意；
D．若添加BE＝DF，运用SAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）

A．1 B． C． D．
【考点】等边三角形的性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴＝，
∴△DEF∽△CAB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵等边三角形ABC的面积为1，
∴△DEF的面积是，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•铁东区模拟）如图，平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，交CD于点F，若△CBF的面积为8cm2，则△DEF的面积为　2cm2　．

【考点】三角形的面积；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力．
【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，根据DE＝AD求出DE＝BC，根据相似三角形的判定得出△DEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得出＝（）2＝，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△CBF的面积为8cm2，
∴△DEF的面积是2（cm2），
故答案为：2cm2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，解此题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方．
12．（2021•雁塔区校级模拟）将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝　30°　．

【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】根据多边形的内角和，分别得出∠ABE＝∠BEF＝135°，∠DCE＝∠CEG＝120°，再根据三角形的内角和算出∠BEC，得出∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC即可．
【解答】解：由多边形的内角和可得，
∠ABE＝∠BEF＝，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣135°＝45°，
∵∠DCE＝∠CEG＝，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝60°，
由三角形的内角和得：
∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC
＝360°﹣135°﹣120°﹣75°
＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．
13．（2021•金台区一模）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、CF，则∠ACF的度数为　30　．

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【专题】三角形；运算能力．
【分析】由正六边形的性质得出∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAC＝∠BCA＝30°，∠FAE＝∠FEA＝30°，求出∠CAE＝30°．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠CAB＝∠ACF＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正六边形的性质，求出∠B、∠BAF和∠F的度数是解题的关键．
14．（2020•隆回县二模）如图平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为24cm，则△DEO的周长是　12　cm．

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【专题】推理填空题；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【分析】根据平行四边形的性质和点E是AD的中点可得OE是三角形ADC的中位线，根据△BCD的周长为24cm，即可得△DEO的周长．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于一点O，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴DC＝2OE，
∵△BCD的周长为：DC+BC+BD＝2OE+2DE+2OD＝24（cm），
∴OE+DE+OD＝12（cm），
则△DEO的周长是12cm．
故答案为：12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
15．（2020•邵阳县模拟）如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，若AB＝12，AE＝5，则EF＝　7　．

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【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据两直线平行内错角相等可得∠AFB＝∠FBC，再由角平分线的定义可得∠ABF＝∠FBC，从而不难推出∠AFB＝∠ABF，由等角对等边可得AB＝AF，已知AE的长，从而EF的长不难求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF；
∵AB＝12，AE＝5，
∴EF＝AF﹣AE＝12﹣5＝7，
故答案为：7．
【点评】此题主要考查平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
16．（2020•江岸区模拟）如图所示，▱DEFG顶点分别在△ABC的三边上，若BE＝BD，CF＝FG，∠GDE＝64°，则∠A的度数为　96°　．

【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由题中条件可得∠BED＝∠BDE，∠C＝∠CGF，进而再利用外角的性质及平行四边形对角相等，即可得出结论．
【解答】解：∵BE＝BD，CF＝FG，
∴∠BED＝∠BDE，∠C＝∠CGF，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴∠EFG＝∠GDE＝64°，DE∥FG，
∵∠EFG＝∠C+∠CGF＝2∠C，
∴∠C＝32°，
∵DE∥FG，
∴∠BED＝∠EFG＝64°，
∴∠BDE＝64°，
∴∠B＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
∴∠A＝180°﹣32°﹣52°＝96°．
故答案为：96°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质以及三角形的内角和定理，应熟练掌握．
17．（2020•吉林）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为　　．

【考点】三角形的面积；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，即可得到答案．
【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为，
∴△ABC的面积为2，
∴四边形DBCE的面积＝2﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
18．（2020•武侯区模拟）如图，在▱ABCD中，∠C＝30°，过D作DE⊥BC于点E，延长CB至点F，使BF＝CE，连接AF．若AF＝4，CF＝10，则▱ABCD的面积为　24　．

【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】由SAS证得△ABF≌△DCE，得出∠AFB＝∠DEC＝90°，BF＝CE，则四边形AFED是矩形，得出AD＝DE＝4，求出CE＝4，BC＝CF﹣CE＝6，由▱ABCD的面积＝BC•DE，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠ABF＝∠DCE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEF＝∠ADE＝90°，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠AFB＝∠DEC＝90°，BF＝CE，
∴四边形AFED是矩形，
∴AF＝DE＝4，
∵在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，∠C＝30°，
∴CE＝DE＝4，
∴BC＝CF﹣BF＝CF﹣CE＝10﹣4＝6，
∴▱ABCD的面积＝BC•DE＝6×4＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握平行四边形的性质、证明四边形AFED为矩形是解题的关键．
19．（2021•姜堰区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（0，﹣1），点P为y轴正半轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝2AP，以AB，AD为边作▱ABCD，连接OC，则OC长度的最小值为　3　．

【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】设P为（0，y），由DP＝2AP知，D(2,3x），根据平行四边形的性质求出C的坐标，用勾股定理求出OC，再用y的取值求出OC的最小值．
【解答】解：∵A（﹣1，0），B（0，﹣1），设P为（0，y），
由DP＝2AP知，D(2,3x），
∵ABCD是平行四边形，
∴C（3，﹣1+3y），
故OC²＝3²+(﹣1+3y）²＝9y²﹣6y+10＝9(y²﹣y)+10＝9(y﹣)²+9,
∴y＝时，OC最小，
∴OCmin＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质求出C,D坐标．
20．（2020•锦州二模）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，分别连接DF，EF，DE，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列四个结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③CE＝2AG；④△DBF≌△EFA．其中结论正确的是　①②③④　（填序号即可）．

【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FA＝FC，根据等边三角形的性质可得EA＝EC，根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，从而得到DF∥AE，DA∥EF，可得到四边形ADFE为平行四边形；根据平行四边形的对角线互相平分可得AF＝2AG，由含30°直角三角形的性质得到EF＝2AF＝4AG，由勾股定理可证得CE＝2AG；易证DB＝DA＝EF，∠DBF＝∠EFA＝60°，BF＝FA，即可得到△DBF≌△EFA．
【解答】解：连接FC，如图所示：
∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，
∴FA＝FB＝FC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EA＝EC，
∵FA＝FC，EA＝EC，
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；故①正确；
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠EAF＝90°，
∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形；故②正确；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴AF＝2AG，
∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，
∴AE＝CE，∠AEF＝30°，
∵∠EAF＝90°，
∴EF＝2AF＝4AG，EF2＝AF2+AE2，
∴（4AG）2＝（2AG）2+CE2，
∴12AG2＝CE2，
∴CE＝2AG；故③正确；
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴DA＝EF，
∴BD＝DA＝EF，
在△DBF和△EFA中，
（SAS），
∴△DBF≌△EFA；故④正确；
故答案为：①②③④．

【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含30°直角三角形的性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握这些性质定理是解决问题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•南岗区校级模拟）已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过点A作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F，连BE．
（1）如图1，求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如图2，若AC＝3AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与∠ADB相等的角（∠ADB除外）．

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）先证△AEM≌△DCM（AAS），得AE＝CD，再由AD是△ABC的中线，得到AE＝CD＝BD，即可得出结论；
（2）先证△AEF∽△BCF，得AB＝3AF，依据AC＝3AF，得AB＝AC，然后由等腰三角形的性质得AD⊥BC，得四边形AEBD是矩形，即可求解．
【解答】（1）证明：∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
∵AE∥BC，
∴∠AEM＝∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD，
又∵AD是△ABC的中线，
∴AE＝CD＝BD，
又∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）解：与∠ADB相等的角为：∠ADC、∠AEB、∠DBE、∠DAE，理由如下：
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴BF＝2AF，
∴AB＝3AF，
∵AC＝3AF，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝90°，
又∵四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝∠DBE＝∠DAE＝90°，
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
22．（2021•道外区三模）如图，在平行四边形ABCD中．点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF，连接AF、BE相交于点M，连接CE、DF相交于点．
（1）如图1，求证：四边形EMFN为平行四边形；
（2）如图2，连接MN，若E是AD的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以MN为边的所有平行四边形．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】（1）证四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，得AF∥CE，BE∥DF，即可得出结论；
（2）同（1）得：四边形ABFE、四边形CDEF、四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，得AM＝FM＝AF，BM＝EM＝BE，EN＝CN＝CE，FN＝DN＝DF，AF∥CE，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF，则AM＝EN＝FM＝CN，BM＝FN＝DN＝EM，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）解：以MN为边的所有平行四边形为：平行四边形BMNF、平行四边形EMND、平行四边形AMNE、平行四边形FMNC，理由如下：
连接EF，如图所示：
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
同（1）得：四边形ABFE、四边形CDEF、四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，
∴AM＝FM＝AF，BM＝EM＝BE，EN＝CN＝CE，FN＝DN＝DF，AF∥CE，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF，
∴AM＝EN＝FM＝CN，BM＝FN＝DN＝EM，
∴四边形AMNE、四边形FMNC、四边形BMNF、四边形EMND是平行四边形，

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，灵活运用平行四边形的性质和判定进行推理是解此题的关键．
23．（2021•南岗区校级二模）已知，在平行四边形ABCD中，点E、F在分别边BC、AD上，且BE＝DF，EH⊥CF于点H，FG⊥AE于点G．
（1）求证：GE＝FH；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠AFG互余的所有角．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】（1）根据平行四边形性质，可得∠AEH+∠FHE＝180°，EH⊥CF，FG⊥AE，可得∠FGE＝∠FHE＝∠GEG＝90°，所以四边形EHFG为矩形，求得GE＝FH；
（2）根据余角的性质，解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD：DF＝BC：BE，
∴AF＝CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形
∴AE∥CF，
∴∠AEH+∠FHE＝180°，
∵EH⊥CF，FG⊥AE，
∴∠FGE＝∠FHE＝∠GEG＝90°，
∴四边形EHFG为矩形，
∴GE＝FH；
（2）∵GF⊥AE，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∵AD∥BC，AE∥FC，
∴∠AEB＝∠GAF，∠HCE＝∠CFD＝∠GAF，
与∠AFG互余的角有：∠FAG、∠AEB、∠DFC、∠FCB．
【点评】本题考查了平行四边形性质和余角的性质，掌握这些性质是解题的关键．
24．（2021•邵阳模拟）如图．在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，发现四边形ABDE是平行四边形．如图2，小华继续将图1中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连接AE，BD，当点F与点C重合时停止平移．
（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由．
（2）如图3，若BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，当AF＝cm时，请判断四边形ABDE的形状，并说明理由．

【考点】全等三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；
（2）根据勾股定理可得AB的长，然后证明△AFE∽△EFD，进而可得结论．
【解答】（1）答：四边形ABDE是平行四边形．理由如下：
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，

∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，
∴AB＝＝10cm，
∵AF＝cm，DE＝AB＝10（cm），
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠AFE＝∠DFE＝90°，
∴△AFE∽△EFD，
又∠FAE+∠AEF＝90°，
即∠AED＝90°，
由（1）可知：ABDE是平行四边形，
∴平行四边形ABDE为矩形．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（2021•合川区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　6　；
（2）当t＝　8　时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．

【考点】列代数式；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】动点型；分类讨论；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据题意可得BP＝2t，进而可得结果；
（2）根据∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF＝AB＝4，得DF＝4，进而可得t的值；
（3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：①当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到AB边的距离也为4，②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到DE边的距离也为4，③当点P在CD上，点P到AB边的距离为8，但点P到AB、BC边的距离都小于8，进而可得当t＝2s或t＝3s时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【解答】解：（1）BP＝2t＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）作∠B的角平分线交AD于F，

∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，
∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABP＝×BP×AB＝×2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABP＝×AB×BC＝×4×8＝16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABP＝×AB×AP＝×4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，

∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE﹣CE＝2，
∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，
∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE,
∴3×4＝5×PH+3×PC,
∴12＝8PH,
∴12＝8(2t﹣8),
解得t＝．

综上所述：t＝2或t＝3或t＝时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
26．（2021•南岗区模拟）已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．
（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．
（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．

【考点】平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）由CN∥AB，MA＝MC，易证得△AMD≌△CMN，则可得MD＝MN，即可证得：四边形ADCN是平行四边形．
（2）由∠AMD＝2∠MCD，可证得四边形ADCN是矩形，又由∠ACB＝90°，AC＝BC，可得四边形ADCN是正方形，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵CN∥AB，
∴∠DAM＝∠NCM，
在△ADM和△CNM中，
，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴MD＝MN，
∴四边形ADCN是平行四边形．

（2）解：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MC＝MD，
∴AC＝DN，
∴▱ADCN是矩形，
∵AC＝BC，
∴AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴▱ADCN是正方形，
∴AN＝AD＝BD＝CD＝CN．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．注意证得△AMD≌△CMN与四边形ADCN是正方形是解此题的关键．
27．（2020•丰泽区校级模拟）已知：如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，CE＝AF．请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】首先连接BD交AC于点O，由▱ABCD的对角线AC上的两点，CE＝AF，易得OE＝OF，OB＝OD，继而可得四边形BEDF是平行四边形，即可证得结论．
【解答】解：BE＝DF，BE∥DF．
证明：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵CE＝AF，
∴CE﹣OC＝AF﹣OA，
即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，BE∥DF．

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
28．（2016•鱼峰区一模）已知：▱ABCD中，E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F．求证：BC＝CF．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【分析】先证明△ADE≌△FCE，得出AD＝CF，再根据平行四边形的性质可知AD＝BC，继而即可得出结论．
【解答】证明：如图所示
∵四边形ABCD为平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
又∵AD＝BC，
∴BC＝CF．

【点评】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
29．（2016•黄浦区二模）如图，在△ABC上，点D、E分别是AC、BC边上的点，AE与BD交于点O，且CD＝CE，∠1＝∠2．
（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；
（2）若EC＝2，BE＝1，∠AOD＝2∠1，求AB的长．

【考点】等腰梯形的判定．菁优网版权所有
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠CDE＝∠CED，由三角形的外角性质和已知条件得出∠AED＝∠BDE，证出OD＝OE，由AAS证明△AOD≌△BOE，得出AD＝BE，OA＝OB，由等腰三角形的性质得出∠OAB＝∠OBA，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，证出DE∥AB，即可得出结论；
（2）由三角形的外角性质和已知条件得出∠1＝∠OED，证出AD＝ED＝BE＝1，由平行线的性质得出△CDE∽△CAB，得出对应边成比例，即可得出AB的长．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠CDE＝∠2+∠AED，∠CED＝∠1+∠BDE，∠1＝∠2，
∴∠AED＝∠BDE，
∴OD＝OE，
在△AOD和△BOE中，
，
∴△AOD≌△BOE（AAS），
∴AD＝BE，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠AOD＝∠BOE，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是等腰梯形；
（2）解：∵∠AOD＝2∠1＝∠ODE+∠OED，∠OED＝∠ODE，
∴∠1＝∠OED，
∴AD＝ED＝BE＝1，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
即，
解得：AB＝．
【点评】本题考查了等腰梯形的判定、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰梯形的判定，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
30．（2016•临朐县一模）在平面直角坐标系中，已知等腰梯形ABCD的三个顶点A（﹣2，0），B（6，0），C（4，6），对角线AC与BD相交于点E．
（1）求E的坐标；
（2）若M是x轴上一动点，求MC+MD的最小值；
（3）在y轴正半轴上求点P，使以P、B、C为顶点的三角形为等腰三角形．

【考点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定；等腰梯形的性质；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）作EF⊥AB，根据已知，可得出OD＝6，FB＝4，OF＝2，然后，根据相似，即可求出EF的长，即可得出点E的坐标；
（2）作点D关于x轴的对称点D′，则D′的坐标为（0，﹣6），根据两点间的距离公式，算出即可；
（3）设点P（0，y），y＞0，分三种情况，①PC＝BC；②PB＝BC；③PB＝PC；解答出即可；
【解答】解：（1）作EF⊥AB，
∴＝，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AE＝BE，
∴在等腰三角形ABE中，AF＝BF，
∵A（﹣2，0），B（6，0），C（4，6），
∴点D的坐标为（0，6），
∴OD＝6，FB＝4，OF＝2，
∴＝，
∴EF＝4，
∴点E的坐标为（2，4）；

（2）由题意可得，
点D关于x轴的对称点D′的坐标为（0，﹣6），
CD′与x轴的交点为M，
∴此时，MC+MD＝CD′为最小值，
∴CD′＝＝4；

（3）设点P（0，y），y＞0，
分三种情况，①PC＝BC；
∴42+（6﹣y）2＝22+62，
解得，y＝6±；
②PB＝BC；
∴62+y2＝22+62，
解得，y＝2，y＝﹣2（舍去）；
③PB＝PC；
∴62+y2＝42+（6﹣y）2，
解得，y＝；
综上，点P的坐标为：（0，6+），（0，6﹣），（0，2），（0，）．

【点评】本题主要考查了等腰梯形、等腰三角形、最短路线问题及坐标与图形的关系，锻炼了学生对于知识的综合运用能力和良好的空间想象能力．

考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
4．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
5．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
6．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
7．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

8．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
9．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
10．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
11．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
12．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
13．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

14．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
15．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
16．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
17．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
18．等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．

19．等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
20．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
21．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
22．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
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