北师大版八年级下册期末专题04 因式分解（原卷+解析）

专题04  因式分解 

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列各式：①，②，③，从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ）

A．② B．①② C．①③ D．②③

【答案】C

【解析】解：①③为因式分解；②项不属于因式分解；故选：C．

2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：A. 没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；

B. 没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；

C. 没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；

D. 把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；故选：D．

3．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（　　）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】A

【解析】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴2x3﹣7x2+4x+2023

＝2x（x2﹣2x﹣1）﹣3（x2﹣2x﹣1）+2020＝2x×0﹣3×0+2020

＝0+0+2020＝2020，故选：A．

4．若实数，满足方程组，则的值为（    ）

A．20 B．15 C． D．10

【答案】B

【分析】

直接利用整体思想得出ab，a+b的值，进而分解因式得出答案．

【详解】

解：∵，∴，

∴a2b-ab2=ab（a-b）=3×5=15．故选：B．

5．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(    )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac

＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）

当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2

＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2＝3．故选D．

6．若关于的多项式含有因式，则实数的值为（  ）

A． B．5 C． D．1

【答案】C

【解析】解：根据题意设，

∴-p=-a-2，2a=-6，解得：a=-3，p=-1．故选：C．

7．已知，，是的三边，若，则为(        )

A．锐角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形

【答案】B

【解析】解：∵，

∴，

∴，即，

∴，，，∴，

∴为等边三角形．故选．

8．如图，点E是正方形对角线上一点，于点F，于点G，若正方形周长为8，则等于（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】A

【解析】解：在正方形ABCD中，∠ECG=45°，∠B=90°

又∵，∴∠EFB=∠EGB=∠B=90°

∴四边形EFBG是矩形，△EGC是等腰直角三角形

∴EG=CG，EF=BG，∴

又因为正方形周长为8∴BC=2即=2故选：A．

二、填空题

9．分解因式：___________________________________．

【答案】

【解析】解：x3-4xy2，=x(x2-4y2)，=x(x+2y)(x-2y)，

故答案为：x(x+2y)(x-2y)

10．若关于的多项式能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为________．

【答案】

【解析】关于的多项式能用完全平方公式进行因式分解，

，，，
则常数的值为．故答案为：．

11．已知，则的值为______．

【答案】

【解析】解： ，

故答案为：

12．一个四位整数（千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为），若满足，那么，我们称这个四位整数为“类等和数”．

例如：3122是一个“4类等和数”，因为：；

5417不是一个“类等和数”，因为：，，．

（1）写出最小的“3类等和数”是___________，最大的“8类等和数”是___________．

（2）若一个四位整数是“类等和数”，且满足，求满足条件的所有“类等和数”的个数，并把它们写出来．

【答案】1203；    8080；
（2） 满足条件的所有“k类等和数”的个数是3，分别是3214，2323， 1432．   

【解析】（1）三类等和数为a+b=c+d=3，当a= 1、b=2、c=0、d= 3时符合三类等和数，且最小．故最小的三类等和数为1203．

当a=8、b=0、c= 8、d= 0时符合8类等和数，且最大，故最大的8类等和数为8080．

故答案为：①1203；　　②8080．

 (2) ∵ab+cd=46 (a， c≠0)，只有当ab=cd=23时，

∴b+d=6或16，∴b=0， d=6 (不合题意)　

b=1， d=5 (不合题意)；

b=2，d=4，a=3，c=1即3214；

b=3， d=3，a=2，c=2即2323；

b=4， d=2 ，a=1，c=3即1432；

b=5，d=1 (不合题意)；

b=6，d=0 (不合题意)；

b=7，d=9 (不合题意)；

b=8，d=8 (不合题意)；

b=9，d=7 (不合题意)；

综上所述，满足条件的所有“k类等和数”的个数是3，分别是3214，2323， 1432．

13．已知，，则的值为______．

【答案】或

【解析】∵，（a2-b2）+（ab-b2）=0，

得（a+b）（a-b）+b（a-b）=0，∴．∴或

①当时，原式．

②当时，原式．

综上原式或，故答案为:或．

14．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且．（单位：cm）

（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．

（2）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和______．

【答案】    42cm   

【解析】解：（1）由题知即为大矩形面积，

由图知还可用求面积，

∴可因式分解为．

（2）由题知，，，

∴，

∵，∴，

∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为，即42cm．

故答案为：；42cm．

三、解答题

15．仔细阅读下面的例题：

例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．

解：设另一个因式为，得，

则，

，，

解得，，

∴另一个因式为，m的值为6．

依照以上方法解答下列问题：

（1）若二次三项式可分解为，则________；

（2）若二次三项式可分解为，则________；

（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．

【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，k的值为5．

【解析】解：（1）∵＝x2+（a﹣1）x﹣a＝，

∴a﹣1＝﹣5，解得：a＝﹣4；故答案是：﹣4

（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6，∴b＝﹣1．故答案是：﹣1．

（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），

则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，

解得n＝5，k＝5，∴另一个因式为x+5，k的值为5．

16．分解因式：

（1）；（2）．（3）

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】解：（1）；

（2）；

（3）

17．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，求出原多项式．

【答案】

【解析】解：设原多项式为（其中，，均为常数，且）．

因为，

所以，，

又因为，

所以，

所以原多项式为．

18．阅读下面的用配方法分解因式的过程，然后完成下列问题：

，

（1）模仿：根据材料运用配方法分解因式；

（2）领悟：；

（3）应用：已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，求这个等腰三角形的周长

【答案】（1）；（2）；（3）10或11

【解析】解：（1）

（2），故答案为：

（3）解：原方程可变形为：

①若3为该等腰三角形的腰长，则周长为：3+3+4=10；

②若4为该等腰三角形的腰长，则周长为：4+4+3=11；

综上所述，等腰三角形的周长为10或11．

19．先阅读下面的内容，再解决问题：

问题：对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，但对于二次三项式，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：.

像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”，解决下列问题：

（1）分解因式：；

（2）若.

①当，，满足条件：时，求的值；

②若的三边长是，，，且边的长为奇数，求的周长.

【答案】（1）（a-3）（a-5）

（2）①m=5 ②△ABC的周长为16、18或20

【解析】（1）

（2）①∵

∴

∴a-7=0，b-4=0∴a=7，b=4

∵∴∴

∴ ∴15=3m∴m=5

②由①可知a=7，b=4

∵△ABC的三边长是a.b.c∴3＜c＜11

∵c边的长为奇数∴c=5,7,9

∴当a=7，b=4，c=5时，△ABC的周长是7+4+5=16

∴当a=7，b=4，c=7时，△ABC的周长是7+4+7=18

∴当a=7，b=4，c=9时，△ABC的周长是7+4+9=20

20．阅读以下内容解答下列问题．

七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：

（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是         ．

（2）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”．

①求式子中m、n的值；

②用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．

【答案】（1）降次；（2）①m＝﹣3，n＝﹣5；②（x+1）（x+2）2．

【解析】解：（1）根据因式分解的定义可知：因式分解的作用也可以看做是降次，

故答案为：降次；

（2）①在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，

令x＝0，可得：，解得：n=-5，

令x=1，可得：，

解得：m=﹣3，故答案为：m＝﹣3，n＝﹣5；

②把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得x3+5x2+8x+4=0，

则多项式x3+5x2+8x+4可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，

同①方法可得：a＝4，b＝4，

所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），

＝（x+1）（x+2）2．