备战2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（上海专用）（原卷、解析版）

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备战2021年中考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·4月卷
第五模拟
一、 单选题（共6小题，每小题4分，共24分）
1．下列四个选项，其中的数不是分数的选项是(　　)
A．﹣4 B． C． D．50%
【答案】C
【分析】根据分数的定义进行判断即可．
【详解】A．﹣4是分数，与要求不符；
B．是分数，与要求不符；
C．是无理数，不是分数，与要求相符；
D．50%是分数，与要求不符．
故选：C．
【点睛】本题考查了分数的定义，掌握知识点是解题关键．
2．当x≠0时，下列运算正确的是(　　)
A．x3+x2=x5 B．x3•x2=x6 C．(x3)2=x9 D．x3÷x2=x
【答案】D
【分析】分别根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可．
【详解】A．x3与x2不能合并，故原题计算错误；
B．x3•x2=x5，故原题计算错误；
C．(x3)2=x6，故原题计算错误；
D．x3÷x2=x，故原题计算正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，关键是熟练掌握各计算法则．
3．下列关于二次函数y=x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是(　　)
A．该函数图象的开口向上
B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
C．该函数图象关于y轴对称
D．该函数图象可由函数y=x2的图象平移得到
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得．
【详解】A．由a=1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；
B．∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而证得：故此选项描述错误；
由y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1知抛物线的顶点坐标为(1，1)，此选项错误；
C．∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确；
D．该函数图象可由函数y=x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象平移的规律逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
4．一组数据3，4，4，5，若添加一个数4，则发生变化的统计量是( )
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】D
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【详解】原数据的3，4，4，5的平均数为，
原数据的3，4，4，5的中位数为4，
原数据的3，4，4，5的众数为4，
原数据的3，4，4，5的方差为×[（3-4）2+（4-4）2×2+（5-4）2]=0.5；
新数据3，4，4，4，5的平均数为，
新数据3，4，4，4，5的中位数为4，
新数据3，4，4，4，5的众数为4，
新数据3，4，4，4，5的方差为×[（3-4）2+（4-4）2×3+（5-4）2]=0.4；
∴添加一个数据4，方差发生变化，
故选D．
【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
5．下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)
A．线段 B．矩形 C．等腰梯形 D．圆
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】A．线段是轴对称图形也是中心对称图形；
B．矩形是轴对称图形也是中心对称图形；
C．等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；
D．圆是轴对称图形也是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6．下列四个命题中，真命题是(　　)
A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可．
【详解】A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形，是真命题；
B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理和平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形的几个判定定理，难度不大．
二、 填空题（共12小题，每小题4分，共48分）
7．计算：9a3b÷3a2＝_____．
【答案】3ab
【分析】直接利用单项式除以单项式法则计算得出答案．
【详解】解：9a3b÷3a2＝3ab．故答案为：3ab．
【点睛】此题考查的是单项式除以单项式,掌握单项式除以单项式法则是解决此题的关键．
8．如果代数式在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是_____．
【答案】x≠3
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0求解可得．
【详解】解：根据题意知3﹣x≠0，解得x≠3，故答案为：x≠3．
【点睛】此题考查的是分式有意义的条件,掌握分式有意义的条件是解决此题的关键．
9． 方程的解是_____．
【答案】
【分析】两边同时平方，即可求出方程的解.
【详解】,两边同时平方可得：
解得： 经检验，符合题意.故答案为
【点睛】考查无理方程的解法，两边同时平方是解题的关键.
10．写出二元一次方程 x+2y= 3的正整数解___________．
【答案】
【分析】把y看做已知数求出x，即可确定出正整数解．
【详解】解：方程x+2y=3，变形得：x=-2y+3，当y=1时，x=1，
则方程的正整数解为，故答案为.
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看做已知数求出x．
11．从分别写有数字1，2，4的三张相同卡片中任取两张，如果把所抽取卡片上的两个数字分别作为点M的横坐标和纵坐标，那么点M在双曲线y＝上的概率是_____．
【答案】
【分析】列表得出所有等可能的情况，然后判断落在双曲线上点的情况数，即可求出点M在双曲线y＝上的概率．
【详解】
解：列表如下：
所有可能的情况有6种,其中落在双曲线y＝上的点有：（1，4），（4，1）共2个，
则点M在双曲线y＝上的概率是＝．
【点睛】此题考查的是判断点是否在反比例函数图象上和求概率问题，掌握列表法和概率公式是解决此题的关键．
12．如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．
【详解】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】此题考查的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键．
13．据国家统计局数据，2019年全年国内生产总值接近100万亿，比2018年增长6.1%．假设2020年全年国内生产总值的年增长率保持不变，那么2020年的全年国内生产总值将达到_____万亿．
【答案】106.1
【分析】利用增长率的意义得到2020年全年国内生产总值100×（1+6.1%），然后进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：100×（1+6.1%）＝106.1（万亿），
答：2020年的全年国内生产总值将达到106.1万亿．
故答案为：106.1．
【点睛】此题考查的是有理数的运算的应用，掌握增长率的意义是解决此题的关键．
14．已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点．设，，那么＝_____．（结果用、表示）．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可得＝＝，然后求出,根据＝+即可求出结论．
【详解】解：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC
∴＝＝，
∵E是AB的中点，
∴＝＝，
∵＝+，
∴＝﹣+，
故答案为：﹣+．
【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
15．某校计划为全体1200名学生提供以下五种在线学习的方式：在线听课、在线答题、在线讨论、在线答疑和在线阅读．为了解学生需求，该校随机对部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成扇形统计图（如图）．由这个统计图可知，全校学生中最喜欢“在线答疑”的学生人数约为_____人．

【答案】360
【分析】先根据各部分所占百分比之和为1求出D类型人数所占百分比，再乘以总人数即可得．
【详解】解：∵最喜欢“在线答疑”的学生人数占被调查人数的百分比为1﹣（20%+25%+15%+10%）＝30%，
∴全校学生中最喜欢“在线答疑”的学生人数约为1200×30%＝360（人），
故答案为：360．
【点睛】此题考查的是扇形统计图,掌握单位1、百分率和部分量之间的关系是解决此题的关键．
16．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是_____海里．

【答案】40
【分析】根据已知方向角得出∠P＝∠PAB＝30°，进而得出对应边关系即可得出答案．
【详解】解：如图所示：由题意可得，∠PAB＝30°，∠DBP＝30°，
故∠PBE＝60°，则∠P＝∠PAB＝30°，
可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．

【点睛】此题主要考查了方向角及等腰三角形的判定，正确得出∠P＝∠PAB＝30°是解题关键．
17．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12．如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交，点D在圆A外，那么圆C的半径长r的取值范围是_____．
【答案】1＜r＜8
【分析】由四边形ABCD是矩形，可得∠B＝90°，AD＝BC＝12，AB＝5，根据勾股定理，得AC＝13，分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交，点D在圆A外，根据圆与圆相切的性质即可求出r的取值范围．
【详解】如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝12，AB＝5，
根据勾股定理，得
AC＝＝13，
∵分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交，
∴13﹣5＝8，
∵点D在圆A外，
∴13﹣12＝1，
∴1＜r＜8，
所以圆C的半径长r的取值范围是1＜r＜8．
故答案为：1＜r＜8．
【点睛】本题考查了相切两圆的性质、切线的性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是综合运用以上知识．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，CD是斜边AB上的中线，如果将△BCD沿CD所在直线翻折，点B落在点E处，联结AE，那么∠CAE的度数是_____度．

【答案】125
【分析】依据折叠的性质即可得到∠DAE的度数，再根据三角形内角和定理即可得到∠BAC的度数，进而得出∠CAE的度数．
【详解】解：如图所示，

∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD＝AD，
∴∠BCD＝∠B＝35°，
∴∠BDC＝110°，
由折叠可得，∠CDE＝∠CDB＝110°，DE＝DB＝AD，
∴∠BDE＝360°﹣110°×2＝140°，
∴∠DAE＝∠BDE＝70°，
又∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∴∠CAE＝55°+70°＝125°，
故答案为：125．
【点睛】本题考查折叠的性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，直角三角形两对角互余，三角形外角的性质．理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．

三、解答题（共7小题，共78分）
19．计算： ．
【答案】 ．
【分析】依次计算负指数幂，分母有理化，分数指数幂和绝对值，再进行二次根式的加减运算．
【详解】原式＝
＝2+3+3﹣2﹣1
＝．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，负指数幂，分数指数幂，化简绝对值.能根据相关定理分别计算是解题关键．
20．解方程：=2．
【答案】x＝﹣4．
【分析】依次去分母，去括号，移项，合并同类项即可将分式方程化成一元二次方程，求解一元二次方程即可.
【详解】解：去分母得：x（x+1）﹣6＝2x2+8x+6，
去括号得：x2+x﹣6＝2x2+8x+6，
移项得：x2+x﹣6﹣2x2﹣8x﹣6＝0，
整理得：x2+7x+12＝0，即（x+3）（x+4）＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣4，
经检验，x1＝﹣3是增根，舍去，
∴原方程的根是x＝﹣4．
【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程.解分式方程主要是依据等式的性质将分式方程化为整式方程求解，但所求得的解必须验根．
21．如图，在平面直角坐标系内xOy中，某一次函数的图象与反比例函数的y＝的图象交于A（1，m）、B（n，﹣1）两点，与y轴交于C点．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求的值．

【答案】（1）y＝x+2；（2）．
【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将A、B两点坐标代入反比例函数解析式可求出m、n的值，再将A、B坐标代入一次函数解析式，即可求出一次函数解析式．
（2）已知A、B两点坐标，过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E，利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】
（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
又∵A(1,m)、B(n,﹣1)在反比例函数y=的图象上
∴m=，-1=，
∴m＝3，n＝﹣3，
∴A(1,3)、B(﹣3,﹣1)，
一次函数y＝kx+b的图象过A(1,3)、B(﹣3,﹣1)，
∴，
∴，
∴所求一次函数的解析式是y＝x+2；
故答案为：y＝x+2
（2）过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E，过点B作BF垂直于AD的延长线于点F，BF交y轴于点G
∵y＝x+2
令x=0
得y=2
∴OC=2
则AF∥BE，
∴，
∴


故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，图象上的点的坐标满足函数解析式，利用待定系数法可求得一次函数解析式，本题还考查了平行线分线段成比例定理的应用．
22．如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．

【答案】该车库入口的限高数值为2.4米．
【分析】由题意延长CD交AB于E，并根据坡度和坡角可得CE=3，DE=2.6，过点D作DH⊥AB于H，根据锐角三角函数即可求出DH的长．
【详解】解：如图，延长CD交AB于E，

∵i＝1：2.4，
∴，
∴，
∵AC＝7.2，
∴CE＝3，
∵CD＝0.4，
∴DE＝2.6，
过点D作DH⊥AB于H，
∴∠EDH＝∠CAB，
∵，
∴，
.
答：该车库入口的限高数值为2.4米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
23．如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．
（1）求证：AB＝AC；
（2）联结OM、ON、MN，求证：．

【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；
（2）联结OB，OM，ON，MN，首先证明，然后再证明，根据相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：

∵AO平分∠BAC．
∴OD＝OE．
，
．
，
，
∴AB＝AC；
（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，

∵AM＝CN，AB＝AC
∴BM＝AN．
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO．
∵∠BAO＝∠OAN，
∴∠B＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，
∴∠AOB＝∠MON，
∴△NOM∽△BOA，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM．
（1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标；
（2）求sin∠BAM的值；
（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，顶点M（1，4）；（2）；（3）Q（0，1）．
【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x=0得y=3，可得B（0，3），而AO=BO可得A（3，0），然后用待定系数法解答即可；
（2）先说明∠MBA=90°，则即可；
（3）先明∠BAM=∠OAQ，然后运用正弦、正切的定义求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，
令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
∵AO＝BO，
∴A（3，0），
把A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，
解得b＝2，
∴这条抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3，
顶点M（1，4）；
（2）∵A（3，0），B（0，3）M（1，4），
∴BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20，
∴∠MBA＝90°，
∴；
（3）∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°
∵∠MAQ＝45°，
∴∠BAM＝∠OAQ，
由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴OQ＝1，
∴Q（0，1）．
【点睛】本题属于二次函数综合运用，主要考查了二次函数的图像性质、解直角三角形、勾股定理的逆定理等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
25．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＜BC，AB＝BC＝1，E是边AB上一点，联结CE．
（1）如果CE＝CD，求证：AD＝AE；
（2）联结DE，如果存在点E，使得△ADE、△BCE和△CDE两两相似，求AD的长；
（3）设点E关于直线CD的对称点为M，点D关于直线CE的对称点为N，如果AD＝，且M在直线AD上时，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）过C点作CF⊥AD，交AD的延长线于F，可证ABCF是正方形，即AB=BC=CF=FA;再由“HL”证得Rt△CBE≌Rt△ CFD，可得BE=FD，最后用线段的和差即可；
（2）分∠EDC＝90°和∠DEC＝90°两种情况讨论，运用相似三角形的性质和直角三角形的性质即可求解；
（3）连接EM交CD于Q，连接DN交CE于P，连接ED，CM，作CF⊥AD于F，由轴对称的性质可得∠CPD=∠CQE=90°，DC垂直平分EM，可证Rt△CBE≌Rt△CFM，可得BE=FM，由勾股定理可求BE、CE的长，通过证明△CDP∽△CEQ，最后运用相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：如图，过C点作CF⊥AD，交AD的延长线于F，

∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AB＝BC＝CF＝FA，
又∵CE＝CD，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD，
∴AD＝AE；
（2）①若∠EDC＝90°时，

若△ADE、△BCE和△CDE两两相似，
那么∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE＝30°，
在△CBE中，∵BC＝1，
∴，，
∵AB＝1，
∴，
∴，
此时≠，
∴△CDE与△ADE、△BCE不相似；
②如图，若∠DEC＝90°时，

∵∠ADE+∠A＝∠BEC+∠DEC，∠DEC＝∠A＝90°，
∴∠ADE＝∠BEC，且∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△BEC，
∴∠AED＝∠BCE，
若△CDE与△ADE相似，
∵AB与CD不平行，
∴∠AED与∠EDC不相等，
∴∠AED＝∠BCE＝∠DCE，
∴若△CDE与△ADE、△BCE相似，
∴，
∴AE＝BE，
∵AB＝1，
∴AE＝BE＝，
∴AD＝；
（3）连接EM交CD于Q，连接DN交CE于P，连接ED，CM，作CF⊥AD于F，

∵E关于直线CD的对称点为M，点D关于直线CE的对称点为N，
∴∠CPD＝∠CQE＝90°，DC垂直平分EM，
∠PCD＝∠QCE，
∴△CDP∽△CEQ，
∴，
∵AD∥BC，AB⊥BC，，AB＝BC＝1，
∴，
∵CD垂直平分EM，
∴DE＝DM，CE＝CM，
在Rt△CBE和Rt△CFM中，CB＝CF，EC＝CM，
∴Rt△CBE≌Rt△CFM（HL）
∴BE＝FM，
设BE＝x，则FM＝x，
∵ED＝DM，且AE2+AD2＝DE2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵DN＝2DP，EM＝2EQ，
∴．
【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．