备战2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（浙江杭州专用）（原卷、解析版）

备战2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（浙江杭州专用）卷01

一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知①1﹣22；②|1﹣2|；③（1﹣2）2；④1﹣（﹣2），其中相等的是（  ）

A．②和③ B．③和④ C．②和④ D．①和②

【答案】A

【解析】因为①1-22=1-4=-3；

②|1-2|=|-1|=1；

③（1-2）2=（-1）2=1；

④1-（-2）=1+2=3．

所以，相等的是②和③．

故选A．

2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】A、既是是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：A．

3．金星的表面积约为460000000平方千米，其中460000000用科学计数法表示为

A．4.6×107 B．4.6×108 C．46×107 D．0.46×109

【答案】B

【解析】将460000000用科学记数法表示为：4.6×108．故选B．

4．如图正方体纸盒，展开后可以得到

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】A.两个白色圆和一个蓝色圆折叠后互为邻面，符合题意；

B.两个白色圆所在的面折叠后是对面，不符合题意;

C.白色圆与一个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不符合题意;

D.白色圆与一个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不符合题意.

故选A.

5．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠3 B．x≠﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣3

【答案】A

【解析】当分母x﹣3≠0，即x≠3时，分式有意义．

故选A．

6．九(1)班有2名升旗手，九(2)班、九(3)班各1名，若从4人中随机抽取2人担任下周的升旗手，则抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率是(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的2人恰巧都来自九(1)班的有2种结果，

所以抽取的2人恰巧都来自九(1)班的概率为，

故选D．

7．下列变形错误的是(  )

A．若a－c＞b－c，则a＞b

B．若a＜b，则a＜b

C．若－a－c＞－b－c，则a＞b

D．若－a＜－b，则a＞b

【答案】C

【解析】根据不等式的性质，不等式的两边同加或减去一个数（或因式），不等号的方向不变，故A正确；

根据不等式的性质，不等式的两边同乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B正确；

根据不等式的性质，不等式的两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C不正确；

根据不等式的性质，不等式的两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故D正确.

故选：C.

8．某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．现在要使利润为元，每件商品应降价__________元．

A．3 B．2.5 C．2 D．5

【答案】A

【解析】设售价为x元时，每星期盈利为6120元，

由题意得（x-40）[300+20（60-x）]=6120，

解得：x1=57，x2=58，

由已知，要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去x2=58．

∴每件商品应降价60-57=3元．

故选A．

9．若抛物线，则当，时，图象与轴的交点情况是

A．无交点 B．只有一个交点

C．有两个交点 D．不能确定

【答案】C

【解析】若函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交,则y=0,即ax2+bx+c=0，有解，

∵ac<0，

∴△=b2−4ac>0，方程有两个不相等的实数解，

因此函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个相交，

故选C.

10．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC=110°，AB=6，AC=5，MN=2，结论①AP=MP；②BC=9；③∠MAN=35°；④AM=AN．其中不正确的有

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】D

【解析】①∵CE平分∠ACE，

∴∠ACP=∠MCP，

∵AM⊥CE，

∴∠APC=∠MPC=90°，

∴∠CAM=∠CMA，

∴AC=CM，

∴AP=PM，①正确；

②同理得：BN=AB=6，

∵CM=AC=5，

∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，②正确；

③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°，

由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN，

△AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC，

∴180°-∠MAN-∠MAN=110°，

∴∠MAN=35°，③正确；

④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN，

∵AB=6≠AC=5

∴∠ABC≠∠ACB，

∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确；

所以本题不正确的有④，

故选：D．

二、填空题（本题包括6个小题，共24分）

11．当x___________________时，代数式14-2x的值是非负数．

【答案】

【解析】依题意可得14-2x≥0

解得

故答案为：．

12．通过平移将点移到点，若按同样的方法移动点到点，则点的坐标是______．

【答案】（8,-3）

【解析】由点A的平移规律可知，此题规律是（x+5，y-4），照此规律计算可知点B′的坐标是（8，-3）．

故答案填：（8，-3）．

13．如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C=55°，则劣弧AB的长是_____________．

【答案】

【解析】∵∠C=55°，

∴∠AOB=2∠C=110°，

∴．

故答案为：．

14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为_______．

【答案】

【解析】在网格上取个点D，得

∵CD=4，AD=3

∴

∴

故答案为：

15．已知关于x的一次函数y=(3a-7)x+a-2的图像与y轴的交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围为__________.

【答案】2＜a＜．

【解析】∵关于x一次函数y=（3a-7）x+a-2的图象与y轴的交点在x轴的上方，且y随着x的增大而减少，

∴，

解得2＜a＜．

故答案是：2＜a＜．

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，点O是AB的中点，以BC为直角边向外作等腰Rt△BCD，连接OD，当OD取最大值时，则∠ODB的度数是_____．

【答案】22.5°

【解析】如图，将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，连接CO，EO，

∵将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，

∴OB=BE，OD=CE，∠BCE=∠BDO，∠OBE=90°

∵CE≤OC+OE

∴当点O在CE上时，CE有最大值，即OD取最大值，

∵BE=OB，∠ABE=90°

∴∠BOE=45°

∵点O是AB中点，∠ACB=90°

∴CO=BO

∴∠ECB=∠CBO，

∵∠EOB=∠ECB+∠OBC=45°

∴∠ECB=22.5°=∠BDO

故答案为：22.5°.

三、解答题（本题包括7个小题，共66分）

17．（6分）化简：

（1）；

（2）．

【解析】（1）原式=.

=.

原式=

=

==.

18．（8分）王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%．现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．

（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；

（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？

【解析】（1）甲山上4棵树的产量分别为：50千克、36千克、40千克、34千克，

所以甲山产量的样本平均数为：千克；

乙山上4棵树的产量分别为：36千克、40千克、48千克、36千克，

所以乙山产量的样本平均数为千克．

答：甲、乙两片山上杨梅产量数样本的平均数分别为：40kg，40kg；

甲、乙两山的产量总和为：100×98%×2×40=7840千克．

（2）由题意，得

S甲2=（千克2）；

S乙2=（千克2）

∵38＞24

∴S2甲＞S2乙

∴乙山上的杨梅产量较稳定．

19．（8分）如图，在中，，.

（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点.（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接，求证：.

【解析】（1）如图所示，直线即为线段的垂直平分线.

（2）证明：∵，

∴.

∵是的垂直平分线，

∴，∴.

∵，

∴，∴.

∴.

∴.

20．（10分）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个数学问题：

问题a：矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系；

问题b：矩形周长为8，它的长y与宽x之间的函数关系．

（1）问题a，b所对应的函数图象分别为　　，（填写序号）；

（2）请你把剩下的函数图象写出一个适合的数学问题．

【解析】（1）问题a：矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系为：y=（x＞0）；

问题b：矩形周长为8，它的长y与宽x之间的函数关系为：y=4﹣x（0＜x＜4）．

问题a，b所对应的函数图象分别为：②，①；

故答案为：②，①；

（2）答案不唯一，

如：①正方形的面积y与边长x之间的函数关系；

②圆的面积y与半径x之间的函数关系．

21．（10分）如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）若∠PAC=90°，AB=，求PD的长．

【解析】（1）∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，

∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形；

（2）∵△ABC是等边三角形，AB=，∴AC=BC=AB=，∠ACB=60°．

在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=，

∴AP=AC•cot∠APC=2．

在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=，∠ACD=60°，

∴AD=AC•tan∠ACD=6，

∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4．

22．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴交于A(﹣1，0)、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，对称轴为直线x=1，交x轴于点E，tan∠BDE=．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点P是对称轴上一点，且∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．

【解析】 (1)依照题意，画出图形，如图1所示．

∵点A的坐标为(﹣1，0)，抛物线的对称轴为直线x=1，

∴点E的坐标为(1，0)，

∴BE=AE=2．

∵tan∠BDE==，

∴DE=2BE=4，

∴点D的坐标为(1，﹣4)．

∴抛物线的表达式可设为y=a(x﹣1)2﹣4．

将(﹣1，0)代入y=a(x﹣1)2-4，得：4a﹣4=0，

解得：a=1，

∴抛物线的表达式为y=(x﹣1)2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．

(2)取点F(5，0)，连接DF，过点C作CM⊥直线DE，垂足为点M，过点B作BN⊥直线DF，垂足为点N，如图2所示．

∵点D的坐标为(1，﹣4)，

∴EF=DE=4，

∴△DEF为等腰直角三角形，

∴∠EDF=∠EFD=45°，DF=4．

∵BN⊥DF，

∴△BNF为等腰直角三角形，

∴NB=NF=BF=，

∴DN=DF﹣NF=3，

∴tan∠BDN==．

当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，

∴点C的坐标为(0，﹣3)．

∵点D的坐标为(1，﹣4)，CM⊥DE，

∴CM=DM=1，

∴△CDM为等腰直角三角形，

∴∠DCM=∠CDM=45°．

①当点P在点D下方时，∵∠CDM=∠DCP+∠CPM=45°，∠BDE+∠BDN=45°，

∴∠CPM=∠BDN，

∴tan∠CPM==，即=，

∴MP=3，

∴EP=EM+MP=6，

∴点P的坐标为(1，﹣6)；

②当点P在点D上方时，∵∠PCD+∠PCM=45°，∠BDE+∠BDN=45°，

∴∠PCM=∠BDN，

∴tan∠PCM==，

∴MP=，

∴EP=EM+MP=，

∴点P的坐标为(1，﹣)．

综上所述，点P的坐标为(1，﹣6)或(1，﹣)．

23．（12分）如图①，在中，，．点分别是边上的动点，连接．设（），，与之间的函数关系如图②所示．

（1）求出图②中线段所在直线的函数表达式；

（2）将沿翻折，得．

①点是否可以落在的某条角平分线上?如果可以，求出相应的值；如果不可以，说明理由；

②直接写出与重叠部分面积的最大值及相应的值．

【解析】（1）设直线PQ为y=kx＋b，

将（3，4）和（6，0）代入，得

解得：

∴直线PQ为；

（2）①过点C作CT⊥AB，垂足为点T，

∵，

∴在Rt△ABC中，，

∵

∴

∴，

∴在Rt△ACT中，，

∴，

由（1）可知，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵∠DCE=∠ACB，

∴△DCE∽△ACB，

∴∠DEC=∠ABC，

∴DE∥AB，

∵折叠，

∴点M在CT上，且点M不在∠ACB的平分线上，

∵，

∴在Rt△CDE中，，

∵

∴

∴

∴，，

如图，当点M在∠CAB的平分线上时，即AM平分∠CAT，

∴

∴，

∴，

∴

∴

解得，

如图，当点M在∠CBA的平分线上时，即BM平分∠CBT，

∴

∴，

∴，

∴

∴

解得，

综上所述，x的值为或；

②设与重叠部分面积为S，

如图，当点M与点T重合时，

∵折叠，

∴CD=DT，

∴∠DCT=∠DTC，

∵∠ATC=90°，

∴∠DCT=∠A90°，∠DTC=∠DTA=90°，

∴∠A=∠DTA，

∴DA=DT，

∴DA=DC=AC=3，

∴当0＜x≤3时，如图，

则

∵0＜x≤3，

∴当x=3时，S取得最大值，最大值为6，

当3＜x≤6时，如图，

∵，

∴，

∵DE∥AB，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴

，

∴当x=4时，S取得最大值，最大值为8，

综上所述，与重叠部分面积的最大值为8，此时x=4．