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2021年上海市中考数学模拟押题试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年上海市中考数学模拟押题试卷（word版 含答案），共23页。试卷主要包含了四象限，那么k的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年上海市中考数学模拟押题试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ）
A． B． C． D．80%
2．如果反比例函数y＝的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤0
3．如果a＞b，那么下列结论中一定成立的是（ ）
A．1﹣a＞1﹣b B．2+a＞2+b C．ab＞b2 D．a2＞b2
4．如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
5．为了解某校初三400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析．在这项调查中，下列说法正确的是（ ）
A．400名学生中每位学生是个体
B．400名学生是总体
C．被抽取的50名学生是总体的一个样本
D．样本的容量是50
6．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．计算：（2a）2•a3＝ ．
8．方程的解是 ．
9．因式分解：x2﹣x﹣12＝ ．
10．函数y＝的定义域是 ．
11．一次函数y＝﹣x+2的图象不经过第 象限．
12．贾玲导演的《你好李焕英》上映2个月，累计票房约为5200000000元，成为中国纪录电影票房冠军．5200000000用科学记数法表示是 ．
13．一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，3，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么两次摸出小球的数字的和为素数的概率是 ．
14．具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作，已知+＝，如下图所示：如果＝，＝，则＝+，若D为AB的中点，＝，若BE为AC上的中线，则用，表示为 ．
15．一商场内有一座自动扶梯，小明站在自动扶梯上，当他沿着斜坡向上方向前进了13米时，他在铅垂方向升高了5米，求自动扶梯所在的斜边的坡度i是 ．
16．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝ ．
17．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为 ．
18．在△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝AC，BF平分∠ABC交AC于F，取AB中点E，连接EF交BC延长线于D，连接AD，则＝ ．
三、解答题（本大题共7题，满分50分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解方程：．
21．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．已知AC＝9，cosC＝．
（1）求线段AE的长；
（2）求sin∠DAE的值．
22．（6分）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍．
（1）小明骑电动自行车的速度为 千米/小时，在甲地游玩的时间为 小时；
（2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？
23．（6分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝2，AB＝3，求边BC的长．
24．（6分）已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N．
（1）求点D的坐标；
（2）求点M的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）当点N在第一象限，且∠OMB＝∠ONA时，求a的值．
25．（14分）已知四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF∥DB交AB延长线于点F，联结EF交BC于点H．
（1）如图1，当EF⊥BC时，求AE的长；
（2）如图2，以EF为直径作⊙O，⊙O经过点C交边CD于点G（点C、G不重合），设AE的长为x，EH的长为y；
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②联结EG，当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时，求AE的长．
2021年上海市中考数学模拟押题试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ）
A． B． C． D．80%
【分析】依据实数的分类方法进行判断即可．
【解答】解：A、﹣是分数，不符合题意；
B、是分数，不符合题意；
C、是无理数，不是分数，符合题意；
D、80%＝是分数，不符合题意．
故选：C．
2．如果反比例函数y＝的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤0
【分析】根据反比例函数图象的性质：当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限．
【解答】解：∵图象在二、四象限，
∴k＜0．
故选：B．
3．如果a＞b，那么下列结论中一定成立的是（ ）
A．1﹣a＞1﹣b B．2+a＞2+b C．ab＞b2 D．a2＞b2
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴1﹣a＜1﹣b，故本选项不合题意；
B．∵a＞b，
∴2+a＞2+b，故本选项符合题意；
C．不妨设b＝0，
则ab＝b2，故本选项不合题意；
D．不妨设a＝1，b＝﹣2，
则a2＜b2，故本选项不合题意；
故选：B．
4．如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可求得边数，然后代入内角和公式求解即可．
【解答】解：这个多边形的边数是360÷72＝5，
所以内角和为（5﹣2）×180°＝540°
故选：B．
5．为了解某校初三400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析．在这项调查中，下列说法正确的是（ ）
A．400名学生中每位学生是个体
B．400名学生是总体
C．被抽取的50名学生是总体的一个样本
D．样本的容量是50
【分析】总体是所有调查对象的全体；样本是所抽查对象的情况；所抽查对象的数量；个体是每一个调查的对象．
【解答】解：A.400名学生中每位学生的体重是个体，故本选项不合题意；
B.400名学生的体重是总体，故本选项不合题意；
C．被抽取的50名学生的体重是总体的一个样本，故本选项不合题意；
D．样本的容量是50，符号题意；
故选：D．
6．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可．
【解答】解：A、一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形，是真命题；
B、一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
C、一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
D、一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
故选：A．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．计算：（2a）2•a3＝ 4a5 ．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：（2a）2•a3＝4a2•a3＝（4×1）（a2•a3）＝4a5．
故答案为4a5．
8．方程的解是 x＝1 ．
【分析】根据解无理方程的一般步骤解出方程．
【解答】解：方程两边平方，得2x﹣1＝1，
解得，x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣1＝1＞0，
所以原方程的解为x＝1，
故答案为：x＝1．
9．因式分解：x2﹣x﹣12＝ （x﹣4）（x+3） ．
【分析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．
【解答】解：x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3）．
10．函数y＝的定义域是 x≠2 ．
【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x﹣2≠0，解得x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
11．一次函数y＝﹣x+2的图象不经过第 三 象限．
【分析】利用数形结合法画出一次函数y＝﹣x+2的大致图象，即可得出结论．
【解答】解：过（0，2）和（2，0）画出一次函数y＝﹣x+2的图象如下：
由图象可知，一次函数y＝﹣x+2的图象不经过第三象限．
故答案为：三．
12．贾玲导演的《你好李焕英》上映2个月，累计票房约为5200000000元，成为中国纪录电影票房冠军．5200000000用科学记数法表示是 5.2×109 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5200000000＝5.2×109．
故答案为：5.2×109．
13．一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，3，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么两次摸出小球的数字的和为素数的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出小球的数字的和为素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次摸出小球的数字的和为素数的有2种情况，
∴两次摸出小球的数字的和为素数的概率是：＝．
故答案为：．
14．具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作，已知+＝，如下图所示：如果＝，＝，则＝+，若D为AB的中点，＝，若BE为AC上的中线，则用，表示为 + ．
【分析】根据向量减法的三角形法则可知＝﹣，即可用，表示．
【解答】解：∵＝﹣，
∴＝+﹣＝+．
故答案为：+．
15．一商场内有一座自动扶梯，小明站在自动扶梯上，当他沿着斜坡向上方向前进了13米时，他在铅垂方向升高了5米，求自动扶梯所在的斜边的坡度i是 1：2.4 ．
【分析】根据在一个斜面上前进13米，铅锤方向上升了5米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．
【解答】解：设在自动扶梯上前进13米，在铅锤方向上升了5米，此时水平距离为x米，
根据勾股定理，得x2+52＝132，
解得，x＝12（舍去负值），
故该斜坡坡度i＝5：12＝1：2.4．
故答案为：1：2.4．
16．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝ 3或﹣3 ．
【分析】首先解方程x2﹣5x+6＝0，再根据a*b＝，求出x1*x2的值即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得：x＝3或2，
①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；
②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3．
故答案为：3或﹣3．
17．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为 ．
【分析】首先连接CC′，可以得到CC′是∠EC′D的平分线，所以CB′＝CD，又AB′＝AB，所以B′是对角线中点，AC＝2AB，所以∠ACB＝30°，即可得出答案．
【解答】解：连接CC′，
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，
又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．
∴EC＝EC′，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵∠CB′C′＝∠D＝90°，
∴△CC′B′≌△CC′D，
∴CB′＝CD，
又∵AB′＝AB，
∴AB′＝CB′，
所以B′是对角线AC中点，
即AC＝2AB，
所以∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴tan∠BAC＝tan60°＝＝，
BC：AB的值为：．
故答案为：．
18．在△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝AC，BF平分∠ABC交AC于F，取AB中点E，连接EF交BC延长线于D，连接AD，则＝ ．
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝72°，又由于BF平分∠ABC交AC于F，则∠ABF＝36°，可得FA＝FB，加上AE＝BE，根据线段垂直平分线的判定得EF垂直平分AB，则DA＝DB，易得∠DAB＝∠ABD＝72°，∠ADB＝36°，即可证得△ABC∽△DAB，根据相似三角形的性质得到关于AB的一元二次方程，解方程得到可求得，即可求出结果．
【解答】解：∵∠BAC＝36°，AB＝AC，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BF平分∠ABC交AC于F，
∴∠ABF＝36°，
∴∠ABF＝∠BAC，
∴FA＝FB，
∵点E为AB的中点，
∴EF垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABD＝72°，
∴∠ADB＝（180°﹣∠DAB﹣∠ABD）＝∠36°，
∴∠BAC＝∠ABD，∠ABC＝∠ABD，
∴△ABC∽△DAB，
∴＝，
∴AB2＝BC•BD，
∵∠CAD＝∠DAB﹣∠BAC＝36°，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴CD＝AC＝AB，
∴AB2＝BC（BC+CD）＝BC•AB+BC2，
∴AB2﹣BC•AB﹣BC2＝0，
∴AB＝＝BC，
∴＝，
∴＝，
故答案为．
三、解答题（本大题共7题，满分50分）
19．（6分）计算：．
【分析】先根据负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝3+2﹣﹣2×+
＝3+2﹣﹣+﹣1
＝2+1．
20．（6分）解方程：．
【分析】把②通过因式分解化为两个二元一次方程，把这两个二元一次方程分别与①组成方程组，求解即可．
【解答】解：，
由②得，x﹣y＝0，x﹣2y＝0，
把这两个方程与①组成方程组得，
，，
解得，．
故方程组的解为：，．
21．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．已知AC＝9，cosC＝．
（1）求线段AE的长；
（2）求sin∠DAE的值．
【分析】（1）先在Rt△ABC中利用∠C的余弦计算出BC＝15，然后根据斜边上的中线性质求AE；
（2）先在Rt△ADC中利用∠C的余弦计算出CD＝，则可得到DE＝CE﹣CD＝，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵cosC＝＝，
∴BC＝×9＝15，
∵点E是斜边BC的中点，
∴AE＝BC＝；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在Rt△ADC中，∵cosC＝＝，
∴CD＝×9＝，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝，
∴DE＝CE﹣CD＝﹣＝，
在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝．
22．（6分）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍．
（1）小明骑电动自行车的速度为 20 千米/小时，在甲地游玩的时间为 0.5 小时；
（2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？
【分析】（1）根据图象可以求出小明在甲地游玩的时间，由速度＝路程÷时间就可以求出小明骑车的速度；
（2）直接运用待定系数法就可以求出直线BC和DE的解析式，再由其解析式建立二元一次方程组，求出点F的坐标就可以求出结论．
【解答】解：（1）由图象得
在甲地游玩的时间是1﹣0.5＝0.5（h），
小明骑车速度：10÷0.5＝20（km/h），
故答案为：20，0.5．
（2）如图，
妈妈驾车速度：20×3＝60（km/h）
设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），
则10＝0.5k，
解得：k＝20，
故直线OA的解析式为：y＝20x．
∵小明走OA段与走BC段速度不变，
∴OA∥BC，
设直线BC解析式为y＝20x+b1，
把点B（1，10）代入得b1＝﹣10，
∴y＝20x﹣10，
设直线DE解析式为y＝60x+b2，把点D（，0）
代入得：b2＝﹣80，
∴y＝60x﹣80，
∴，
解得：，
∴F（1.75，25）．
答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km．
23．（6分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝2，AB＝3，求边BC的长．
【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；
（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝2，AB＝3，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【解答】解：（1）连接OB、OC，如图：
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
．
∴△OAB≌△OAC（AAS）．
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，连接OB，如图：
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝2，AB＝3，
．
∵a＞0，b＞0，
解得：．
∴BC＝2BH＝2a＝．
24．（6分）已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N．
（1）求点D的坐标；
（2）求点M的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）当点N在第一象限，且∠OMB＝∠ONA时，求a的值．
【分析】（1）令x＝0，求得点A的坐标，根据抛物线的对称轴公式，求出点C的坐标，点A与点D关于对称轴对称，求出点D的坐标．
（2）设BD的解析式，待定系数法求函数解析式，令y＝0，求得点M的坐标．
（3）根据∠OMB＝∠ONA，∠ODM＝∠BDN，可推出∠DBG＝45°，过D作DG垂直于AN，再利用∠DAG的正切值列出等量关系，即可求出a的值．
【解答】解：（1）令x＝0，y＝2，
∴A（0，2），
﹣＝﹣＝1，当x＝1时，y＝2﹣a，
∴B（1，2﹣a），C（1，0），
∵点A与点D关于对称轴对称，对称轴为直线x＝1，
∴D（2，2）．
（2）设直线BD的解析式为y＝kx+b，代入点B、D，
，
解得，
∴y＝ax+2﹣2a，
令y＝0，解得x＝2﹣，
∴M（2﹣，0）．
（3）如图1所示，
∵∠OMB＝∠ONA，∠ODM＝∠BDN
∴∠NBD＝∠DOM＝45°，
作DG垂直AN于点G，设DG＝m，则BG＝m，
∴AB＝BD＝m，
∵tan∠DAG＝＝＝﹣1，
∴＝tan∠DAG，
∵B（1，2﹣a），H（1，2）
∴BH＝﹣a，AH＝1，
即＝﹣1，
∴a＝1﹣．
25．（14分）已知四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF∥DB交AB延长线于点F，联结EF交BC于点H．
（1）如图1，当EF⊥BC时，求AE的长；
（2）如图2，以EF为直径作⊙O，⊙O经过点C交边CD于点G（点C、G不重合），设AE的长为x，EH的长为y；
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②联结EG，当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）由菱形性质知DC∥AB、AB＝DC、DB和AC互相垂直平分，证平行四边形DBFC得BF＝DC＝AB＝10及∠CAB＝∠BCA，由EF⊥BC知∠CAB＝∠BCA＝∠CFE，据此知△AFC∽△FEC，从而得出FC2＝CE•AC，即FC2＝2AE2，据此可得答案；
（2）①连接OB，由AB＝BF、OE＝OF知OB∥AC、OB＝AE＝EC＝x，据此得＝＝及EH＝EO，根据EO2＝BE2+OB2＝﹣x2+100可得答案；②分GD＝GE和DE＝DG两种情况分别求解可得．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB、AB＝DC、DB和AC互相垂直平分，
∵CF∥DB，
∴四边形DBFC是平行四边形，
∴BF＝DC＝AB＝10，
∴∠CAB＝∠BCA，
当EF⊥BC时，∠CAB＝∠BCA＝∠CFE，
∴Rt△AFC∽Rt△FEC，
∴FC2＝CE•AC，即FC2＝2AE2，
Rt△ACF中，CF2+AC2＝AF2，2AE2+4AE2＝400，
解得：AE＝；
（2）①如图，连接OB，
则AB＝BF、OE＝OF，
∴OB∥AC，且OB＝AE＝EC＝x，
∴＝＝，
∴EH＝EO，
在Rt△EBO中，EO2＝BE2+OB2＝（）2+（x）2＝﹣x2+100，
∴y＝EO＝（＜x＜10）；
②当GD＝GE时，有∠GDE＝∠GED，
∵AC⊥DB，∠DEC＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴GE＝GC，
∴GD＝GC，即G为DC的中点，
又∵EO＝FO，
∴GO是梯形EFCD的中位线，
∴GO＝＝DE，
∴y＝，
∴＝，
解得：x＝；
如图2，当DE＝DG时，连接OD、OC、GO，
在△GDO和△EDO中，
∵，
∴△GDO≌△EDO（SSS），
∴∠DEO＝∠DGO，
∴∠CGO＝∠BEO＝∠OFC，
∴∠CGO＝∠OCG＝∠OFC＝∠OCF，
∴GC＝CF，
∴DC＝DG+GC＝DE+2DE＝10，
即3＝10，
解得：x＝，
综上，AE的长为或．
2021年上海市中考数学模拟押题试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ）
A． B． C． D．80%
2．如果反比例函数y＝的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤0
3．如果a＞b，那么下列结论中一定成立的是（ ）
A．1﹣a＞1﹣b B．2+a＞2+b C．ab＞b2 D．a2＞b2
4．如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
5．为了解某校初三400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析．在这项调查中，下列说法正确的是（ ）
A．400名学生中每位学生是个体
B．400名学生是总体
C．被抽取的50名学生是总体的一个样本
D．样本的容量是50
6．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．计算：（2a）2•a3＝ ．
8．方程的解是 ．
9．因式分解：x2﹣x﹣12＝ ．
10．函数y＝的定义域是 ．
11．一次函数y＝﹣x+2的图象不经过第 象限．
12．贾玲导演的《你好李焕英》上映2个月，累计票房约为5200000000元，成为中国纪录电影票房冠军．5200000000用科学记数法表示是 ．
13．一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，3，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么两次摸出小球的数字的和为素数的概率是 ．
14．具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作，已知+＝，如下图所示：如果＝，＝，则＝+，若D为AB的中点，＝，若BE为AC上的中线，则用，表示为 ．
15．一商场内有一座自动扶梯，小明站在自动扶梯上，当他沿着斜坡向上方向前进了13米时，他在铅垂方向升高了5米，求自动扶梯所在的斜边的坡度i是 ．
16．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝ ．
17．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为 ．
18．在△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝AC，BF平分∠ABC交AC于F，取AB中点E，连接EF交BC延长线于D，连接AD，则＝ ．
三、解答题（本大题共7题，满分50分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解方程：．
21．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．已知AC＝9，cosC＝．
（1）求线段AE的长；
（2）求sin∠DAE的值．
22．（6分）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍．
（1）小明骑电动自行车的速度为 千米/小时，在甲地游玩的时间为 小时；
（2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？
23．（6分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝2，AB＝3，求边BC的长．
24．（6分）已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N．
（1）求点D的坐标；
（2）求点M的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）当点N在第一象限，且∠OMB＝∠ONA时，求a的值．
25．（14分）已知四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF∥DB交AB延长线于点F，联结EF交BC于点H．
（1）如图1，当EF⊥BC时，求AE的长；
（2）如图2，以EF为直径作⊙O，⊙O经过点C交边CD于点G（点C、G不重合），设AE的长为x，EH的长为y；
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②联结EG，当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时，求AE的长．
2021年上海市中考数学模拟押题试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ）
A． B． C． D．80%
【分析】依据实数的分类方法进行判断即可．
【解答】解：A、﹣是分数，不符合题意；
B、是分数，不符合题意；
C、是无理数，不是分数，符合题意；
D、80%＝是分数，不符合题意．
故选：C．
2．如果反比例函数y＝的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤0
【分析】根据反比例函数图象的性质：当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限．
【解答】解：∵图象在二、四象限，
∴k＜0．
故选：B．
3．如果a＞b，那么下列结论中一定成立的是（ ）
A．1﹣a＞1﹣b B．2+a＞2+b C．ab＞b2 D．a2＞b2
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴1﹣a＜1﹣b，故本选项不合题意；
B．∵a＞b，
∴2+a＞2+b，故本选项符合题意；
C．不妨设b＝0，
则ab＝b2，故本选项不合题意；
D．不妨设a＝1，b＝﹣2，
则a2＜b2，故本选项不合题意；
故选：B．
4．如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可求得边数，然后代入内角和公式求解即可．
【解答】解：这个多边形的边数是360÷72＝5，
所以内角和为（5﹣2）×180°＝540°
故选：B．
5．为了解某校初三400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析．在这项调查中，下列说法正确的是（ ）
A．400名学生中每位学生是个体
B．400名学生是总体
C．被抽取的50名学生是总体的一个样本
D．样本的容量是50
【分析】总体是所有调查对象的全体；样本是所抽查对象的情况；所抽查对象的数量；个体是每一个调查的对象．
【解答】解：A.400名学生中每位学生的体重是个体，故本选项不合题意；
B.400名学生的体重是总体，故本选项不合题意；
C．被抽取的50名学生的体重是总体的一个样本，故本选项不合题意；
D．样本的容量是50，符号题意；
故选：D．
6．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可．
【解答】解：A、一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形，是真命题；
B、一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
C、一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
D、一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
故选：A．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．计算：（2a）2•a3＝ 4a5 ．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：（2a）2•a3＝4a2•a3＝（4×1）（a2•a3）＝4a5．
故答案为4a5．
8．方程的解是 x＝1 ．
【分析】根据解无理方程的一般步骤解出方程．
【解答】解：方程两边平方，得2x﹣1＝1，
解得，x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣1＝1＞0，
所以原方程的解为x＝1，
故答案为：x＝1．
9．因式分解：x2﹣x﹣12＝ （x﹣4）（x+3） ．
【分析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．
【解答】解：x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3）．
10．函数y＝的定义域是 x≠2 ．
【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x﹣2≠0，解得x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
11．一次函数y＝﹣x+2的图象不经过第 三 象限．
【分析】利用数形结合法画出一次函数y＝﹣x+2的大致图象，即可得出结论．
【解答】解：过（0，2）和（2，0）画出一次函数y＝﹣x+2的图象如下：
由图象可知，一次函数y＝﹣x+2的图象不经过第三象限．
故答案为：三．
12．贾玲导演的《你好李焕英》上映2个月，累计票房约为5200000000元，成为中国纪录电影票房冠军．5200000000用科学记数法表示是 5.2×109 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5200000000＝5.2×109．
故答案为：5.2×109．
13．一个口袋中装有3个完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，3，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后不放回，摇匀后再随机摸出一个小球，那么两次摸出小球的数字的和为素数的概率是 ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出小球的数字的和为素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次摸出小球的数字的和为素数的有2种情况，
∴两次摸出小球的数字的和为素数的概率是：＝．
故答案为：．
14．具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作，已知+＝，如下图所示：如果＝，＝，则＝+，若D为AB的中点，＝，若BE为AC上的中线，则用，表示为 + ．
【分析】根据向量减法的三角形法则可知＝﹣，即可用，表示．
【解答】解：∵＝﹣，
∴＝+﹣＝+．
故答案为：+．
15．一商场内有一座自动扶梯，小明站在自动扶梯上，当他沿着斜坡向上方向前进了13米时，他在铅垂方向升高了5米，求自动扶梯所在的斜边的坡度i是 1：2.4 ．
【分析】根据在一个斜面上前进13米，铅锤方向上升了5米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．
【解答】解：设在自动扶梯上前进13米，在铅锤方向上升了5米，此时水平距离为x米，
根据勾股定理，得x2+52＝132，
解得，x＝12（舍去负值），
故该斜坡坡度i＝5：12＝1：2.4．
故答案为：1：2.4．
16．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝ 3或﹣3 ．
【分析】首先解方程x2﹣5x+6＝0，再根据a*b＝，求出x1*x2的值即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得：x＝3或2，
①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；
②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3．
故答案为：3或﹣3．
17．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为 ．
【分析】首先连接CC′，可以得到CC′是∠EC′D的平分线，所以CB′＝CD，又AB′＝AB，所以B′是对角线中点，AC＝2AB，所以∠ACB＝30°，即可得出答案．
【解答】解：连接CC′，
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，
又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．
∴EC＝EC′，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵∠CB′C′＝∠D＝90°，
∴△CC′B′≌△CC′D，
∴CB′＝CD，
又∵AB′＝AB，
∴AB′＝CB′，
所以B′是对角线AC中点，
即AC＝2AB，
所以∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴tan∠BAC＝tan60°＝＝，
BC：AB的值为：．
故答案为：．
18．在△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝AC，BF平分∠ABC交AC于F，取AB中点E，连接EF交BC延长线于D，连接AD，则＝ ．
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝72°，又由于BF平分∠ABC交AC于F，则∠ABF＝36°，可得FA＝FB，加上AE＝BE，根据线段垂直平分线的判定得EF垂直平分AB，则DA＝DB，易得∠DAB＝∠ABD＝72°，∠ADB＝36°，即可证得△ABC∽△DAB，根据相似三角形的性质得到关于AB的一元二次方程，解方程得到可求得，即可求出结果．
【解答】解：∵∠BAC＝36°，AB＝AC，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BF平分∠ABC交AC于F，
∴∠ABF＝36°，
∴∠ABF＝∠BAC，
∴FA＝FB，
∵点E为AB的中点，
∴EF垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABD＝72°，
∴∠ADB＝（180°﹣∠DAB﹣∠ABD）＝∠36°，
∴∠BAC＝∠ABD，∠ABC＝∠ABD，
∴△ABC∽△DAB，
∴＝，
∴AB2＝BC•BD，
∵∠CAD＝∠DAB﹣∠BAC＝36°，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴CD＝AC＝AB，
∴AB2＝BC（BC+CD）＝BC•AB+BC2，
∴AB2﹣BC•AB﹣BC2＝0，
∴AB＝＝BC，
∴＝，
∴＝，
故答案为．
三、解答题（本大题共7题，满分50分）
19．（6分）计算：．
【分析】先根据负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝3+2﹣﹣2×+
＝3+2﹣﹣+﹣1
＝2+1．
20．（6分）解方程：．
【分析】把②通过因式分解化为两个二元一次方程，把这两个二元一次方程分别与①组成方程组，求解即可．
【解答】解：，
由②得，x﹣y＝0，x﹣2y＝0，
把这两个方程与①组成方程组得，
，，
解得，．
故方程组的解为：，．
21．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．已知AC＝9，cosC＝．
（1）求线段AE的长；
（2）求sin∠DAE的值．
【分析】（1）先在Rt△ABC中利用∠C的余弦计算出BC＝15，然后根据斜边上的中线性质求AE；
（2）先在Rt△ADC中利用∠C的余弦计算出CD＝，则可得到DE＝CE﹣CD＝，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵cosC＝＝，
∴BC＝×9＝15，
∵点E是斜边BC的中点，
∴AE＝BC＝；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在Rt△ADC中，∵cosC＝＝，
∴CD＝×9＝，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝，
∴DE＝CE﹣CD＝﹣＝，
在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝．
22．（6分）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍．
（1）小明骑电动自行车的速度为 20 千米/小时，在甲地游玩的时间为 0.5 小时；
（2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？
【分析】（1）根据图象可以求出小明在甲地游玩的时间，由速度＝路程÷时间就可以求出小明骑车的速度；
（2）直接运用待定系数法就可以求出直线BC和DE的解析式，再由其解析式建立二元一次方程组，求出点F的坐标就可以求出结论．
【解答】解：（1）由图象得
在甲地游玩的时间是1﹣0.5＝0.5（h），
小明骑车速度：10÷0.5＝20（km/h），
故答案为：20，0.5．
（2）如图，
妈妈驾车速度：20×3＝60（km/h）
设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），
则10＝0.5k，
解得：k＝20，
故直线OA的解析式为：y＝20x．
∵小明走OA段与走BC段速度不变，
∴OA∥BC，
设直线BC解析式为y＝20x+b1，
把点B（1，10）代入得b1＝﹣10，
∴y＝20x﹣10，
设直线DE解析式为y＝60x+b2，把点D（，0）
代入得：b2＝﹣80，
∴y＝60x﹣80，
∴，
解得：，
∴F（1.75，25）．
答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km．
23．（6分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝2，AB＝3，求边BC的长．
【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；
（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝2，AB＝3，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【解答】解：（1）连接OB、OC，如图：
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
．
∴△OAB≌△OAC（AAS）．
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，连接OB，如图：
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝2，AB＝3，
．
∵a＞0，b＞0，
解得：．
∴BC＝2BH＝2a＝．
24．（6分）已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2ax+2与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N．
（1）求点D的坐标；
（2）求点M的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）当点N在第一象限，且∠OMB＝∠ONA时，求a的值．
【分析】（1）令x＝0，求得点A的坐标，根据抛物线的对称轴公式，求出点C的坐标，点A与点D关于对称轴对称，求出点D的坐标．
（2）设BD的解析式，待定系数法求函数解析式，令y＝0，求得点M的坐标．
（3）根据∠OMB＝∠ONA，∠ODM＝∠BDN，可推出∠DBG＝45°，过D作DG垂直于AN，再利用∠DAG的正切值列出等量关系，即可求出a的值．
【解答】解：（1）令x＝0，y＝2，
∴A（0，2），
﹣＝﹣＝1，当x＝1时，y＝2﹣a，
∴B（1，2﹣a），C（1，0），
∵点A与点D关于对称轴对称，对称轴为直线x＝1，
∴D（2，2）．
（2）设直线BD的解析式为y＝kx+b，代入点B、D，
，
解得，
∴y＝ax+2﹣2a，
令y＝0，解得x＝2﹣，
∴M（2﹣，0）．
（3）如图1所示，
∵∠OMB＝∠ONA，∠ODM＝∠BDN
∴∠NBD＝∠DOM＝45°，
作DG垂直AN于点G，设DG＝m，则BG＝m，
∴AB＝BD＝m，
∵tan∠DAG＝＝＝﹣1，
∴＝tan∠DAG，
∵B（1，2﹣a），H（1，2）
∴BH＝﹣a，AH＝1，
即＝﹣1，
∴a＝1﹣．
25．（14分）已知四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF∥DB交AB延长线于点F，联结EF交BC于点H．
（1）如图1，当EF⊥BC时，求AE的长；
（2）如图2，以EF为直径作⊙O，⊙O经过点C交边CD于点G（点C、G不重合），设AE的长为x，EH的长为y；
①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②联结EG，当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）由菱形性质知DC∥AB、AB＝DC、DB和AC互相垂直平分，证平行四边形DBFC得BF＝DC＝AB＝10及∠CAB＝∠BCA，由EF⊥BC知∠CAB＝∠BCA＝∠CFE，据此知△AFC∽△FEC，从而得出FC2＝CE•AC，即FC2＝2AE2，据此可得答案；
（2）①连接OB，由AB＝BF、OE＝OF知OB∥AC、OB＝AE＝EC＝x，据此得＝＝及EH＝EO，根据EO2＝BE2+OB2＝﹣x2+100可得答案；②分GD＝GE和DE＝DG两种情况分别求解可得．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB、AB＝DC、DB和AC互相垂直平分，
∵CF∥DB，
∴四边形DBFC是平行四边形，
∴BF＝DC＝AB＝10，
∴∠CAB＝∠BCA，
当EF⊥BC时，∠CAB＝∠BCA＝∠CFE，
∴Rt△AFC∽Rt△FEC，
∴FC2＝CE•AC，即FC2＝2AE2，
Rt△ACF中，CF2+AC2＝AF2，2AE2+4AE2＝400，
解得：AE＝；
（2）①如图，连接OB，
则AB＝BF、OE＝OF，
∴OB∥AC，且OB＝AE＝EC＝x，
∴＝＝，
∴EH＝EO，
在Rt△EBO中，EO2＝BE2+OB2＝（）2+（x）2＝﹣x2+100，
∴y＝EO＝（＜x＜10）；
②当GD＝GE时，有∠GDE＝∠GED，
∵AC⊥DB，∠DEC＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴GE＝GC，
∴GD＝GC，即G为DC的中点，
又∵EO＝FO，
∴GO是梯形EFCD的中位线，
∴GO＝＝DE，
∴y＝，
∴＝，
解得：x＝；
如图2，当DE＝DG时，连接OD、OC、GO，
在△GDO和△EDO中，
∵，
∴△GDO≌△EDO（SSS），
∴∠DEO＝∠DGO，
∴∠CGO＝∠BEO＝∠OFC，
∴∠CGO＝∠OCG＝∠OFC＝∠OCF，
∴GC＝CF，
∴DC＝DG+GC＝DE+2DE＝10，
即3＝10，
解得：x＝，
综上，AE的长为或．
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