2018届中考数学提升练习：专题(九) 以全等为背景的计算与证明

专题提升(九)　以全等为背景的计算与证明

【经典母题】

如图Z9－1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线．求证：AD⊥BC(填空)．

证明：在△ABD和△ACD中，

∴__△ABD__≌__△ACD__(SSS)，

∴∠ADB＝__∠ADC__(全等三角形的对应角相等)．

∴∠ADB＝∠BDC＝90°(平角的定义)，

∴AD⊥BC(垂直的定义)．

【思想方法】　(1)证明两角相等，可证它们所在的两个三角形全等；(2)由平行线可得同位角或者内错角相等；(3)要完成一般三角形全等的证明，必须以SAS，ASA，AAS，SSS作为依据．

【中考变形】

1．[2017·宜宾]如图Z9－2，已知点B，E，C，F在同一条直线上，

[来源:学科网]

图Z9－2

AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE＝CF.

证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F.在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(AAS)，

∴BC＝EF，∴BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF.

2．[2017·南充]如图Z9－3，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是E，F，DE＝CF，AE＝BF.求证：AC∥BD.

图Z9－3

证明：∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE.

∵DE⊥AB，CF⊥AB，

∴∠AFC＝∠BED＝90°.

在△AFC和△BED中，

∴△AFC≌△BED(SAS)，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD.[来源:Zxxk.Com]

3．[2016·南充]已知△ABN和△ACM位置如图Z9－4所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求证：

图Z9－4

(1)BD＝CE；

(2)∠M＝∠N.

证明：(1)在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE；

(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，[来源:Zxxk.Com]

即∠BAN＝∠CAM，

由(1)得△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，

在△ACM和△ABN中，

∴△ACM≌△ABN(ASA)，∴∠M＝∠N.

4．[2016·孝感]如图Z9－5，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.

图Z9－5

证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC(ASA)，∴AB＝AC，又∵AD＝AE，

∴AB－AE＝AC－AD，∴BE＝CD.

5．如图Z9－6，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.

(1)求证：△ACD≌△AED；

(2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．

图Z9－6

解：(1)证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD.

∵DE⊥AB，∠C＝90°，

∴∠C＝∠AED＝90°.

又∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED(AAS)；

(2)∵△ACD≌△AED，∴DE＝CD＝1.

∵∠B＝30°，∠DEB＝90°，∴BD＝2DE＝2.

6．如图Z9－7，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC.

(1)求证：△ABE≌△DCE；

(2)当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数．

图Z9－7

解：(1)证明：∵在△ABE和△DCE中，

∴△ABE≌△DCE(AAS)；

(2)∵△ABE≌△DCE，∴BE＝CE，

∴∠EBC＝∠ECB.

∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°.

7．[2017·齐齐哈尔]如图Z9－8，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．

[来源:学|科|网]

图Z9－8

(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；

(2)连结EF，若AC＝10，求EF的长．

解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

在△BDG和△ADC中，

∴△BDG≌△ADC(SAS)，∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，

∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，

∴DE＝BG＝EG，DF＝AC＝AF，

∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，

∴∠EDG＋∠FDA＝90°，[来源:学科网ZXXK]

∴DE⊥DF；

(2)∵AC＝10，∴DE＝DF＝5，

由勾股定理，得EF＝＝5.

8．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图Z9－9，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.

图Z9－9

证明：∵在△ABD和△CBD中，

∴△ABD≌△CBD(SSS)，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴BD平分∠ABC.

又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF.

【中考预测】

如图Z9－10，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.

图Z9－10

(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；

(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．

解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，

∴∠CBF＝∠ABE＝90°.

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)；

(2)∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠CAB＝∠ACB＝45°，

∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.

由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠BCF＝∠BAE＝15°，

∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.