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    2018届中考数学提升练习:专题(十) 等腰或直角三角形为背景的计算与证明
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    2018届中考数学提升练习:专题(十) 等腰或直角三角形为背景的计算与证明

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    这是一份2018届中考数学提升练习:专题(十) 等腰或直角三角形为背景的计算与证明,共9页。


    类型之一 以等腰三角形为背景的计算与证明
    【经典母题】
    把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成三张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形.你能办到吗?请画示意图说明剪法.
    经典母题答图
    解:如答图,作∠ABC的平分线,交AC于点D.在BA上截取BE=BD,连结ED,则沿虚线BD,DE剪两刀,分成的3个三角形都是等腰三角形.
    【思想方法】 等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等,或者与三角形内角和定理结合在一起求角度,或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边长的计算.
    【中考变形】
    1.[2017·湖南]已知△ABC的三边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画 ( B )
    A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
    中考变形1答图
    【解析】 如答图,当AC=CD,AB=BG,AF=CF,AE=BE时,都能得到符合题意的等腰三角形.
    2.[2016·杭州]已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m<n),过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形,若这两个三角形都为等腰三角形,则 ( C )
    A.m2+2mn+n2=0 B.m2-2mn+n2=0
    C.m2+2mn-n2=0 D.m2-2mn-n2=0
    中考变形2答图
    【解析】 如答图,根据题意,得m2+m2=(n-m)2,2m2=n2-2mn+m2,m2+2mn-n2=0.
    3.[2017·绍兴]已知△ABC,AB=AC,D为直线BC上一点,E为直线AC上一点,AD=AE,设∠BAD=α,∠CDE=β.
    (1)如图Z10-1,若点D在线段BC上,点E在线段AC上.
    ①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α=__20__°,β=__10__°.
    ②求α,β之间的关系式;
    (2)是否存在不同于以上②中的α,β之间的关系式?若存在,求出这个关系式(求出一个即可);若不存在,请说明理由.
    图Z10-1
    解:(1)①∵AB=AC,∠B=60°,∴∠BAC=60°,
    ∵AD=AE,∠ADE=70°,∴∠DAE=180°-2∠ADE=40°,
    ∴α=∠BAD=60°-40°=20°,
    ∴∠ADC=∠BAD+∠B=60°+20°=80°,
    ∴β=∠CDE=∠ADC-∠ADE=10°.
    ②设∠B=x,∠ADE=y,∴∠C=x,∠AED=y,
    在△DEC中,y=β+x,在△ABD中,α+x=y+β=β+x+β,
    ∴α=2β;
    (2)Ⅰ.当点E在CA的延长线上,点D在线段BC上时,如答图①,设∠B=x,∠ADE=y,∴∠C=x,∠E=y,
    在△ABD中,x+α=β-y,在△DEC中,x+y+β=180°,
    ∴α=2β-180°.

    中考变形3答图① 中考变形3答图②
    Ⅱ.当点E在CA的延长线上,点D在CB的延长线上时,如答图②,同①的方法可得α=180°-2β.
    【中考预测】
    [2016·菏泽]如图Z10-2,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连结BE.
    (1)如图①,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,
    ①求证:AD=BE.
    ②求∠AEB的度数;
    (2)如图②,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高线,BN为△ABE中AE边上的高线,求证:AE=2eq \r(3)CM+eq \f(2\r(3),3)BN.
    图Z10-2
    解:(1)①证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,
    ∴∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.
    ∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,
    ∴∠ACD=∠BCE.
    ∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,
    ∴AC=BC,DC=EC.
    在△ACD和△BCE中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC=BC,,∠ACD=∠BCE,,DC=EC,))
    ∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE;
    ②∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.
    ∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,
    ∴∠ADC=180°-∠CDE=130°,∴∠BEC=130°,
    ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°;
    (2)证明:∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=120°,
    ∴∠CDM=∠CEM=eq \f(1,2)×(180°-120°)=30°.
    ∵CM⊥DE,∴∠CMD=90°,DM=EM.
    在Rt△CMD中,∠CDM=30°,
    ∴DE=2DM=2×eq \f(CM,tan∠CDM)=2eq \r(3)CM.
    ∵∠ACB=∠DCE=120°,
    ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE,
    又∵AC=BC,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS),
    ∴∠ADC=∠BEC,AD=BE.
    ∵∠BEC=∠ADC=180°-30°=150°,
    ∠BEC=∠CEM+∠AEB,
    ∴∠AEB=∠BEC-∠CEM=150°-30°=120°,[来源:学&科&网]
    ∴∠BEN=180°-120°=60°.
    在Rt△BNE中,∠N=90°,∠BEN=60°,
    ∴BE=eq \f(BN,sin∠BEN)=eq \f(2\r(3),3)BN.
    ∵AD=BE,AE=AD+DE,
    ∴AE=DE+BE=2eq \r(3)CM+eq \f(2\r(3),3)BN.
    类型之二 以直角三角形为背景的计算与证明
    【经典母题】
    已知:如图Z10-3,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E为AC上一点,且BF=AC,DF=DC.求证:BE⊥AC.
    图Z10-3
    证明:∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠BDF=90°,
    又∵BF=AC,DF=DC,
    ∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL),∴∠DBF=∠DAC,
    ∵∠BFD=∠AFE,
    ∴∠AEF=∠BDF=90°,即BE⊥AC.
    【思想方法】 直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛,常与三角形全等知识结合使用.
    【中考变形】
    1.如图Z10-4,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连结AA′,若∠1=20°,则∠B的度数是 ( B )
    图Z10-4
    A.70°
    B.65°
    C.60°
    D.55°
    【解析】 ∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C,∴AC=A′C,∴△ACA′是等腰直角三角形,∴∠CAA′=45°,∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°,由旋转的性质,得∠B=∠A′B′C=65°.
    图Z10-5
    2.[2016·济宁]如图Z10-5,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当条件____AE=CE(答案不唯一)__,使△AEH≌△CEB.
    【解析】 该题为开放型题,根据垂直关系,可以找出△AEH与△CEB的两对相等的对应角,只需要找它们的一对对应边相等就可以了.
    ∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,
    ∴∠BEC=∠AEC=∠ADB=90°,
    在Rt△AEH中,∠EAH=90°-∠AHE,
    在Rt△ABD中,∠EAH=90°-∠B,
    ∴∠B=∠AHE.
    ∴根据AAS添加AH=CB或AE=CE,根据ASA添加EH=EB,可证△AEH≌△CEB.
    故填空答案:AH=CB或EH=EB或AE=CE(答案不唯一).
    图Z10-6
    3.如图Z10-6,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE,DE,DC.
    (1)求证:△ABE≌△CBD;
    (2)若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
    解:(1)证明:∵∠ABC=90°,
    ∴∠DBE=180°-∠ABC=180°-90°=90°,
    ∴∠ABE=∠CBD.
    在△ABE和△CBD中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB=CB,,∠ABE=∠CBD,,BE=BD,))
    ∴△ABE≌△CBD(SAS);
    (2)∵AB=CB,∠ABC=90°,
    ∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ECA=45°.
    ∵∠CAE=30°,∠BEA=∠ECA+∠CAE,
    ∴∠BEA=45°+30°=75°.
    由(1)知∠BDC=∠BEA,∴∠BDC=75°.
    4.如图Z10-7,△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上的一点.
    图Z10-7
    (1)求证:△ACE≌△BCD;
    (2)若DE=13,BD=12,求线段AB的长.
    解:(1)证明:∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,
    ∴CE=CD,AC=BC,∠ACB=∠ECD=90°,
    ∴∠ACE=∠BCD=90°-∠ACD,
    在△ACE和△BCD中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CE=CD,,∠ACE=∠BCD,,AC=BC.))
    ∴△ACE≌△BCD(SAS);
    (2)∵△ACE≌△BCD,
    ∴AE=BD=12,∠EAC=∠B=45°,
    ∴∠EAD=∠EAC+∠CAD=45°+45°=90°,
    在Rt△EAD中,∠EAD=90°,DE=13,AE=12,
    由勾股定理,得AD=eq \r(DE2-AE2)=5,
    ∴AB=BD+AD=12+5=17.
    5.[2017·重庆B卷]如图Z10-8,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是AC上一点,连结BE.
    (1)如图①,若AB=4eq \r(2),BE=5,求AE的长;
    (2)如图②,点D是线段BE延长线上一点,过点A作AF⊥BD于点F,连结CD,CF.当AF=DF时,求证:DC=BC.
    图Z10-8
    【解析】 (1)根据勾股定理先求得AC=BC=4,再利用勾股定理求CE的长即可;
    (2)过C点作CM⊥CF交BD于点M,构造△BCM≌△ACF得FC=MC,即△FCM为等腰直角三角形,∴∠AFC=∠DFC=135°,再证△DCF≌△ACF即可.
    解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠BAC=∠ABC=45°.
    ∵AB=4eq \r(2),∴BC=AC=4eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)=4.
    在Rt△BCE中,CE=eq \r(BE2-BC2)=eq \r(52-42)=3,
    ∴AE=AC-CE=4-3=1;
    (2)证明:如答图,过C点作CM⊥CF交BD于点M.
    ∵∠ACB=∠FCM=90°,∴∠ACF=∠BCM,
    ∵∠ACB=∠AFE=90°,∠BEC=∠AEF,
    ∴∠FAC=∠MBC,在△ACF和△BCM中,
    中考变形5答图
    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ACF=∠BCM,,AC=BC,,∠FAC=∠MBC,))∴△ACF≌△BCM(ASA),
    ∴FC=MC,
    ∴∠MFC=∠FMC=45°,
    ∴∠DFC=180°-45°=135°,∠AFC=90°+45°=135°,
    ∴∠DFC=∠AFC.在△ACF和△DCF中,
    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AF=DF,,∠AFC=∠DFC,,CF=CF,))∴△ACF≌△DCF(ASA),
    ∴AC=DC.∵AC=BC,∴DC=BC.
    【中考预测】
    如图Z10-9,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=90°,BE,CF交于M,连结AM.
    (1)求证:BE=CF;
    (2)求证:BE⊥CF;
    (3)求∠AMC的度数.

    图Z10-9 中考预测答图
    解:(1)证明:∵∠BAC=∠EAF=90°,
    ∴∠BAC+∠CAE=∠FAE+∠CAE,
    ∴∠BAE=∠CAF,在△CAF和△BAE中,
    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC=AB,,∠CAF=∠BAE,,AF=AE,))∴△CAF≌△BAE(SAS),
    ∴BE=CF;
    (2)证明:设AC与BE交点为O,如答图,
    ∵△CAF≌△BAE,∴∠ABE=∠ACF,
    ∵∠BAC=90°,∴∠ABO+∠BOA=90°,
    ∵∠BOA=∠COM,∴∠COM+∠ACF=90°,
    ∴∠CMO=180°-90°=90°,∴BE⊥CF;
    (3)如答图,过点A分别作AG⊥BE于G,AH⊥CF于H,
    则∠AGB=∠AHC=90°,在△AGB和△AHC中,
    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ABG=∠ACH,,∠AGB=∠AHC,,AB=AC,))
    ∴△AGB≌△AHC(AAS),∴AG=AH,
    ∵AG⊥BE,AH⊥FC,BE⊥CF,
    ∴∠AGM=∠GMH=∠AHM=90°,
    ∴四边形AHMG是正方形,
    ∴∠GMH=90°,∠AMG=eq \f(1,2)∠HMG=45°,
    ∴∠AMC=90°+45°=135°.
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