2018届中考数学提升练习：专题(十) 等腰或直角三角形为背景的计算与证明

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类型之一 以等腰三角形为背景的计算与证明
【经典母题】
把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画示意图说明剪法．
经典母题答图
解：如答图，作∠ABC的平分线，交AC于点D.在BA上截取BE＝BD，连结ED，则沿虚线BD，DE剪两刀，分成的3个三角形都是等腰三角形．
【思想方法】 等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边长的计算．
【中考变形】
1．[2017·湖南]已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 ( B )
A．3条 B.4条 C.5条 D.6条
中考变形1答图
【解析】 如答图，当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形．
2．[2016·杭州]已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m＜n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则 ( C )
A．m2＋2mn＋n2＝0 B.m2－2mn＋n2＝0
C．m2＋2mn－n2＝0 D.m2－2mn－n2＝0
中考变形2答图
【解析】 如答图，根据题意，得m2＋m2＝(n－m)2，2m2＝n2－2mn＋m2，m2＋2mn－n2＝0.
3．[2017·绍兴]已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.
(1)如图Z10－1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝__20__°，β＝__10__°.
②求α，β之间的关系式；
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由．
图Z10－1
解：(1)①∵AB＝AC，∠B＝60°，∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝40°，
∴α＝∠BAD＝60°－40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝60°＋20°＝80°，
∴β＝∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝10°.
②设∠B＝x，∠ADE＝y，∴∠C＝x，∠AED＝y，
在△DEC中，y＝β＋x，在△ABD中，α＋x＝y＋β＝β＋x＋β，
∴α＝2β；
(2)Ⅰ.当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，如答图①，设∠B＝x，∠ADE＝y，∴∠C＝x，∠E＝y，
在△ABD中，x＋α＝β－y，在△DEC中，x＋y＋β＝180°，
∴α＝2β－180°.

中考变形3答图① 中考变形3答图②
Ⅱ.当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上时，如答图②，同①的方法可得α＝180°－2β.
【中考预测】
[2016·菏泽]如图Z10－2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.
(1)如图①，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，
①求证：AD＝BE.
②求∠AEB的度数；
(2)如图②，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高线，BN为△ABE中AE边上的高线，求证：AE＝2eq \r(3)CM＋eq \f(2\r(3),3)BN.
图Z10－2
解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.
∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE.
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC.
在△ACD和△BCE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝BC，,∠ACD＝∠BCE，,DC＝EC，))
∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE；
②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.
∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，
∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°，
∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°；
(2)证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠CDM＝∠CEM＝eq \f(1,2)×(180°－120°)＝30°.
∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM.
在Rt△CMD中，∠CDM＝30°，
∴DE＝2DM＝2×eq \f(CM,tan∠CDM)＝2eq \r(3)CM.
∵∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE.
∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°，
∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°，[来源:学&科&网]
∴∠BEN＝180°－120°＝60°.
在Rt△BNE中，∠N＝90°，∠BEN＝60°，
∴BE＝eq \f(BN,sin∠BEN)＝eq \f(2\r(3),3)BN.
∵AD＝BE，AE＝AD＋DE，
∴AE＝DE＋BE＝2eq \r(3)CM＋eq \f(2\r(3),3)BN.
类型之二 以直角三角形为背景的计算与证明
【经典母题】
已知：如图Z10－3，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC.求证：BE⊥AC.
图Z10－3
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，
又∵BF＝AC，DF＝DC，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，∴∠DBF＝∠DAC，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠BDF＝90°，即BE⊥AC.
【思想方法】 直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛，常与三角形全等知识结合使用．
【中考变形】
1．如图Z10－4，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是 ( B )
图Z10－4
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
【解析】 ∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°，由旋转的性质，得∠B＝∠A′B′C＝65°.
图Z10－5
2．[2016·济宁]如图Z10－5，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件____AE＝CE(答案不唯一)__，使△AEH≌△CEB.
【解析】 该题为开放型题，根据垂直关系，可以找出△AEH与△CEB的两对相等的对应角，只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，
∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝90°，
在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，
在Rt△ABD中，∠EAH＝90°－∠B，
∴∠B＝∠AHE.
∴根据AAS添加AH＝CB或AE＝CE，根据ASA添加EH＝EB，可证△AEH≌△CEB.
故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE(答案不唯一)．
图Z10－6
3．如图Z10－6，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC.
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠DBE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°，
∴∠ABE＝∠CBD.
在△ABE和△CBD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBD，,BE＝BD，))
∴△ABE≌△CBD(SAS)；
(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ECA＝45°.
∵∠CAE＝30°，∠BEA＝∠ECA＋∠CAE，
∴∠BEA＝45°＋30°＝75°.
由(1)知∠BDC＝∠BEA，∴∠BDC＝75°.
4．如图Z10－7，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上的一点．
图Z10－7
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)若DE＝13，BD＝12，求线段AB的长．
解：(1)证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴CE＝CD，AC＝BC，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°－∠ACD，
在△ACE和△BCD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CE＝CD，,∠ACE＝∠BCD，,AC＝BC.))
∴△ACE≌△BCD(SAS)；
(2)∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD＝12，∠EAC＝∠B＝45°，
∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝45°＋45°＝90°，
在Rt△EAD中，∠EAD＝90°，DE＝13，AE＝12，
由勾股定理，得AD＝eq \r(DE2－AE2)＝5，
∴AB＝BD＋AD＝12＋5＝17.
5．[2017·重庆B卷]如图Z10－8，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连结BE.
(1)如图①，若AB＝4eq \r(2)，BE＝5，求AE的长；
(2)如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连结CD，CF.当AF＝DF时，求证：DC＝BC.
图Z10－8
【解析】 (1)根据勾股定理先求得AC＝BC＝4，再利用勾股定理求CE的长即可；
(2)过C点作CM⊥CF交BD于点M，构造△BCM≌△ACF得FC＝MC，即△FCM为等腰直角三角形，∴∠AFC＝∠DFC＝135°，再证△DCF≌△ACF即可．
解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°.
∵AB＝4eq \r(2)，∴BC＝AC＝4eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝4.
在Rt△BCE中，CE＝eq \r(BE2－BC2)＝eq \r(52－42)＝3，
∴AE＝AC－CE＝4－3＝1；
(2)证明：如答图，过C点作CM⊥CF交BD于点M.
∵∠ACB＝∠FCM＝90°，∴∠ACF＝∠BCM，
∵∠ACB＝∠AFE＝90°，∠BEC＝∠AEF，
∴∠FAC＝∠MBC，在△ACF和△BCM中，
中考变形5答图
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ACF＝∠BCM，,AC＝BC，,∠FAC＝∠MBC，))∴△ACF≌△BCM(ASA)，
∴FC＝MC，
∴∠MFC＝∠FMC＝45°，
∴∠DFC＝180°－45°＝135°，∠AFC＝90°＋45°＝135°，
∴∠DFC＝∠AFC.在△ACF和△DCF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AF＝DF，,∠AFC＝∠DFC，,CF＝CF，))∴△ACF≌△DCF(ASA)，
∴AC＝DC.∵AC＝BC，∴DC＝BC.
【中考预测】
如图Z10－9，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE，CF交于M，连结AM.
(1)求证：BE＝CF；
(2)求证：BE⊥CF；
(3)求∠AMC的度数．

图Z10－9 中考预测答图
解：(1)证明：∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠FAE＋∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAF，在△CAF和△BAE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝AB，,∠CAF＝∠BAE，,AF＝AE，))∴△CAF≌△BAE(SAS)，
∴BE＝CF；
(2)证明：设AC与BE交点为O，如答图，
∵△CAF≌△BAE，∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＋∠BOA＝90°，
∵∠BOA＝∠COM，∴∠COM＋∠ACF＝90°，
∴∠CMO＝180°－90°＝90°，∴BE⊥CF；
(3)如答图，过点A分别作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，
则∠AGB＝∠AHC＝90°，在△AGB和△AHC中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ABG＝∠ACH，,∠AGB＝∠AHC，,AB＝AC，))
∴△AGB≌△AHC(AAS)，∴AG＝AH，
∵AG⊥BE，AH⊥FC，BE⊥CF，
∴∠AGM＝∠GMH＝∠AHM＝90°，
∴四边形AHMG是正方形，
∴∠GMH＝90°，∠AMG＝eq \f(1,2)∠HMG＝45°，
∴∠AMC＝90°＋45°＝135°.