提分专练05　以全等三角形为背景的中档计算与证明

提分专练(五)　以全等三角形为背景的中档计算与证明

|类型1|　全等三角形与等腰三角形结合

1.[2018·镇江] 如图T5-1,△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC.

(1)求证:△ABE≌△ACF;

(2)若∠BAE=30°,则∠ADC=　　　　°. 

图T5-1

2.[2017·苏州] 如图T5-2,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.

(1)求证:△AEC≌△BED;

(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.

图T5-2

3.[2018·嘉兴] 已知:在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.

求证:△ABC是等边三角形.

图T5-3

4.如图T5-4,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.

(1)求证:AD=BE;

(2)求∠AEB的度数.

图T5-4

|类型2|　全等三角形与直角三角形结合

5.如图T5-5,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.

(1)求证:△ACD≌△AED;

(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.

图T5-5

|类型3|　全等三角形与等腰直角三角形结合

6.已知:如图T5-6,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.

(1)求证:△ACE≌△BCD;

(2)求证:2CD2=AD2+DB2.

图T5-6

7.如图T5-7,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.

(1)求证:AD=AF;

(2)求证:BD=EF.

图T5-7

8.问题:如图T5-8①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为　　　　. 

探索:如图T5-8②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论.

应用:如图T5-8③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.

图T5-8

参考答案

1.解:(1)证明:∵AB=AC,

∴∠B=∠ACF.

在△ABE和△ACF中,

∴△ABE≌△ACF.

(2)75.

2.[解析] (1)用ASA证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性质:等边对等角,即可求出∠C的度数,进而得到∠BDE的度数.

解:(1)证明:∵AE和BD相交于点O,

∴∠AOD=∠BOE.

又∵在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,

∴∠BEO=∠2.

又∵∠1=∠2,

∴∠1=∠BEO,

∴∠AEC=∠BED.

在△AEC和△BED中,

∴△AEC≌△BED(ASA).

(2)∵△AEC≌△BED,

∴EC=ED,∠C=∠BDE.

在△EDC中,

∵EC=ED,∠1=42°,

∴∠C=∠EDC=69°,

∴∠BDE=∠C=69°.

3.证明:∵AB=AC,

∴∠B=∠C.

∵DE⊥AB,DF⊥BC,

∴∠DEA=∠DFC=90°.

∵D为AC的中点,

∴DA=DC.

又∵DE=DF,

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).

∴∠A=∠C.

∴∠A=∠B=∠C.

∴△ABC是等边三角形.

4.解:(1)证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,

∴∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°,

AC=BC,DC=EC.

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,

∴∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS),

∴AD=BE.

(2)∵△ACD≌△BCE,

∴∠ADC=∠BEC.

∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,

∴∠ADC=180°-∠CDE=130°,

∴∠BEC=130°.

∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.

5.解:(1)证明:∵AD平分∠CAB,

∴∠CAD=∠EAD.

∵DE⊥AB,∠C=90°,

∴∠ACD=∠AED=90°.

又∵AD=AD,

∴△ACD≌△AED.

(2)∵△ACD≌△AED,

∴DE=CD=1.

∵∠B=30°,∠DEB=90°,

∴BD=2DE=2.

6.证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,

∠ACB=∠ECD=90°,

∴AC=BC,CD=CE,

∵∠ACB=∠DCE=90°,

∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,

∴∠ACE=∠BCD,

在△ACE和△BCD中,

∴△ACE≌△BCD(SAS).

(2)∵△ACB是等腰直角三角形,

∴∠B=∠BAC=45°.

∵△ACE≌△BCD,

∴∠B=∠CAE=45°.

∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,

∴AD2+AE2=DE2.

由(1)知AE=DB,

∴AD2+DB2=DE2,

又DE2=2CD2,

∴2CD2=AD2+DB2.

7.证明:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=135°,

∵∠BCD=90°,

∴∠ACD=135°.

∴∠ABF=∠ACD,

∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD,

在△ABF和△ACD中,

∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF.

(2)由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD,

∴∠FAB=∠DAC,

∵∠BAC=90°,

∴∠EAB=∠BAC=90°,

∴∠EAF=∠BAD,

在△AEF和△ABD中,

∴△AEF≌△ABD(SAS),

∴BD=EF.

8.解:问题:BC=EC+DC.

∵△ABC为等腰直角三角形,

∴∠BAC=90°.

又∵AD⊥AE,

∴∠EAD=90°.

∴∠EAD-∠CAD=∠BAC-∠CAD.

∴∠BAD=∠CAE.

又∵AB=AC,AE=AD,

∴△ABD≌△ACE.

∴BD=CE,∴BC=EC+DC.

探索:线段AD,BD,CD之间满足的关系是BD2+CD2=2AD2.

证明:如图①,连接CE.

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,

AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=45°.

∵∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°,

∴∠BAD=∠CAE.

在△BAD和△CAE中,

∴△BAD≌△CAE.

∴BD=CE,∠ACE=∠ABC=45°.

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°.

∴BD⊥CE.

∵∠EAD=90°,AE=AD,∴ED=AD.

在Rt△ECD中,ED2=CE2+CD2,

∴BD2+CD2=2AD2.

应用:如图②,作AE⊥AD于点A,交DC的延长线于点E,连接BE.

∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,∠EAD=90°,

∴∠BAC=90°,AB=AC,AE=AD.

∴ED=AD.

由“探索”的证明可知,BE=CD,BE⊥CD.

在Rt△BED中,BD2=BE2+DE2.

∴2AD2=BD2-CD2.

∵BD=9,CD=3,∴2AD2=92-32=72.

∴AD=6(负值舍去).