2018届中考数学提升练习：专题(十二) 与圆的切线有关的计算与证明

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类型之一 与切线的性质有关的计算或证明
【经典母题】
如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__．

图Z12－1 经典母题答图
【解析】 如答图，连结OC.
∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，
在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°，
∴OP＝2OC＝2，
∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.
【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．
【中考变形】
[2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.
(1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小；
(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
图Z12－2
解：(1)如答图①，连结AC，
∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，
∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；

中考变形答图① 中考变形答图②
(2)如答图②，连结AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，
∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，
∵∠ADC＝∠ABC＝50°，
∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.
【中考预测】
[2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.
(1)求证：AP＝AB；
(2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．

图Z12－3 中考预测答图
解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°，
∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，
∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO，
∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；
(2)如答图，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3，
∴OA＝eq \r(32＋42)＝5，∵AP＝AB＝3，
∴PO＝2.
在Rt△POC中，PC＝eq \r(OC2＋OP2)＝2eq \r(5)，
∵eq \f(1,2)PC·OH＝eq \f(1,2)OC·OP，
∴OH＝eq \f(OP·OC,PC)＝eq \f(4\r(5),5)，
∴CH＝ eq \r(OC2－OH2)＝eq \f(8\r(5),5)，
∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝eq \f(16\r(5),5)，
∴BP＝BC－PC＝eq \f(16\r(5),5)－2eq \r(5)＝eq \f(6\r(5),5).
类型之二 与切线的判定有关的计算或证明
【经典母题】
已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．

图Z12－4 经典母题答图
证明：如答图，连结OB，
∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，
∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.
∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，
∴AB⊥OB，又∵OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线．
【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．
【中考变形】
1．[2016·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.
(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；
(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．

图Z12－5 中考变形1答图
解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理，得AC＝4；
(2)证明：如答图，连结OC，
∵AC是∠DAB的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，[来源:Z#xx#k.Cm]
∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，
又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，
∴直线CD是⊙O的切线．
2．[2017·南充]如图Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．

图Z12－6 中考变形2答图
【解析】 (1)连结OD，欲证DE是⊙O的切线，需证OD⊥DE，即需证∠ODE＝90°，而∠ACB＝90°，连结CD，根据“等边对等角”可知∠ODE＝∠OCE＝90°，从而得证；
(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解．
解：(1)证明：如答图，连结OD，CD.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点，
∴DE＝eq \f(1,2)BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.
∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；
(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，
即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径为6.
【中考预测】
如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若BF＝2，DF＝eq \r(10)，求⊙O的半径．
图Z12－7 中考预测答图
解：(1)证明：如答图，连结OD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，
∴∠BOD＝∠A，
∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；
(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.
∵DE与⊙O相切，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°，
∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD，
∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，
∵∠AFC＝∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，
∴FH＝BH＝eq \f(1,2)BF＝1，∴HD＝eq \r(DF2－FH2)＝3，
在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2，
∴OD＝5.即⊙O的半径是5.